Concetti fondamentali di fisica

Concetti fondamentali di fisica

Vettori

Per capire cosa sia un vettore partiamo dalla definizione di grandezza scalare. Una grandezza scalare è completamente caratterizzata da un numero che rappresenta il rapporto tra l'unità di misura scelta ed utilizzata e la grandezza considerata. Per una grandezza vettoriale, non basta definire un numero in relazione all’unità di misura (chiamato modulo), ma bisogna anche definire un verso e una direzione. Esso può anche essere espresso graficamente tramite una freccia di lunghezza proporzionale al modulo e orientata secondo la direzione e il verso del vettore. Inoltre esso deve avere un punto di origine indicato con O che è il punto in cui viene applicato il vettore.

Concetti di direzione, verso e modulo

Direzione: la direzione è il segmento che unisce i punti toccati dal corpo nel suo moto. Ad esempio la direzione di una macchina in moto per un viaggio può essere la retta tracciata dal luogo di partenza (ad esempio Milano) e il luogo di arrivo (ad esempio Roma).

Verso: indica in che verso si sta muovendo il corpo. Se l'auto si muove da Roma a Milano, la freccia sarà rivolta verso Milano seguendo la direzione indicata, se invece l'auto si muove verso Roma da Milano, la freccia indicherà Roma.

Modulo: è un numero che indica la lunghezza del vettore, ovvero la grandezza del vettore.

Componenti di un vettore

Per poter rappresentare correttamente un vettore, è necessario introdurre i concetti di componenti. Un vettore infatti può essere scomposto nelle sue componenti relative agli assi del sistema di riferimento scelto. Il sistema di riferimento è un insieme di rette orientate in diverse direzioni che originano dallo stesso punto. Se le varie rette sono perpendicolari tra loro si parla di sistema cartesiano ortogonale (xy).

Considerando un vettore A, indicato con o con A, è possibile applicare i teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli per trovare le sue componenti su x e y, che non sono altro che le proiezioni ortogonali del vettore sugli assi cartesiani.

Per esprimere il vettore nelle sue componenti x e y si utilizzano i versori i e j rispettivamente. I versori sono dei vettori di lunghezza unitaria e adimensionali utilizzati per definire una direzione.

Usando il teorema di Pitagora e la definizione di tangente si possono anche scrivere le seguenti relazioni: nel caso in cui si considerino tre dimensioni, bisogna considerare anche l'asse z e il suo versore k supponendo che il vettore formi un angolo α con l'asse z.

Operazioni con i vettori

Se si moltiplica un vettore per uno scalare si ottiene uno scalare con il modulo che è il prodotto tra i due moduli e la direzione e il verso invariati. Se lo scalare è negativo, allora il verso del vettore risultante dal prodotto sarà opposto. Se si fanno operazioni con i vettori bisogna considerare vettori che partono dalla stessa origine, se non è così, bisogna trasportare parallelamente i vari vettori in modo che partano dalla stessa origine.

• Somma: Siano dati due vettori. Graficamente il vettore è individuato da una delle diagonali del parallelogramma che si può costruire con le parallele dei vettori. Per sommare più di due vettori basta sommarli nell'ordine a due a due.

Esempio: Trovare la somma di A e B. A+B=? A=3i+4j B=2i-6j La somma dei due vettori è indicata con R = risultante. R= A + B = (3 + 2)i + (4 – 6)j = 5i – 2j = R_xi + R_yj R_x=5, R_y=-2.

• Differenza: la differenza tra due vettori può essere vista come la somma del primo vettore e il secondo con verso opposto. Esso è uguale alla somma, ma si prende la differenza dei componenti al posto della somma quindi: dati due vettori. Graficamente esso non è altro che l'altra diagonale del parallelogramma costruito sopra.
• Prodotto scalare di due vettori: il prodotto scalare tra due vettori è il prodotto tra i moduli dei due vettori e tra il coseno dell'angolo φ tra i due vettori. Tale prodotto gode delle proprietà commutativa e distributiva.
• Prodotto vettoriale: il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore che ha come modulo il prodotto tra i moduli dei due vettori e tra il seno dell’angolo φ compreso tra i due vettori. Come direzione ha la perpendicolare al piano formato dai due vettori e il verso è scelto per convenzione in modo tale che un osservatore possa sovrapporre ruotando il primo in senso antiorario di un angolo minore di 180°. Questa descrizione può essere meglio espressa dalla regola della mano destra, ovvero si considera la mano destra e il suo palmo è orientato secondo la direzione di, le dita sono piegate in direzione di e il pollice alzato individua la direzione di.

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa, ma di quella distributiva rispetto alla somma.

Vettore gradiente

La funzione gradiente è una funzione che varia il proprio valore lungo la direzione. Tale funzione, per essere bene espressa, va vista sotto forma di vettore. Un esempio può essere il calore di un filo metallico rettilineo.