Concetti fondamentali di fisica

O

 Prodotto scalare di due vettori: il prodotto scalare tra due vettori è il prodotto tra i moduli

dei due vettori e tra il coseno dell’angolo φ tra i due vettori. Si ha dunque:

. Tale prodotto gode delle proprietà commutativa e distributiva.

 Prodotto vettoriale: il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore che ha come modulo

il prodotto tra i moduli dei due vettori e tra il seno dell’ angolo φ compreso tra i due

vettori. Come direzione ha la perpendicolare al piano formato dai due vettori e il verso è

scelto per convenzione in modo tale che un osservatore possa sovrapporre

ruotando il primo in senso antiorario di un angolo minore di 180°.

Questa descrizione può essere meglio espressa dalla regola della mano destra, ovvero si

considera la mano destra e il suo palmo è orientato secondo la direzione di , la dita sono

piegate in direzione di e il pollice alzato individua la direzione di .

R φ

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa, ma di quella distributiva

rispetto alla somma.

Vettore gradiente: la funzione gradiente è una funzione che varia il proprio valore lungo la

direzione. Tale funzione per essere bene espressa, va vista sottoforma di vettore. Un esempio può

essere il calore di un filo metallico rettilineo. Disponendo il filo metallico secondo l’asse x si avrà la

direzione del vettore, scaldando l’estremità sinistra del filo si avrà il verso del vettore ( da sinistra a

destra ). La funzione quindi descrive come varia il calore in ogni punto del filo, in particolare il

calore sarà più intenso vicino alla fonte e più debole vicino all’ estremità opposta. Un altro

esempio è la pressione che varia nelle vene. Considerata la funzione come f(x), il vettore sarà:

v = grad f(x). Esso è definito da:

 Modulo: df(x)/dx (derivata di f(x) rispetto ad x )

 Direzione: asse x ( consideriamo la funzione come rettilinea orientata lungo l’asse x )

 f(x) x

Verso: / > 0 ( il rapporto incrementale è maggiore di zero )

Considerando ancora il filo metallico scaldato, possiamo dire che la temperatura non diminuisce

omogeneamente lungo tutto il filo, infatti si potrebbe avere che la temperatura è pari a quella

ambiente prima della fine del filo. In questo caso il gradiente si avrebbe solo nei primi centimetri e

non lungo tutta la lunghezza del filo. Per questo motivo si usa un limite per calcolare il modulo del

vettore gradiente, altrimenti bisognerebbe calcolare il gradiente in ogni punto.

La lettura è: derivata di V rispetto ad

|grad v| = x. Esso è un rapporto tra differenziali

ed ogni differenziale è una

variazione infinitesima di una

quantità. La derivata è un rapporto

di differenziali perché i valori su x e

su y

tendono sovrapporsi, cioè la

distanza tra essi diminuisce molto.

Vettore spostamento: La posizione è il punto occupato dal corpo in moto lungo una traiettoria in

un determinato momento. La traiettoria è una linea che congiunge tutti i punti occupati dal corpo

in moto durante il suo spostamento. Lo spostamento è un tratto di traiettoria determinato dalla

posizione finale – la posizione iniziale ( di quel tratto di traiettoria ). Lo spostamento è un vettore

che ha origine nell’origine del sistema di riferimento scelto, la direzione è la congiungente tra

l’origine e il punto ( posizione ) preso in considerazione sulla traiettoria, e il verso è diretto verso la

posizione. Considerando lo spostamento tra A e B si può ricavare il vettore

 r =r – r . v e v sono la velocità iniziale e finale

spostamento f i i f

nel tratto rispettivamente nei punti A e B. La velocità ha

direzione tangente alla traiettoria e verso opposto al punto di

origine del vettore. Il vettore spostamento può essere

scomposto nelle sue componenti su x e su y secondo le

normali regole di scomposizione dei vettori, in modo tale da

calcolare lo spostamento lungo x e lungo y.

Vettore velocità: La velocità è indicata dallo spazio percorso nell’ unità di tempo:

v = e la sua unità di misura è ma può anche essere convertita in Km/h ecc…

Anch’ esso è un vettore in quanto il modulo rappresenta il valore della velocità. Es: in v=25 m/s il

modulo è 25. La direzione è la retta tangente alla traiettoria nel punto di applicazione del vettore,

ovvero il punto in cui si vuole calcolare la velocità e il verso è dal lato opposto rispetto al punto di

origine. La velocità media si può calcolare come: Vm = = tgθ ed è la media delle velocità

mantenute durante un percorso. La velocità istantanea è la velocità calcolata in un determinato

t

punto e per calcolarla bisogna utilizzare un limite in cui la variazione di tempo tenda a 0.

Vist= dove θ è l’angolo formato dalla tangente con l’asse x.

Vettore accelerazione: l’accelerazione è una variazione di velocità, ovvero durante una traiettoria,

la velocità del corpo non è costante, ma in alcuni punti varia. Si parla di accelerazione quando la

velocità aumenta e decelerazione quando diminuisce. L’accelerazione dunque è una variazione di

a =

velocità in un’unità di tempo. L’ accelerazione media è: e sarebbe la media

m

dei valori delle accelerazioni durante il percorso. Per calcolare l’accelerazione istantanea bisogna

usare un limite per lo stesso ragionamento della velocità istantanea. a =

ist

. Nei problemi solitamente si considera a ≡ a.

ist

L’ accelerazione è un vettore la cui direzione è sempre diretta come quella della velocità. Se la

direzione della velocità è costante, il moto è rettilineo, altrimenti è curvilineo. In tale caso, la

direzione dell’ accelerazione ha due componenti, una tangente alla traiettoria, e l’altra è normale

al punto considerato, ovvero verticale. La direzione dell’ accelerazione istantanea, inoltre, è

indicata dalla pendenza della tangente al punto considerato in un grafico della velocità che ha sulle

ascisse lo spazio e il tempo.

s

θ t

Forza

Le forze sono delle interazioni tra corpi e possono essere di contatto quando i corpi che

interagiscono vengono a contatto tra di loro, oppure a distanza, quando i corpi non entrano in

contatto tra di loro. In realtà le forze di contatto non esistono perché microscopicamente si può

osservare che esiste sempre una distanza minima tra i corpi che interagiscono tra loro. Le forze

sono dei vettori in quanto hanno un modulo, che ne indica il valore, una direzione che ne indica la

direzione di applicazione e un verso, che indica da che parte viene applicata la forza. La loro unità

di misura è il Newton (N) che è dal momento che una forza è F = ma ( vedi 2° principio

della dinamica.

Esistono quattro tipi fondamentali di forze:

1. Forza di attrazione gravitazionale: forza che agisce tra corpi di massa non nulla

2. Forza elettromagnetica: che coinvolge forze elettriche e magnetiche Unificate nella teoria dell’

3. Forza nucleare debole: provoca certi processi di decadimento nucleare interazione

4. Forza nucleare forte: tiene unito il nucleo elettrondebole.

Si può capire cos’è una forza anche grazie al principio di inerzia, ovvero: “Un corpo permane nel

suo stato finché forze esterne ad esso non intervengono a modificarne lo stato”. Una forza dunque

è un’interazione in grado di modificare lo stato di un corpo, in particolare può fermarlo, metterlo

in moto, deformarlo, accelerarlo, rallentarlo ecc…

Le leggi della dinamica:

1. Ogni corpo preserva il suo stato di moto o di quiete finché le forze esterne ad esso siano

nulle, cioè non intervengano a modificarne lo stato. ( principio di inerzia ).



2. l’accelerazione subita da un corpo in ogni istante è direttamente

proporzionale alla forza agente sul corpo e inversamente proporzionale alla sua massa. La

formula è espressa come sommatoria perché quando si considerano le forze agenti su un

corpo bisogna sommare tutte quelle interessate. In particolare bisogna sommare tra di loro

tutte quelle agenti sulla direzione x e poi tutte quelle agenti sulla direzione y. Il principio

che permette di sommare le forze è detto principio di sovrapposizione delle forze. Esso

permette di sommare tutte le forze agenti su un corpo anche se sono di natura diversa tra

di loro. Nello spazio si sommano in questo modo:

F +F +F =ma

1x 2x 3x x

F +F +F =ma

1y 2y 3y y

F +F +F =ma

1z 2z 3z z

Inoltre è untile disegnare un diagramma delle forze, ovvero un’illustrazione grafica delle

forze agenti su un corpo, molto utile per risolvere i problemi.



3. F = -F Dati due corpi 1 e 2, se 1 esercita una forza F su 2, 2 risponde con una forza F

12 21 12 21

su 1, di modulo, direzione e retta di applicazione uguale a F ma di verso opposto.

12

(principio di azione e reazione). Ogni corpo che interagisce con un altro corpo

imprimendogli una forza, riceve una forza uguale e contraria a quella impressa, da parte

del secondo corpo.

La forza può essere vista anche come una retta, infatti l’ equazione generale di una retta è:

y = mx + q mentre l’equazione di una forza è:



F = ma essa è dunque una retta passante per l’origine degli assi e con coefficiente angolare pari

ad a. Il coefficiente angolare non è altro che la tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse

delle x. F rappresenta il valore sulle ordinare, e x rappresenta quello sulle ascisse. Questa

considerazione permette di rappresentare le forze nel piano cartesiano e permette anche di

visualizzare le forze come vettori. Essendo dei vettori, seguono le normali regole dei vettori e

possono essere scomposte nelle loro componenti x,y,z.

Questo concetto di forza poi può essere espresso a tutti i tipi di forze. Bisogna inoltre ricordare che

la massa di un corpo è una proprietà intrinseca della materia che ha come unità di misura i Kg. Il

peso invece è una forza, detta infatti forza peso, che è definita da mg, dove g è l’accelerazione di

2

gravità e vale 9,8 m/s . Il peso dunque è la forza con la quale un corpo vicino alla superficie

terrestre viene attirato verso il centro della terra.

Campo di forze

Il campo di forze è una perturbazione generata da una massa e che colpisce tutte le altre masse

poste nelle sue vicinanze. Esso è un vettore che definisce una forza compiuta su un punto dello