Fisica 2 - Teoria

ElettrMagnetismo

Interazione Elettrica

Le particelle che costituiscono la materia sono dotate di una carica elettrica che può essere positiva o negativa. Se le particelle hanno segno opposto si attraggono altrimenti si respingono. La carica elettrica ha simbolo q e le forze di interazione sono uguali in modulo, hanno verso opposto e stanno sulla stessa retta di azione.

Le cariche elettriche possono da un corpo ad un altro tramite strofinio per cui i corpi elettrizzati si dicono elettricamente carichi. Se definiscono due tipologie di corpi: Isolanti tratengono q

Conduttori non la rendono q

Legge di Coulomb

Coulomb stabilì che due cariche puntiformi q₁ e q₂ poste ad una certa distanza r interagiscono con una forza F diretta secondo la loro congiungente e di modulo

F = K q₁∙q₂ / r²

dove F è la forza elettrica

La costante K dipende dal mezzo in cui le cariche sono immerse (di norma un isolante definito come dielettrico). Tale costante si esprime in funzione di un'altra costante ε₀ definita costante dielettrica nel vuoto

k₀ = 1 / 4π₀ ≈ 8.98 ∙ 10⁹ [N m²/C²]

Se non fossi nel vuoto avrei m ε la costante

L'unità di misura della carica è il Coulomb [C] che è pari alla carica trasportata da una corrente di un ampere in un secondo. La forza elettrica quindi torna:

F = 1 / 4πε₀ q₁∙q₂ / r²

Campo Elettrostatico

Le forze elettriche agenti su una carica q₀ dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori. Se si considera un sistema discreto di cariche puntiformi q_i, otteniamo che la forza elettrostatica su una carica puntiforme q₀ visualmente delle forze esercitato dal sistema discreto di cariche è:

E = Σ F_i = Σ_i q₀ q_i ¹⁄_4πε0 r_i² u_i = q₀ Σ_i q_i⁄_4πε0 r_i² u_i

Dove u_i è il versore del vettore r_i che va da q_i a q₀.

Si vede che la forza risultante esercitata su q₀ è proporzionale a q₀. Definiamo quindi la funzione vettoriale:

E_(q0) = F_(q0)⁄_q0

N⁄C

Campo Elettrostatico

Da un punto di vista teorico si dovrebbe far tendere a zero il valore di q₀ così da far scomparire la perturbazione prodotta da q₀: q₀ ≪ q_i.

Possiamo definire il campo elettrico generato da un sistema discreto di punti come:

E = Σ q_i⁄_4πε0 r_i² u_i

Questa formula per il campo fa notare due cose:

1. Se la carica q_i è positiva il campo è uscente da q_i, mentre se è negativa è entrante in q_i
2. Il campo in un punto P prodotto da un sistema discreto di cariche è uguale alle somme dei campi prodotti singolarmente delle cariche

E = Σ_i E_i

Possiamo dire che il sistema di cariche è la sorgente del campo elettrostatico e la carica q₀ interagisce con il campo subendo la forza F:

F(x,y,z) = q₀ E(x,y,z)

carica esterna

d₂

d_S

φ_E=∮ E

d_S

Si considerano due superfici d_S e d_S1 lungo solido e l'orientazione della normale e tale che su d_S1, E_i∙n_i d_S<0 e su d_S2, E_i∙n_i d_S>0

Flussi risultaranno

dφ₁ = E_i1 n_i dΩ

dφ₂ = E_i2 n_i dΩ

dφ₁ + dφ₂ = 0

φ_Ei

Quindi il flusso attraverso ma superficie chiusa di un campo elettrostatico è generato da un sistema di cariche e

φ_E(i)=∮ E_i∙n_i d_S = ∑( _i dΩ)

φ_E(i) =

C.V. V

φ_E(i) =

1/ε₀ ∫

C.V. V

φ_E = E_o q_o

NOTA il campo E è quello prodotto da tutte le cariche interne ed esterne però il suo flusso attraverso S dipende solo dalle cariche interne

La legge di Gauss vale solo se l'esponente di r è due

In altro caso non posso definire l'angolo solido.

Gauss è utile quando la distribuzione di carica presenta un elevato grado di simmetria poiché risulta facile trovare

delle superfici chiuse S nei cui punti il campo e uniforme per cui i contributi E_i∙n_i dS sono nulli o si scrivono semplicemente come E_idS.

Se invece che una carica singola considero un sistema discreto di cariche ottengo che il potenziale elettrostatico prodotto è uguale alla somma dei potenziali elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche

V(x,y,z) = -∫_∞^P E⃗ · ds⃗ = Σ_i V_i = Σ_i q_i/4πε₀r_i

Nel caso di un sistema continuo V_c = ∫dV = ∫dq/r

Fissata una distribuzione di cariche si può calcolare in ogni punto il potenziale V(x,y,z), indipendentemente dalla carica di prova q₀: l’energia potenziale elettrostatica di tale carica q₀ è posta in un punto di data coord.:

U₀(x,y,z) = q₀V(x,y,z)

Per il potenziale V si parla di campo scalare e mi interessa la variazione.

[ Volt, Joule Coulomb

diff. di potenziale ]

[ N/C = V/m campo elettrico ]

Riconsiderando la formula dell’energia potenziale possiamo dire che l’energia potenziale di due cariche rappresenta il lavoro di una forza esterna per portare le due cariche da un punto alla distanza r. Tale lavoro è >0 se si tiene conto la forza repulsiva tra due cariche dello stesso segno.

U₁₂ = q₁q₂ 4πε₀r

Se considero un sistema con più di due cariche si deve calcolare l’energia potenziale di ogni coppia e poi sommarle

U_sistema = 1/2 Σ_i,j q_iq_j/4πε₀r_i,j

U_tot = U_sistema + U_(par)

Conduttori

I materiali conduttori sono caratterizzati dal fatto che nel loro interno ci sono condizionati tali per cui è possibile il moto di alcune cariche che li costituiscono. Lo stato di conduttore in equilibrio elettrostatico implica che il campo elettrico sia nullo.

Questa comporta che l’eccesso di carica elettrica in un conduttore può stare solo sulla superficie del conduttore: il potenziale è costante su tutto il conduttore perciò,

La superficie del conduttore è quindi equipotenziale E = 0 intera superficie .

Per trovare il modulo si applica Gauss ad un cilindro di base dS e superficie laterale irrisorbile. Una base è all’interno del conduttore, l’altra in prossimità dove E = E ⋅ n ⋅ dS

• Due conduttori a contatto hanno lo stesso potenziale

Esercizio

d= R1, R2 Si calcoli q1 e q2 e il rapporto E1/E2 Le 2 sfere sono collegate tramite un filo conduttore.

Sappiamo che due conduttori a contatto hanno lo stesso potenziale per cui

1. V1 = V2 →
   1. q1 / 4πε0 R1 = q2 / 4πε0 R2 → q1/q2 = R1/R2 Dato che q = q1 + q2
   2. q1 = R1/(R1 + R2) q
   3. q1 = R2/(R1 + R2) q
2. Utilizzando il Thm di Coulomb E1 = q1/ε0 un e sapendo che V1 = q1/4πε0 R1 e V2 = q2/4πε0 R2
3. E1/E2 = R2/R1