Fisica 2 - Magnetismo - riassunto

La forza di Lorentz

Finalmente possiamo definire la FORZA DI LORENTZ, ossia la forza che un campo esercita su una particella in movimento.

×F = q E + q~v B

Da qui possiamo vedere diverse cose, tra cui:

• se la particella è ferma, la forza è nulla
• se la velocità ha solo componente parallela al campo magnetico, allora la forza è nulla
• sempre ortogonale al piano

Essendo parallela alla velocità, la forza di Lorentz non produce lavoro. In questo modo non può far variare la velocità della nostra particella, ma può solo farle cambiare traiettoria.

Moti in campo magnetico

In questa sezione vedremo come si comporta una particella immersa in un campo magnetico e delle applicazioni.

Campo magnetico uniforme, velocità perpendicolare

Supponiamo di sparare la nostra particella in perpendicolarmente rispetto al campo magnetico B, con una velocità iniziale ~v.

Osserviamo che la traiettoria diventa circolare, ma la velocità rimane costante. Quindi la particella sta facendo un...

MOTO CIRCOLARE UNIFORME, per cui l'accelerazione centripeta α è costante. Qui sotto riassumo tutti i passaggi per ricavarmi velocità angolare ω e il periodo T.

2 F qv Bv = α = m mR mvR = q B ω = mR2π mT = 2π ω q B

3.2 Campo magnetico uniforme, velocità angolata

In questo caso il moto è sempre uniforme con velocità costante, ma assume un andamento elicoidale, del quale noi possiamo calcolarne il passo p. Stavolta il nostro interesse è la componente parallela.

mvp = v T = 2π q B

3.3 Selettore di velocità

In parole povere serve per selezionare solo le particelle con velocità di nostro interesse.

Utilizziamo la relazione F = q E + qv B, e otteniamo imponendo F = 0

E = B

3.4 Spettrometro di massa

Lo spettrometro di massa è uno strumento analitico che separa gli ioni aventi la stessa carica e massa diversa, o più in generale aventi rapporto di massa su carica diverso (come sono ad esempio gli isotopi).

Il campo magnetico B è uniforme. Da qui possiamo calcolare la massa di nostro interesse: qBRm = v^3.5. Il ciclotrone è uno strumento utilizzato per accelerare le particelle utilizzando due campi magnetici e uno elettrico, per cui il moto è elicoidale. È costituito da due mezzelune separate in cui vi è un campo magnetico parallelo tra le due, e nel mezzo ad esse vi è un campo elettrico con direzione da una verso l'altra. Nel tratto centrale quindi le particelle vengono accelerate. L'effetto della forza di Lorentz su questi portatori di carica q all'interno del nostro filo, che si muovono con la velocità di deriva all'interno del cavo/conduttore, può essere analizzato nel seguente modo: - Il campo magnetico B non dipende dal tempo. - La corrente I può essere calcolata come I = qn*v*A, dove n è la densità di carica e A è l'area del conduttore. - La forza F è data da F = I dl * B.

densità di corrente• A è la superficie ortogonale da cui passa la corrente• q è la carica• n il numero delle cariche ~Inoltre notiamo che se γ è una curva chiusa, tipo un quadrato, immersa in B~~uniforme, allora otteniamo che F = 0. Questo perché ogni dl subisce una forza~uguale ed opposta al dl corrispondente al lato opposto. QUINDI LA FORZATOTALE AGENTE SU UN CIRCUITO CHIUSO È NULLA.

4.1.1 Filo qualunqueSe avessi un filo qualunque e ne volessi calcolare la forza che subisce dovreirisolvere questo integrale bZ ~~ ~×F = (I dl B)a

4.1.2 Filo qualunque con campo magnetico uniforme~In tale caso B può venire fuori dal segno di integrale e quindi i conti si semplif-icano bZ ~~ ~×F = I( dl) BaOvviamente semplificando con le geometrie particolari, e ancor più importante~ ~RICORDARSI DEL PRODOTTO VETTORIALE. Quindi se dl e B sono PAR-ALLELE, allora la FORZA È NULLA...7

4.2 Momento meccanico di una spiraPer facilità prendiamo una spira quadrata

posizionata con varie angolazioni rispetto al campo magnetico uniforme; parallela, perpendicolare e con angolo qualsiasi. COME ABBIAMO VISTO PRIMA LA FORZA DI LORENTZ TOTALE AGENTE SUL CIRCUITO CHIUSO È ZERO. Partiamo però col definire il versore normale al piano. In parole povere il versore normale al piano è quello perpendicolare al piano stesso! Un po' come quando si calcolano i flussi in analisi 2. ^~~×M = m~ B m~ rappresenta il MOMENTO MAGNETICO della spira con formula m~ = IS~η • ~η è il VERSORE NORMALE • S è la superficie totale della nostra spira Importante dire, che NON DIPENDE DALLA FORMA DELLA SPIRA. 4.2.1 B parallelo a ~η Essendo paralleli, il momento meccanico totale è nullo. 4.2.2 B perpendicolare a ~η In tale caso la parte del prodotto vettoriale col seno, è uguale ad 1, quindi diventa un normale prodotto scalare. 4.2.3 B con angolo α rispetto a ~η In questo caso allora ritorna la formulina di prima, e quindi il campo

magneticocrea un momento sulla spira, facendola ruotare

× ×M = m

B = ISη

B85 Legge di Biot-SavartQuesta formula permette di calcolare il campo magnetico rispetto ad una distribuzione. È l’analogo del brutto integrale per determinare il campo eletrico nelle distribuzioni continue!

×I dl ( ∆r)µ

iB = ~4π ∆rl• dl è l’incremento nella ”dimensione” dell’oggetto•

∆r incremento del punto che ci interessa rispetto all’oggetto che crea il campo magnetico

5.1 Spira ~ 2µI( R)~B = p3 ~ 2 2R + ~z2

Volendo è possibile scriverlo anche in funzione del momento di dipolo magnetico m~ µ m~~B = p2π 3 ~ 2 2R + ~z

Ricordandoci che m~ = ISη

5.2 Filo indefinito µI~B = 2π~r• ~r è perpendicolare al filo e lo congiunge al punto di mio interesse

95.3 Lamina percorsa da correnteLa possiamo immaginare come composta da infiniti fili affiancati percorsi da una corrente dI = J dx a cui poi

Possiamo applicare Biot-Savart su ogni filo. Il campo magnetico è ortogonale alla direzione della corrente μI l + d~B = ln2πd l

5.4 Solenoide

Lo possiamo approssimare come una successione di spire.

• N numero di spire per unità di lunghezza n = l
• N numero di spire
• l lunghezza dell' spira

5.4.1 Solenoide finito nμI~ -B = (cos θ cos γ)2

5.4.2 Solenoide infinito

Rispetto al precedente caso impostiamo i due angoli in modo che vadano a infinito rispetto agli estremi del filo (quindi θ = 0 e γ = π). Quindi otteniamo ~B = nμI

IL CAMPO MAGNETICO È SOLO INTERNO AL SOLENOIDE INFINITO!

106 Teorema di Ampere

È l'equivalente del teorema di Gauss per il campo magnetico. È importante fare riferimento alla correnti concatenate, ossia quelle che attraversano la linea chiusa o di nostro interesse.

I ~B dl = μIγ

6.1 Solenoide

Lo possiamo calcolare allo stesso modo di utilizzare Biot-Savart, però come linea chiusa ne

prendiamo una che sia fatta cosı̀: parallela all’asse del solenoide, e chene prenda mezzo dentro e mezzo fuori. Quindi ortogonale alle spire.

B = nµI6.2

ToroideOggetto solido fatto a forma di ciambella! Fisicamente lo possiamo immaginarecome un solenoide chiuso su se stesso.

Se le spire sono impacchettate bene e molto fitte, il campo elettrico è SOLOINTERNO AL SOLENOIDE. Però questo varia in base a che distanza tra parteinterna ed esterna del toroide prendiamo.

µnR ii~B = ρ~

Se invece abbiamo il numero di spire totali N del toroide, otteniamoµN i~B = 2πdato che N = nR 2πi 11