Fisica 1 - vettori

I vettori

Grandezze scalari A.A. 2019-2020

sono dette scalari

un singolo valore

grandezze fisiche caratterizzabili da

ad es. la massa e la carica elettrica

ma le grandezze fisiche possiedono diverse altre proprieta e/o combinazioni

grate

Mature FISICHE

e

di proprieta che le caratterizzano ENTITÀ NON

LORO

LA SISTEMA

ad es. possono essere grandezze: DIPENDE DAL

Rlto

DI

PROPRLE DEL µ

→ corpo

ai corpi

intrinseche invarianti relativistiche conservate nel tempo

o discrete scalari o vettoriali

continue 1

A.A. 2019-2020

ad esempio: la massa e la carica elettrica sono entrambe grandezze scalari

ma

la carica elettrica la massa

quantizzata una grandezza continua

nel mondo subatomico caratteristica intrinseca

una proprieta intrinseca di di un corpo materiale

ogni particella elementare ma solo in meccanica classica

in meccanica relativistica

invariante relativistico m = m( v )

dipende dalla velocita

che si conserva E = mc

2 quindi la massa totale

sempre e in senso assoluto puo non conservarsi anche se

se il sistema isolato la carica si sistema isolato

totale netta rimane costante

non si crea si distrugge

la carica elettrica 2

Grandezze vettoriali

Grandezze scalari A.A. 2019-2020

grandezza scalare alcune grandezze fisiche sono

T determinate univocamente

temperatura ma la

per es. in una stanza

la temperatura solo se sono associate anche ad

da punto a punto

puo cambiare una direzione e ad un verso

della stanza e al trascorrere del tempo ad es. lo spostamento

s

T

quindi dobbiamo ritenere che sia di una distanza da un punto

dello spazio

una funzione di

in altri termini che vettoriali

si parla di grandezze

T = T x,y,z,t

( )

Nota bene: si tratta di una funzione

variabili, ma a valore singolo 3

in natura esistono anche

oltre alle grandezze scalari e vettoriali

quali le grandezze

altri tipi di grandezze spinoriali, tensoriali

pseudoscalari, pseudovettoriali,

Nota bene: per caratterizzarle bisogna far riferimento ai particolari comportamenti

di invarianza che manifestano a seguito di determinate azioni

e/o operazioni matematiche quali ad es. le rotazioni,

delle coordinate spaziali (parita

a questo punto si impone una riflessione :

trattare appropriatamente le grandezze fisiche?

adozione del metodo scientifico A.A. 2019-2020

uso del linguaggio effettuazione di riproducibilita

matematico esperimenti dei risultati

? per avvitare

per piantare per serrare una vite

un bullone

un chiodo cacciavite

chiave

martello inglese applicazione di

applicazione di applicazione di una forza e di una

una coppia di forze

una forza coppia di forze

strumenti di lavoro adeguati

dobbiamo fornirci di strumenti matematici

dobbiamo fornirci di adeguati

maneggiare appropriatamente le grandezze fisiche 5

A.A. 2019-2020

intuitivamente parlando una grandezza vettoriale determinata univocamente

quando ne sono specificate tre caratteristiche:

modulo ( intensita ), direzione verso

il la e il

ma attenzione :

esistono grandezze definibili tramite modulo direzione e verso

che non sono grandezze vettoriali

ad es. le rotazioni di un angolo finito di un corpo rigido possono essere

una direzione nello spazio, asse di rotazione,

caratterizzate da

un verso, il senso di rotazione orario o antiorario, e una intensita

ma non sono vettori

corrispondente angolo di rotazione 6

per definire le grandezze vettoriali dovremo stabilire le regole a cui

obbediscono queste grandezze ossia definire delle operazioni

che le associno ad altri vettori o ad altre grandezze e specificare le

di queste operazioni algebra vettoriale

in effetti i vettori vengono definiti in base alle di trasformazione

anche se sono

del vettore posizione rispetto a rotazioni e traslazioni,

indipendenti dal sistema di riferimento, a parte il vettore posizione stesso

il vettore posizione particolare in quanto viene definito a partire da una origine

7

A.A. 2019-2020

per specificare rappresentarla graficamente

che la generica per

a

grandezza vettoriale si usa disegnare una freccia orientata

a

la si sovrasta con una freccia : nella stessa direzione e verso

della grandezza vettoriale

di una grandezza vettoriale stessa del suo modulo

la dimensione fisica a a

a

a intensita

modulo del vettore

il o

nota: in alcuni libri di testo si usa la convenzione di scrivere

a

le grandezze vettoriali in grassetto :

| a | = a etc.

e di conseguenza si scrivera 8

lo spostamento A.A. 2019-2020

in un piano A B

se un corpo che si muove in un piano si sposta prima dal punto al punto

B C

e successivamente da a lo spostamento complessivo del corpo

a

A C e se naturale associare il vettore

stato da a b B C

A B e il vettore allo spostamento da a

allo spostamento da a C

A C

lo spostamento complessivo da a c

c

descritto dal vettore b

A a B 9

A.A. 2019-2020

intuitivo pensare allo spostamento complessivo come alla somma C

a b

degli spostamenti e c

c a b

e postulare che b

A a B

Attenzione : c

in generale il modulo ( la lunghezza ) del vettore somma a b

e

non uguale alla somma dei moduli ( delle lunghezze ) dei vettori

salvo il caso in cui due spostamenti giacciano sulla stessa retta

in altri termini : c

nel caso di spostamenti finiti il modulo del vettore spostamento complessivo

non fornisce lo spazio effettivamente percorso dal corpo

in generale a b

A C che pari a

nello spostarsi dal punto al punto 10

se partendo da A si effettua per primo lo spostamento b

inoltre

e successivamente quello a e si giunge allo stesso punto C del piano

a

D

C C

c b c

b

A A

a B b a c

a b c a b b a

se si inverte degli spostamenti il risultato non cambia

Formalizzando in termini matematici: A.A. 2019-2020

le proprieta della somma di vettori sono le seguenti:

la somma vettoriale gode della proprieta commutativa

e della proprieta associativa esempio

( PER

AD

NON MANDA )

Rotazioni DIPENDENZA

:

successive

a b b a

commutativa ROTAZIONI

PER

TRANNE

ORDINE

DA PROPRLETÀ

, state

PER cui

INFINITESIME t.nu

a b c ( a b ) c a ( b c )

associativa un

PROP DLKERSE

{ . '

QUANTITA

TRA

INFINITESIME

'

QUANTITA

E

Finite

numeri

12

A.A. 2019-2020

matematicamente due vettori sono uguali se hanno:

modulo ( intensita ), verso parallela

stesso stesso direzione

e )

( 0 11

STESSA

LA

tutti i segmenti orientati nello stesso verso, paralleli, e di uguale lunghezza

rappresentano lo stesso vettore

( vettori equipollenti )

differenze tra matematica e fisica :

- in matematica il fatto che i vettori equipollenti rappresentino lo stesso vettore

- in fisica prima di poter fare la stessa assunzione verificare

se vero che viviamo in un universo piatto

e non vero in assoluto vedi la teoria della generale 13

Moltiplicazione A.A. 2019-2020

k

a k

per un numero

la moltiplicazione di un vettore con

b ka

se per definizione

fornisce si ha che:

un vettore b

b a

|k|

modulo di il modulo di pari a volte il modulo di

b a

b

direzione di ha sempre la stessa direzione di a

k b

b

verso di ha verso concorde ad

se > 0 a

k b

se < 0 ha verso discorde ad 14

A.A. 2019-2020

b a

k = 1

se si ha → è

b

e in questo caso ha •

%

a

stesso modulo di b a

a vettore opposto

il ad

stessa direzione di a

verso opposto ad

Nota bene:

k

se fosse una grandezza scalare dotata di dimensioni fisiche )

à

QUELLA

DA

(

DIPESA di

b ka

il vettore avrebbe come dimensione fisica il prodotto della

a

k

dimensione di per la dimensione del modulo di 15

Vettore unitario versore A.A. 2019-2020

r

data una retta orientata vi sono infiniti vettori che hanno stessa direzione e

stesso verso ma che differiscono tra loro per il modulo

'

1 UNITA

→

/ r

orientato nella direzione e verso della retta

un vettore di modulo unitario u r

versore e viene indicato con il simbolo

detto o

r

un versore individua solamente una direzione ed un verso nello spazio

ad es. il segnale di senso unico 16

Scomposizione di un vettore A.A. 2019-2020

r s

due semirette orientate ed che si intersecano in un punto definiscono

un piano nello spazio

a

qualunque vettore , giacente nel piano individuato dalle due rette,

a a

nella somma di due vettori e paralleli

r s

r s

alla retta ed alla retta 17

A.A. 2019-2020

u u

dai versori ( da notare

e

se le due rette sono caratterizzate r s

necessariamente di 90 )

o

a

e se vettore giacente nel piano individuato dalle due rette

r

a a a a u a u

r r s s

r s a

a

r

a a a a

dove e

r r s s u r s

u a

s s

a a

e sono i vettori componenti i componenti

r s

a a )

(

e sono le componenti moravi

r s 18

Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali A.A. 2019-2020

in una dimensione si sceglie

:

una retta che individua la direzione

un verso positivo della retta x

si associa ad un generico punto della retta

0

un numero pari alla distanza del punto in 19

piano A.A. 2019-2020

nel , si scelgono due direzioni indipendenti e µ

perpendicolari tra loro e si costituisce un

sistema di riferimento cartesiano ortogonale è %

bidimensionale

spazio perpendicolari tra loro e

si scelgono tre direzioni indipendenti e

nello ,

si costituisce un un sistema di riferimento cartesiano ortogonale tridimensionale

^ ^ ^

i j k

che caratterizzano i tre assi cartesiani si indicano con

i tre versori x y z

e sono orientati nelle direzioni , e rispettivamente

À

Ì

Ì ORDINATA POSITIVAMENTE

UNA TERNA

SONO

, , 20

un vettore orientato nello spazio in un modo qualunque, si puo sempre A.A. 2019-2020

z

scomporre in componenti cartesiane ortogonali a a

z

a a a a a i a j a k

x y z x y z a

k a

z

modulo di un vettore in funzione j y

i

delle sue componenti cartesiane y

O a

a x

z x a y

x

C a a ?

2 2 2

OC = OB + BC

|a| a 2 2 2

OB = OA + AB

z

O NÉ

y 2 2 2 2

OC = OA + AB + BC

a x

A 2 2 2

a a OC a a a

a x y z

y B

x 21

Vettore posizione z A.A. 2019-2020

z

1

prescelto un sistema di riferimento, ad es. P

1

r

fisso nel tempo,

cartesiano ortogonale, y

1

O y

O

la posizione rispetto x

1

x

P x , y , z

del sistema di riferimento di un generico punto di coordinate ( )

1 1 1

1

r

viene individuata dal vettore posizione

r O P

dall origine verso il punto dello spazio

sempre spiccato r xi yj zk

in coordinate cartesiane 22

A.A. 2019-2020

2 2 2

r r x y z r distanza di P O

DEFINISCE

VERSARE LO

MODULO VETTORE CHE

•

r rr r ru

( o anche )

r

Nota Bene: i vettori sono grandezze intrinseche nel senso che il loro modulo non dipende

r

come per esempio il vettore spostamento

r che il prototipo di vettore applicato

O del sistema di riferimento

in quanto definito rispetto ad un punto ben determinato, 23

Necessarie per

somma di due vettori in coordinate cartesiane A.A. 2019-2020

→ ANCHE

RAPPRESENTARE VETTORI

MATEMATICAMENTE I

a a i a j a k

x y z

a b

dati due vettori e b b i b j b k

x y z

c a b

il vettore somma c a b

x x x

c c i c j c k c a b

x y z y y y

c a b

z z z

il vettore somma ha come componenti la somma delle componenti

dei singoli vettori 24

Versore in coordinate cartesiane A.A. 2019-2020

u

a

se vettore orientato nella direzione individuata dal versore a

a au

a a a

a

se ossia se il modulo del vettore a

a

u

dove il versore nella direzione di ne segue che

a a a )

(

ott ( )

%jj%È-

vettore

u a a a (a)

raduno

Nota Bene: il versore una grandezza adimensionale 25

A.A. 2019-2020

a

u

a a i a j a k da

se a

x y z a

a i a j a k ai

→

x y z

u

si ha a 2 2 2

a a a a

→

x y z k

÷ÉÈÉT u a u

z

u u i u j u k a y

in generale: u j

a a a

a y a x

x z

a i

x

u etc. coseni direttori

a 2 2 2

x a a a >

x y z

µ 26

Vettori applicati A.A. 2019-2020

ad es. applicare una forza

nella pratica usare i vettori non e sufficiente

non produce lo stesso effetto

in punti diversi di un corpo esteso

per determinare univocamente una grandezza vettoriale in fisica

modulo verso

direzione

il il

la e

il punto di applicazione

vettore applicato

un vettore cosi specificato detto: 27

APPENDICE : A.A. 2019-2020

rappresentazione grafica delle grandezze vettoriali

una grandezza vettoriale si fissa

per rappresentare graficamente

convenzionalmente e si traccia un