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Forze (Coppa)
Il momento risultante può essere nullo quando si ha una coppia di vettori che hanno risultante nulla, ma momento risultante non nullo e indipendente dal polo. È chiaro che la sola risultante non è determinante dei vettori applicati.
Terzo caso particolare: se i vettori sono equiversi e paralleli, ma non sono complanari, si sceglie un polo OP e un versore u che identifica la direzione comune degli vettori. La risultante R è data da:
R = Σ(Ri) = Σ(Ri * ui)
Dove Ri e ui sono i moduli dei vettori e della risultante, e i va da 1 a n.
Moltiplicando e dividendo per il modulo della risultante R:
R = (Σ(Ri * ui)) / R
Se si pone C = (Σ(Ri * ui)) / R, allora:
M = R * C
Dove C è il punto detto centro dei vettori paralleli, e P è il punto in cui si può pensare sia applicata la risultante.
degli vettoriin conclusione :un insieme di vettori equiversi e paralleli applicati in punti diversidello spazio tutti gli effetti equivalente ad un singolo vettore,R n applicata nel centro dei vettori parallelidegli vettori,la risultante Mz zOM r R PO CP Ra a3a 51 O Oa C2 y ya4 centro deirO Oxx CP P vettoriparalleliil centro dei vettori paralleli esiste:sempre se i vettori sono paralleli ed equiversise i vettori sono paralleli ma non equiversi, il centro dei vettori parallelila risultante non sia nullaesiste a patto chenon esiste un unico vettore equivalente ad un insieme divettori applicati se i vettori non sono tutti paralleli tra loroPIÙÈ↳ sufficienteNONRISULTANTELA PARTICOLARI3 MOMENTOILQuesti casiFUORI DIAL DINB =D POLOSEMPRE DALLA posizione DelANCHEDIPENDEPOLARE RCONOSCERE NONin generale: dato un qualsiasi insieme di vettori applicati MopTROVAREAIUTA AtiR e non sono perpendicolari tra loro ( sono indipendenti tra loro )M OPun insieme di vettori applicati in
Il testo formattato con i tag HTML è il seguente:generale non rappresentabile dalla sola risultante dei vettori R, ma scelto un polo O, il sistema di vettori può sempre essere ridotto. Per rad un vettore risultante con retta di applicazione passante per il polo O, PR = M con e indipendenti tra loro. OP e R sono rispetto al polo nullo e dato che la risultante di una coppia, infatti il momento di M di vettori è sempre nulla, il momento risultante è indipendente dal polo prescelto.
Esercizio: È dato il vettore V = 5J! / PiK = 3 6 -2,4 applicato in- -, , rispetto a È. Trovare il vettore risultante R rispetto a È.
È dato: Pats = -2 -3 coreaneo a -, , È. Trovare: ai Posto = -8 0,4a a-} , → RT (Mop Op).
Trovare: -7,46 rispetto a È.
RT è È. ! -5J risultante ! K = -182 -13 = 3- + -- -ti? ! -10--1-2 = 3 }↳ 2E;-16 -rxi-Ryj-py.euRy 6- -Rize -2ftp.i-Mopa-M?p3--IIOpiXa?→ → Mop - i " ↳ → →⑦ Flop TOP:-& -pi }}Iper topiMix -6-6--0- - P,, P PosizionePosizione-2-1-71=5Tipi Tropy% Op= origine DADA= -,, Topa 4-4=0% Ip =-=> , >! ; -10%-5 ;te -0 -15,⑨ VI;!3 -14→ -72×-9-6--3
- →-3+7=4
- -8-4=-12May;
- - =r
- ➁→
- ;-17Gi- May 73=-4-4--0-0+7--773×-0-6=-6
- ;;→
- È TIÈè xèMap È✗+ ✗ += },,1- ÌÌSÈEI = =-- - Èxt2±)IEEE) la✗ ++f- III;^) ✓IIII )✗i i; ùèà: ii i èì i✓ 4>-12×3%-12È > %:::#÷ 3 #sto %-2 ÈSÌ? Ì of?0 &+24 +36→ + * =-;! ,è ,g µ,-15 µ,-5 ,= N ri: irii i6%7>0×-6%0- # dì!& -1o ÈGI-77+0 ?; -6JI OriOi -7 -4848 =-- - -→ →TÌOPÌÙOP -124%-174^-7%6!Mop Mop È È! ;-5 +36 -48-15++ -= , , -1,-- È;i -4624 -118=MÌÈ Ì } !È Ì È24-16 -118-2 -46= ; =Esercizio :dati i vettoria 3i 5 j k P P (6, 2, 4)applicato in1 1 1Pa 2i 3 j P (9, 3, 8)applicato in 2 22 Pa 8 j k P (0, 0, 4)applicato in 3 33 e il momento risultantedeterminarne la risultante (6, 7,
- Orispetto al polo posto nel punto di coordinate P (8, 2, 3):
- Vettore: (3, 2, 1)
- Risultante: (1, 2, 3)
- Orispetto al polo posto nel punto di coordinate P (3, 5, 3):
- Vettore: (3, 2, 1)
- Risultante: (5, 3, 8)
- Orispetto al polo posto nel punto di coordinate P (1, 2, 3):
- Vettore: (3, 2, 1)
- Risultante: (1, 0, 1)
- Momento risultante:
- Risultante: (6, 2, 1)
Nota Bene: perché OP = Pi?
Risp.: perché occorre il vettore che arrivi al punto P partendo dai punti O e P.
O P = P - O
O P1 = P1 - O = (6, 2, 4) - (6, 7, 4) = (0, -5, 0)
O P2 = P2 - O = (9, 3, 8) - (6, 7, 4) = (3, -4, 4)
O P3 = P3 - O = (0, 0, 4) - (6, 7, 4) = (-6, -7, 0)
x1 = x2 = x3 = 0
y1 = -5, y2 = -4, y3 = -7
z1 = 0, z2 = 4, z3 = 0
<p>=3i + 4j + 12k</p>
<p>r = 6i + 7j + k</p>
<p>kr = 0i + 5j + 0k</p>
<p>2 31 r = 5j</p>
<p>r = 6i + 7j</p>
<p>r = 3i + 4j + 12k</p>
<p>ossia: 21 33M r a r a r a r a</p>
<p>O i i 1 1 2 2 3 3P i 1</p>
<p>= (0i + 5j + 0k) x (3i - 5j + k) + (3i + 4j + 12k) x (2i - 3j) + (6i + 7j + k) x (8j - k)</p>
<p>in coordinate cartesiane il prodotto vettoriale assume la forma:</p>
<p>r a = (r a r a)i + (r a r a)j + (r a r a)k</p>
<p>i = i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ipolari sferiche e polari cilindriche sono sistemi di coordinate curvilinee ortogonali costruiti scegliendo tre superfici. Ciascuna di queste superfici identifica un parametro reale e ogni punto nello spazio viene identificato in maniera univoca da questi parametri.
Nel caso del sistema cartesiano ortogonale, le superfici coordinate sono piani perpendicolari tra loro. Due piani perpendicolari individuano un asse di riferimento e un terzo piano perpendicolare ai primi due individua un punto di riferimento. Questo punto di riferimento è indicato come "k" e identifica in maniera univoca l'origine del sistema di riferimento.
Inoltre, vengono determinati tre assi di riferimento ortogonali, indicati come "x", "y" e "z", identificati dai tre versori ortogonali tra loro.
Nel caso delle coordinate polari sferiche, le superfici coordinate sono scelte come superfici sferiche, superfici semi-coniche e semipiani. Si assume un punto fisso "O" come origine e una retta orientata passante per "O" come asse polare. Gli assi di riferimento sono determinati di conseguenza.semipiano di riferimento
superfici sferiche
raggio della sfera
semiconi con centro in O
semipiani
versori orientati nelle direzioni AZIMUTALEANGOLOsirperpendicolare alla sfera
versori perpendicolari alla superficie del cono
versori perpendicolari al piano
coordinate cartesiane espresse in funzione delle coordinate polari sferiche
x sen cosz
y sen senP
z cos
relazioni inverse
yO )( SFERICHEcartesiane POLACOORDDA ..x 2 2 2x y zzarcos 2 2 2x y zyartg x
Coordinate polari cilindriche
superfici coordinate
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