Fisica 1 - Meccanica e Termodinamica

CINEMATICA

Lo scopo della cinematica è quello di scrivere la legge del raggio vettore in funzione del tempo Il raggio in funzione dello spostamento che è in funzione del tempo Nel moto rettilineo 1 punto materiale ha un solo grado di libertà quindi x = x(t) Introduciamo i concetti di:

velocità media v = Δx/Δt e velocità istantanea v = lim_Δt→0 Δx/Δt

accelerazione media ã = Δv/Δt e accelerazione istantanea a = lim_Δt→0 Δv/Δt

quindi v(t) = dx/dt , a(t) = dv/dt = d²x/dt²

Nel moto rettilineo uniforme v(t) = cost ≡ v₀ quindi a(t) = 0 e dt = dx/v₀ la legge del moto sarà x(t) = x₀ + v₀(t − t₀)

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a(t) = cost ≡ a₀ quindi dv/dt = a₀

v(t) = v₀ + ∫_t0^t a₀dt = v₀ + a₀t prendendo t₀ = 0 v(t) = v₀ + a₀t

quindi x(t) = x₀ + ∫_t0^t v(t)dt = x₀ + ∫_t0^t (v₀ + a₀t)dt = x₀ + v₀t + ½ a₀ t²

Nel moto bidimensionale avremo r(t) = (x(t), y(t)) due gradi di libertà quindi v(t) = lim_Δt→0 ( r(t+Δt) − r(t) )/Δt

È possibile misurare la lunghezza delle traiettoria tra t e t₀ come s(t)=∫_t0^t|v(r(t))|dt

Quindi d/ds (s|r(t)|) > 0 cioè ds/dt = 1/|r(t)| > 0

questo vuol dire che s(t) è monotona crescente quindi è invertibile e posso usarla per parametrizzare la traiettoria quindi r(t(s)) = r(s)

Derivando rispetto a s ottengo d/ds r = dv/dt dt/ds = dv/dt 1/^dv/dt = t^ vettore tangente

quindi v = dv/dt s^ + s^ dt/ds = s’ t^ + s’² dt/ds

Ma se f^ è il versore tangente vediamo così è df/ds df/ds = lim_Δs→0 Δf/^Δs = lim_Δs→0 f(t₀ + Δs) − f(t₀)/Δs è perpendicolare alla traiettoria verso il centro

Chiamando n^ il versore perpendicolare si avrà d³/ds³ = k(s) n^ dove k(s)= 1/ρ è la curvatura e ρ è il raggio di curvatura

Quindi v = s’ t^ e a = s” t^ + (s’³)/ρ n^

Nel moto circolare può essere utile introdurre le coordinate polari

r = (rcosθ, rsinθ)

È più comodo definire due nuovi

versori _μr e _μθ

μ_r = (cosθ, sinθ)

μ_θ = (-sinθ, cosθ)

quindi si vede che _μr = _θμθ e d/dt _μθ = -_θμr

Questo moto è caratterizzato da r = cost e θ = θ(t) quindi

v = d/dt (r _μr) = r_θμθ

a = dv/dt = r _θμr + r^θμθ_μθ = r^θ_μrr - r _θ^μθ

Se il moto è circolare uniforme, cioè _{θ=cost allora}

v = r _θμθ, a = -r _θμr

Introduco ⁿ, vettore perpendicolare a i e j quindi

d/dtⁿ = ^ω1 × ⁿ

quindi dⁿ¹/dt = -ⁿ_n³

dⁿ³/dt = 0

Quindi le formule di Poisson dicono che

Si dice forza conservativa una forza per la quale il lavoro svolto per spostare il punto di applicazione da A a B non dipende dal cammino ma soltanto dai punti iniziale e finale.

Per caratterizzare dal punto di vista matematico una forza conservativa, diamo una serie di condizioni necessarie e sufficienti:

• ∮F.dr=0

  Infatti presi due cammini da A a B, L_AB, L_AXιB = L_AXιB − L_BXιA quindi ∮F.dr=0 cioè L_AB + L_BXιA = 0 possiamo spezzare il ciclo in due cammini: L_AB,ιA = L_AX,ιB.

• ∃U(x,y,z) tale che L_AB = U(B) − U(A)

  dove U è una funzione che dipende solo dal posto ed è detta potenziale di F.

  Infatti fissando un punto o nello spazio e definendo L_OA = ∮F.dr = U(A) e L_OB = ∮F.dr = U(B) si ha L_AB = ∮F.dr = ∮A B F.dr + ∮B A F.dr = ∮A B F.dr − ∮A B F.dr = U(B) − U(A)

• ∃U(x,y,z) tale che F=∇U

  F è il gradiente di U cioè ∇U = (∂U/∂x) î + (∂U/∂y) ĵ + (∂U/∂z) k̂

  Infatti considerando uno spostamento infinitesimo lungo l’asse x δL = F.dx = F_x dx ma per δL δL = U(x+dx,y,z) − U(x,y,z) quindi F_x = (U(x+dx,y,z) − U(x,y,z))/dx = ∂U/∂x e analogamente per y e z

  Viceversa L_AB = ∮A B ∇U.dr = ∮A B (∂U/∂x dx + ∂U/∂y dy + ∂U/∂z dz) = ∫ A B dU = U(B) − U(A)

• rotF=0

  dove rotF = ∇ × F = | î ĵ k̂ | | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| | F_x F_y F_z| = (∂F_z/∂y − ∂F_y/∂z) î + (∂F_x/∂z − ∂F_z/∂x) ĵ + (∂F_y/∂x − ∂F_x/∂y) k̂

  Infatti se F è conservativa allora F = ∇U quindi F_x = ∂U/∂x, F_y = ∂U/∂y, F_z = ∂U/∂z e analogamente per tutte le derivate parziali, quindi tutte le componenti del rotore sono nulle

  Viceversa se rotF = ∇ × F = 0 prendiamo S ⊆ R³ con bordo ∂S allora per il teorema di Stokes ∫ ∇ × F.ds = ∮ F.dr

  Quindi ∮ F.dr = 0

Si può anche ricavare il moto del pianeta e le leggi di Keplero partendo

dalla forza di gravitazione universale F_g = -G m_m M_R / r²

L = mvr = mr² θ̇ quindi θ̇ = L / mr²

ch _eff: V_eff = L² / 2mr² - G M_m /r

energia potenziale effetiva

Se E = 1/2 mv² = ^L2⁄_2mr² - G M_m / r quindi

E = 1^{/₂−⁄_r2 1/₂ cosθ1r1− l1⁄_r.}

Dalle formule di sostituzione di e modo che:

Se E < 0 allora e < 1 quindi è un ellisse

se invece E=0 allora e=1 parabolax

infine se E >0 allora e > 1 iperbole

Teorema di König per l'energia cinetica

Abbiamo definito T = ∑_i ½ m_iv_i² e prendiamo sempre r_i = r_cm + r_i' quindi v_i = v_cm + V_i'

T = ∑_i ½ m_iv_i² = ∑_i ½ m_i(v_cm + V_i')² = ∑_i ½ m_iv_cm² + ∑_i m_iv_cmv_i' + ½ ∑_i m_iv_i'²

= m_cv_cm½ v_cm² + ∑_i m_iv_i'²

Quindi T = T_cm + T'

Supponiamo ora che F_ext e F_int siano conservative, diciamo che la risultante delle forze esterne agisce sul l-esimo punto, allora

L_ext^AB = ∑_i ∫_A^B F_i ⋅ dr_i = -∑_i ∫_A^B ∇V_i ⋅ dr_i = -∑_i (V_i(A) - V_i(B))

Per quanto riguarda le forze interne sappiamo che

F_i = -∇_i V_i' = ∇_jV_ji = F_si con V_ij = V(|r_i - r_j|) e ∇: gradiente rispetto a r_i,

quindi il lavoro delle forze interne sarà

∑_{ijintA^B Fi ⋅ dri + ∑j^AB Fsi ⋅ drs = -∑ij^A∇jVij ⋅ dri - ∑p^B∇jVsi ⋅ drs}

ponendo dV_i = V_i' ∇V_ij = -∇_jV_ij → dV_is = dv_i - dr_s si ottiene

L^int_AB = -½ ∑_ij^B∇_is V_ij V_ij ⋅ dr_is = -½ ∑_kis (V_ij(B) - V_fj(A))

Definendo quindi V = ∑_i V_i + ½ ∑_ij V_ij

si arriva alla conservazione dell'energia meccanica E = T + V