Fisica 1 - Meccanica e Termodinamica

Cinematica

Lo scopo della cinematica è quello di scrivere la legge del raggio vettore in funzione del tempo ^_{r=r(t)}, il raggio in funzione dello spostamento che è in funzione del tempo ^_{s=s(t)}.

Nel moto rettilineo il punto materiale ha un solo grado di libertà, quindi ^x=x(t).

Introduciamo i concetti di: velocità media ^{v = Δx / Δt} e velocità istantanea ^{v = lim Δx / Δt}_{Δt → 0}; accelerazione media ^{a = Δv / Δt} e accelerazione istantanea ^{a = lim Δv / Δt}_{Δt → 0}.

Quindi ^{v(t) = \(\frac{d}{dt}\) x(t)} e ^{a(t) = \(\frac{d}{dt}\) v(t) = \(\frac{d^2}{dt^2}\) x(t)}.

Moto rettilineo uniforme

Nel moto rettilineo uniforme ^{v(t) = cost = v₀}, quindi ^{a(t) = 0} e ^{dx/dt = v₀}.

La legge del moto sarà ^{x(t) = x₀ + ∫_t₀,tv₀dt} = ^{x₀ + v₀(t-t₀)}.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato ^{a(t) = cost = a₀}, quindi ^{dv/dt = a₀}.

^{v(t) = v₀ + ∫_t₀,ta₀dt} = ^{v₀ + a₀(t-t₀)}.

Prendendo ^{t₀ = 0}, ^{v(t) = v₀ + a₀t}.

Quindi ^{x(t) = x₀ + ∫_t₀,tv(t)dt} = ^{x₀ + ∫_t₀,t[v₀ + ∫_t₀,ta₀dt]dt} = ^{x₀ + v₀t + ½a₀t²}.

Moto bidimensionale

Nel moto bidimensionale avremo ^{r(t) = (x(t), y(t))}, due gradi di libertà, quindi ^{v(t) = lim{(r(t+Δt) - r(t)) / Δt}}_{Δt → 0}.

È possibile misurare la lunghezza della traiettoria tra ^t e ^t₀ come ^{s(t) = ∫_t₀,t|dr| = ∫_t₀,t|v(t)|dt}.

Quindi ^{\(\frac{ds}{dt} = |r ̇(t)| > 0\)}, cioè ^{\(\frac{dt}{ds} = \frac{1}{|r ̇(t)|} > 0\)}.

Questo vuol dire che ^s(t) è crescente monotona, quindi è invertibile e posso usarla per parametrizzare la traiettoria, quindi ^{r(t(s)) = r(s)}.

Derivando rispetto a ^s ottengo ^{\(\frac{d}{ds}r = \frac{dr}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{dr}{dt} \frac{1}{|r ̇(t)|} = \hat{t}\)}, versore tangente.

Quindi ^{v = \(\frac{dr}{ds}\frac{ds}{dt} = s ̇\hat{t}\)}.

^{a = \(\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(s ̇\hat{t}) = s ̇̇\hat{t} + s ̇^2 \frac{d}{dt}\hat{t}\)}.

Ma se ^\hat{t} è il versore tangente, vediamo cos'è ^{\(\frac{d}{dt}\frac{d}{ds}\hat{t}\)}.

^{\(\frac{d}{ds}\hat{t} = lim\(\frac{Δ\hat{f}}{Δs}\)}_Δs→0 è perpendicolare alla traiettoria verso il centro.

Chiamando ^{\(\hat{n}(s)\)} il versore perpendicolare, si avrà ^{\(\frac{d}{ds}\hat{t} = K(s)\hat{n}\)}, dove ^{K(s) = \(\frac{1}{ρ}\)} è la curvatura e ^ρ è il raggio di curvatura.

Quindi ^{v = s ̇\hat{t}} e ^{a = s ̇̇\hat{t} + \(\frac{s ̇^2}{ρ}\hat{n}\)}.

Cinematica

Lo scopo della cinematica è quello di scrivere la legge del raggio vettore in funzione del tempo e il raggio in funzione dello spazio.

Nel moto rettilineo un punto materiale ha un solo grado di libertà, quindi x = x(t).

Introduciamo i concetti di: velocità media _v̄ = Δx/Δt e velocità istantanea v = lim _Δt→0 Δx/Δt; accelerazione media _ā = Δv/Δt e accelerazione istantanea a = lim _Δt→0 Δv/Δt.

Quindi v(t) = d/dt x(t) e a(t) = d/dt v(t) = d²/dt² x(t).

Moto rettilineo uniforme

Nel moto rettilineo uniforme v(t) = cost = v₀, quindi a(t) = 0 e dx/dt = v₀.

La legge del moto sarà x(t) = x₀ + v₀(t - t₀).

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a(t) = cost = a₀, quindi dv/dt = a₀, quindi v(t) = v₀ + ∫_t0^ta₀dt = v₀ + a₀(t - t₀).

Prendendo t₀ = 0, v(t) = v₀ + a₀t.

Quindi x(t) = x₀ + ∫_t0^tv(t)dt = x₀ + ∫_t0^t v₀dt + ∫_t0^t∫ a₀t dt = x₀ + v₀t + ½ a₀t².

Moto bidimensionale

Nel moto bidimensionale avremo r(t) = (x(t), y(t)), due gradi di libertà, quindi v(t) = lim _Δt→0 [r(t+Δt) - r(t)]/Δt.

È possibile misurare la lunghezza della traiettoria tra t₀ e t₁ come s(t₁, t₀) = ∫_t0^t₁|v(t)|dt = ∫_t0^t₁|ṙ(t)|dt.

Quindi d/ds |ṙ(t)| > 0, cioè dt/ds = 1/|ṙ(t)| > 0.

Questo vuol dire che s(t) è monotona crescente, quindi è invertibile e posso usarla per parametrizzare la traiettoria, quindi r(t(s)) = r(s).

Derivando rispetto a s ottengo d/ds r = dv/dt ds/dt = dr/dt t̂ vettore tangente.

Quindi v = dr/ds = dv/ds ds/dt = ṡ t̂ + ṡ dt/dt = ṡ t̂ + ṡ² (dt/ds).

a = dv/dt (ṡ t̂) + ṡ dt/dt = s̈ t̂ + ṡ t̂' + ṡ² d/dt.

Ma se t̂ è il vettore tangente vedi