Fisica 1 - Meccanica e Termodinamica

CINEMATICA

Lo scopo della cinematica è quello di scrivere la legge del raggio vettore in funzione del tempo ^_{r=r(t)}, il raggio in funzione dello spostamento che è in funzione del tempo^_{s=s(t)}.

Nel moto rettilineo il punto materiale ha un solo grado di libertà quindi ^x=x(t)

Introduciamo i concetti di:

• velocità media ^{v = Δx / Δt} e velocità istantanea ^{v = lim Δx / Δt}_{Δt → 0}
• accelerazione media ^{a = Δv / Δt} e accelerazione istantanea ^{a = lim Δv / Δt}_{Δt → 0}

quindi ^{v(t) = \(\frac{d}{dt}\) x(t)} e ^{a(t) = \(\frac{d}{dt}\) v(t) = \(\frac{d^2}{dt^2}\) x(t)}

Nel moto rettilineo uniforme ^{v(t) = cost = v₀} quindi ^{a(t) = 0} e ^{dx/dt = v₀}

La legge del moto sarà ^{x(t) = x₀ + ∫_t₀,tv₀dt} = ^{x₀ + v₀(t-t₀)}

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato ^{a(t) = cost = a₀} quindi ^{dv/dt = a₀}

^{v(t) = v₀ + ∫_t₀,ta₀dt} = ^{v₀ + a₀(t-t₀)}

prendendo ^{t₀ = 0 v(t) = v₀ + a₀t}

quindi ^{x(t) = x₀ + ∫_t₀,tv(t)dt} = ^{x₀ + ∫_t₀,t[v₀ + ∫_t₀,ta₀dt]dt} = ^{x₀ + v₀t + ½a₀t²}

Nel moto bidimensionale avremo ^{r(t) = (x(t), y(t))} due gradi di libertà

quindi ^{v(t) = lim{(r(t+Δt) - r(t)) / Δt}}_{Δt → 0}

È possibile misurare la lunghezza delle traiettoria tra ^t e ^t₀ come

^{s(t) = ∫_t₀,t|dr| = ∫_t₀,t|v(t)|dt}

Quindi ^{\(\frac{ds}{dt} = |r ̇(t)| > 0\)} cioè ^{\(\frac{dt}{ds} = \frac{1}{|r ̇(t)|} > 0\)}

questo vuol dire che ^s(t) è crescente monotona quindi è invertibile e posso usarla per parametrizzare la traiettoria quindi ^{r(t(s)) = r(s)}

Derivando rispetto a ^s ottengo ^{\(\frac{d}{ds}r = \frac{dr}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{dr}{dt} \frac{1}{|r ̇(t)|} = \hat{t}\)} versore tangente

quindi ^{v = \(\frac{dr}{ds}\frac{ds}{dt} = s ̇\hat{t}\)}

^{a = \(\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(s ̇\hat{t}) = s ̇̇\hat{t} + s ̇^2 \frac{d}{dt}\hat{t}\)}

Ma se ^\hat{t} è il versore tangente vediamo cos'è ^{\(\frac{d}{dt}\frac{d}{ds}\hat{t}\)}

^{\(\frac{d}{ds}\hat{t} = lim\(\frac{Δ\hat{f}}{Δs}\)}_Δs→0

è perpendicolare alla traiettoria veno il centro

Chiamando ^{\(\hat{n}(s)\)} il versore perpendicolare si avrà ^{\(\frac{d}{ds}\hat{t} = K(s)\hat{n}\)}

dove ^{K(s) = \(\frac{1}{ρ}\)} è la curvatura e ^ρ è il raggio di curvatura

Quindi ^{v = s ̇\hat{t}} e ^{a = s ̇̇\hat{t} + \(\frac{s ̇^2}{ρ}\hat{n}\)}

CINEMATICA

Lo scopo della cinematica è quello di scrivere la legge del raggio vettore in funzione del tempo e il raggio in funzione dello spazio. Nel moto rettilineo un punto materiale ha un solo grado di libertà quindi x = x(t). Introduciamo i concetti di:

• velocità media _v̅ = Δx/Δt e velocità istantanea v = lim _Δt→0 Δx/Δt
• accelerazione media _ā = Δv/Δt e accelerazione istantanea a = lim _Δt→0 Δv/Δt

quindi v(t) = d/dt x(t) e a(t) = d/dt v(t) = d²/dt² x(t)

Nel moto rettilineo uniforme v(t) = cost = v₀ quindi a(t) = 0 e dx/dt = v₀

La legge del moto sarà x(t) = x₀ + v₀(t - t₀)

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a(t) = cost = a₀ quindi dv/dt = a₀ quindi v(t) = v₀ + ∫_t0^ta₀dt = v₀ + a₀(t - t₀) prendendo t₀ = 0 v(t) = v₀ + a₀t

quindi x(t) = x₀ + ∫_t0^tv(t)dt = x₀ + ∫_t0^t v₀dt + ∫_t0^t∫ a₀t dt = x₀ + v₀t + ½ a₀t²

Nel moto bidimensionale avremo r(t) = (x(t), y(t)) due gradi di libertà quindi v(t) = lim _Δt→0 [r(t+Δt) - r(t)]/Δt

È possibile misurare la lunghezza della traiettoria tra t₀ e t₁ come s(t₁, t₀) = ∫_t0^t₁|v(t)|dt = ∫_t0^t₁|ṙ(t)|dt

Quindi d/ds |ṙ(t)| > 0 cioè dt/ds = 1/|ṙ(t)| > 0

Questo vuol dire che s(t) è monotona crescente quindi è invertibile a posso usarle per parametrizzare le traiettoria quindi r(t(s)) = r(s)

Derivando rispetto a s ottengo d/ds r = dv/dt ds/dt = dr/dt t̂ vettore tangente

quindi v = dr/ds = dv/ds ds/dt = ṡ t̂ + ṡ dt/dt = ṡ t̂ + ṡ² (dt/ds)

a = dv/dt (ṡ t̂) + ṡ dt/dt = s̈ t̂ + ṡ t̂' + ṡ² d/dt

Ma se t̂ è il vettore tangente vedi