Fenomeni di trasporto

K

T= temperatura assoluta

Corpo qualsiasi: spettro di emissione a T=T 1 2

= flusso termico emesso da un corpo [W/m ]

Emittenza monocromatica:

= =

Emissività: ∫ ⅆ

= ∫ ⅆ

Mettendo in relazione il flusso termico emesso da un corpo nero con una correzione data

dall’emissività, otteniamo una legge che può caratterizzare un corpo imperfetto:

Legge di Stefan-Boltzmann: 4

=

2

= flusso termico emesso da un corpo [W/m ]

= emissività del corpo (0-1) −8 2 4

= 5,67 ⋅ 10

costante di Stefan-Boltzmann= [W/m K ]

K

T= temperatura assoluta

Assorbimento :

Flusso di energia assorbito dal corpo per la radiazione

=



= flusso termico assorbito da un corpo alla lunghezza d’onda



= fattore di assorbimento alla lunghezza d’onda



lunghezza d’onda

= irradiazione alla

Assorbanza: ⅆ

∫

= ⅆ

∫

106

Flusso di energia assorbito dal corpo: =

2

= flusso di energia assorbita da un corpo [W/m ]

= assorbanza (0-1) 2

G= irradiazione [W/m ]

Se si pensa l’irradiazione come radiazione emessa da un corpo nero, la si può definire con

la legge di Stefan-Boltzmann: 4

=

E quindi il flusso di energia termica assorbita è: 4

=

Flusso di energia scambiato per irraggiamento

È la differenza tra flusso di energia emessa e assorbita:

4 4

= − = −



Ipotesi del corpo grigio: corpo la quale emissività al variare di è costante:

Emittenza monocromatica:

= =

Emissività per il corpo grigio:

∫ ⅆ

()

= = =

∫ ⅆ

Si prende come ipotesi per il corpo grigio che l’assorbanza sia uguale all’emissività:

=

Quindi: 4 4

= ( − )

107

108 109

110

Come si muove la specie i-ma in un sistema multicomponente?

• velocità della specie i-ma;

• flusso molare della specie i-ma;

• legge di Fick e coefficiente di diffusione

• dipendenza del coefficiente di diffusione da temperatura, pressione e

composizione

Moto della specie i-esima

Si consideri un fluido stagnante, costituito da più specie di cui una è la specie i di

riferimento:

• se le specie sono omogeneamente distribuite all’interno del volume di riferimento,

non si osserva alcun movimento della specie i-esima. La velocità della specie i-esima

→ = 0

è nulla

• sono omogeneamente distribuite all’interno del volume di

se le specie non

riferimento, vengono a crearsi gradienti di concentrazione di specie chimica (i-

esima). Si osserva lo spostamento della specie i-esima (o meglio del suo centro di

→ =

massa) con una velocità pari a quella di diffusione ,ⅆ

Nei casi appena descritti, il moto della specie i-esima è dato da un meccanismo di diffusione:

la specie i si muove se non è uniformemente distribuita nel volume considerato (in presenza

di gradienti di concentrazione). ∗

Si consideri ora un fluido in movimento con una velocità (riferita al centro molare) . In

questo caso si parla di trasporto per convezione, perché la specie i è parte di un fluido in

movimento e quindi avanza con la velocità del fluido stesso.

Se inoltre la specie i-esima non è uniformemente distribuita nel volume di riferimento, il

gradiente di concentrazione provoca uno spostamento della specie i che si sovrappone al

∗

= +

moto del fluido. La velocità di spostamento della specie i-esima è allora

.

,ⅆ 111

Velocità della specie i-esima

Velocità media di i: ∗

= +

,ⅆ

∗

= velocità del centro molare;

= velocità di diffusione di i.

,ⅆ

La velocità del centro molare del sistema è data da:

∑

∗

= ∑

Flusso molare della specie i-esima

Flusso molare totale di i: ∗ ∗

= = + = +

,ⅆ

∗

= flusso molare convettivo;

= = flusso molare diffusivo

,ⅆ

112

Legge di Fick e coefficiente di diffusione

• coefficiente di diffusione nei gas

✓ diffusione libera, intermedia e di Knudsen

• coefficiente di diffusione nei liquidi

✓ effetto di temperatura e composizione

Trasporto di specie chimica per diffusione

Si osserva che in presenza di un gradiente di concentrazione nel volume di riferimento si

instaura un trasporto di specie chimica (flusso diffusivo) dalla zona a maggior

concentrazione a quella a minor concentrazione.

Voglio trovare una relazione che leghi la driving force della diffusione al flusso diffusivo di

specie chimica.

Legge di Fick = −

,

2

= flusso molare diffusivo di i [mole/m s]

2

= coefficiente di diffusione di i nel mezzo m [m /s]

, 3

= concentrazione molare di i [mole/m ]

In questo caso la proprietà di trasporto di specie chimica è il coefficiente di diffusione

(l’unità di misura è quella che hanno tutte le proprietà di trasporto viste).

,

Coefficiente di (auto)diffusione: dipendenza dal fluido,

T, P

dipende da:

,

• natura della miscela e dalle specie coinvolte

• condizioni termodinamiche della miscela

Posso esprimere questa dipendenza utilizzando un approccio molecolare. 113

Fluido: GAS PURO;

Caratteristiche molecolari: d, m.

Condizioni Termodinamiche: T, P.

Teoria cinetica elementare dei gas

A noi però serve un modello che preveda due specie diverse di gas presenti

contemporaneamente. Per far ciò, si fa l’assunzione di avere una miscela di due isotopi

di uno stesso gas: A e A*. Si parlerà quindi di coefficiente di autodiffusione

8

• -23

√

̅ =

Velocità media molecolare = costante di Boltzmann= 1,381*10

J/K 1

• =

Libero cammino medio molecolare 2

√2 ⅆ

2

• tra piani d’urto

⊥ =

Distanza 3

1

• = ̅

Flusso molecolare 4

Concentrazione molecolare di A al piano y: ∗

Flusso molecolare convettivo di A al piano y:

Flusso molare convettivo di A al piano y:

∗

∗

=

̃

Flusso molare di A dal piano y-a:

|

̃

−

Flusso molare di A dal piano y+a:

|

̃

+

Flusso molare totale di A al piano y:

∗ ∗

| | |

[ ]

= + [ | − | ] = + −

− +

̃ ̃ ̃

− +

114 () ()

= = , ⟷

Essendo , con posso ottenere una correlazione

(profilo frazione molare verrà poi sostituito dalla concentrazione).

ⅆ 2 ⅆ

| | |

( ) ( )

= − = −

−

ⅆ 3 ⅆ

ⅆ 2 ⅆ

| | |

( ) ( )

= + = +

+

ⅆ 3 ⅆ

Flusso molare totale di A al piano y:

4 ⅆ

∗ ∗

| | |

[ ] ( )]

= + − = + [−

− +

̃ ̃ 3 ⅆ

1

= ̅ = = = ,

Essendo , , , con la relazione diventa:

̃

4 1 ⅆ

∗

| ( )]

= + [− ̅

3 ⅆ

1 ⅆ

[− ̅ ( )]

Si riconosce nel termine il flusso diffusivo di specie chimica, che

3 ⅆ

= −

secondo la legge di Fick è :

, ∗

|

= +

Confrontando la relazione precedente, il coefficiente di diffusione di A nel mezzo m

risulta essere: 1

= ̅

, 3

Essendo la miscela costituita per ipotesi dagli isotopi A e A*, il mezzo m non è altro

che il gas A*. Il coefficiente di autodiffusione è quindi:

1

= ̅

,∗ 3

Il coefficiente di (auto)diffusione è già una proprietà di trasporto, e la sua formulazione

è identica alla viscosità cinematica: 1

= = ̅

,∗ 3

questo perché le molecole di gas trasportano sia quantità di moto che specie chimica

(per la loro natura). 115

Si vedrà ora la dipendenza del coefficiente di autodiffusione dalle condizioni

̅

termodinamiche: si sostituiscono i valori di e con le loro definizioni.

8

• -23

√

̅ =

Velocità media molecolare ; =costante di Boltzmann=1,381*10

J/K 1

• =

Libero cammino medio molecolare 2

√2 ⅆ

̃

=

Ricordando inoltre che :

3∕2 3∕2 ̃

3∕2 1/2 ∕

2 2

= ( ) = ( )