Esponenziale complesso

L'esponenziale complesso

L'espressione g(z) = e^z2 rappresenta una funzione esponenziale complessa. Inoltre, abbiamo g(z) = e^πz l^z, dove l^z = l^x(cos y + i sin y) è la forma esponenziale di un numero complesso.

Un numero complesso z può essere rappresentato come z = x + 0i. Quando z = x, si ha e^z = e^x(cos(0) + i sin(0)). Questo ci porta a l^x|e^z| = l^{Re z} e Arg l^z = Im z.

Proprietà e condizioni

Consideriamo il caso in cui |z| < 1. In questo contesto, abbiamo che |e^z| > 0. Questo è un esempio di come le proprietà dei numeri complessi possano portare a conclusioni interessanti, come il fatto che |e^z| ≠ 0.

Condiizioni di Cauchy-Riemann

La funzione complessa g(z) = 1/z² soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann. Consideriamo la funzione nella forma e^z = e^x cos y + i e^x sin y. In tale caso, abbiamo:

• u_x = e^x cos y
• u_y = -e^x sin y
• v_y = e^x cos y
• v_x = -e^x sin y

Formula di Eulero

Consideriamo il caso in cui z = 0 + iy = iy. La formula di Eulero per il numero complesso diventa e^iy = cos y + i sin y e l'argomento è Arg e^iy = y.

La circonferenza unitaria ha un modulo |w| = 1. Un numero complesso può essere scritto in tre modi differenti:

1. z = x + iy
2. z = p(cos θ + i sin θ)
3. z = p e^{i θ}

Per esempio, il numero complesso 1 = 0 + 1i può essere scritto come 1 = cos ^π/₂ + i sin ^π/₂ o come 1 = e^{i π/₂}.

La derivata complessa

Consideriamo la derivata della funzione esponenziale complessa g'(z) = ∂/∂x e^-z2. Questa può essere espressa come e^{z2 + 2πi} = e^x (e^{xy + ixy}).

Esempi di applicazione

Un esempio di funzione complessa è f(z) = ₁/^ez2-1. La domanda fondamentale è: dove è definita? Consideriamo che e^{z2 + 2kπi} richiede che z ≠ 2kπi.