Esercizi svolti sui circuiti trifase

Esercizi sui sistemi trifase

In questo file ti presento alcuni semplici esercizi che ho raccolto sui sistemi trifase, senza per ora entrare in merito alla potenza nei sistemi trifase, ma solo per capire come si affronta un esercizio sui sistemi trifase. Li ho scritti su Word perché le figure fossero più chiare.

Esercizi applicativi sul sistema trifase a stella

Esercizio

Una linea trifase con la tensione concatenata di 380 V, alimenta tre impedenze uguali di resistenza R = 12 Ω e reattanza induttiva X = 8 Ω, le quali sono collegate a stella con neutro. Determinare le correnti di linea ed il loro sfasamento sulle tensioni di fase.

L'impedenza di ciascuna fase è data da:

Z = √R² + X² = √12² + 8² = 14,42 Ω

La tensione di fase è:

V_f = V_c / √3 = 220 V

Essendo il carico equilibrato, le correnti nelle tre fasi sono uguali fra loro; le correnti di linea sono uguali alle correnti di fase e si ha:

I_L = I_F = V_f / Z = 220 / 14,42 = 15,25 A.

Queste correnti sono sfasate in ritardo sulle tensioni di fase dello stesso angolo φ:

tg φ = X / R = 8 / 12 = 0,666 → φ = 33° 40’

Il diagramma delle correnti e delle tensioni di fase si può rappresentare così:

La somma vettoriale delle tre correnti è nulla, perché esse sono uguali e risultano sfasate fra loro di 120°, per cui nel filo neutro non passa corrente.

Esercizio

Una linea trifase con neutro alla tensione concatenata di 220 V e alimenta tre impedenze ohmico-induttive, le quali hanno le seguenti caratteristiche:

• R₁ = 2 Ω X₁ = 4 Ω
• R₂ = 6 Ω X₂ = 3 Ω
• R₃ = 2 Ω X₃ = 6 Ω

Determinare le correnti di linea, i loro sfasamenti sulle tensioni di fase e la corrente I_o che attraversa il neutro.

Per prima cosa si determinano le impedenze di fase:

• Z₁ = R₁ + jX₁ = 2 + j4;   Z₁ = √2² + 4² = 4,47 Ω
• Z₂ = R₂ + jX₂ = 6 + j3;   Z₂ = √6² + 3² = 6,71 Ω
• Z₃ = R₃ + jX₃ = 2 + j6;   Z₃ = √2² + 6² = 6,32 Ω

Il modulo della tensione di fase vale:

V_f = V_c / √3 = 127 V

Prima di determinare le correnti di fase, devo determinarmi le tensioni di fase espresse in numeri complessi. A tale scopo posso porre la tensione di fase V₁₀ sull’asse reale o sull’asse immaginario.

Supponiamo di porre V₁₀ sull’asse reale. Le tensioni di fase risulteranno:

• V₁₀ = 127 + j 0
• V₂₀ = - 127 sen 30° - j 127 cos 30° = 127 ( - ¹⁄₂ - j ^√3⁄₂) = - 63,5 - j 110
• V₃₀ = - 127 sen 30° + j 127 cos 30° = 127 ( - ¹⁄₂ + j ^√3⁄₂) = - 63,5 + j 110

Determiniamo ora le correnti di fase:

• I₁ = ^V₁₀⁄_Z1 = ¹²⁷⁄_{2 + j 4} = 12,7 - j25,4 = √^{12,72 + 25,42} = 28,4A
• I₂ = ^V₂₀⁄_Z2 = ^{- 63,5 - j110}⁄_{6 + j3} = -15,8 - j10,43 = √^{15,82 + 10,432} = 18,9A
• I₃ = ^V₃₀⁄_Z3 = ^{- 63,5 + j110}⁄_{2 + j6} = 13,32 + j15 = √^{13,322 + 152} = 20,07A

A tal punto si inseriscono le correnti nel diagramma vettoriale:

Determiniamo ora gli sfasamenti tra le correnti di fase e le tensioni di fase (o stellate):

• tan ϕ₁ = X_L / R₁ = 4 / 2 = 2 → ϕ₁ = 63° 30'
• tan ϕ₂ = X₂ / R₂ = 3 / 6 = 0.5 → ϕ₂ = 26° 35'
• tan ϕ₃ = X₃ / R₃ = 6 / 2 = 3 → ϕ₃ = 71° 35'

Determiniamo ora la corrente nel neutro I₀:

I₀ = I₁ + I₂ + I₃ = 12,7 − j25,4 − 15,8 − j10,43 + 13,32 + j15 = 10,22 − j20,83

I₀ = √(10,22² + 20,83²) = 23,20 A

e la inseriamo nel diagramma vettoriale con la possibilità di verifica grafica sulla correttezza dei calcoli.

Conclusioni

Non si possono sommare i moduli delle tre correnti di fase, ma bisogna sempre fare la somma vettoriale: dimostriamo:

I₀ = |I₁| + |I₂| + |I₃| = 28,4 + 18,9 + 20,07 = 67,41 A , mentre I₀ = 23,2 A.

N.B.: se al posto di un'induttanza ci fosse stato un condensatore, ovviamente la parte immaginaria sarebbe diventata −jX!

Conclusioni

Il collegamento a stella è caratterizzato da:

• 3 tensioni di fase
• 6 tensioni:
  • 3 tensioni concatenate
  • 3 correnti

Se il sistema è simmetrico V_C = √3 V_f

Se il sistema è equilibrato : Ī_o = 0

Il collegamento a triangolo è caratterizzato da:

• 3 tensioni
• 3 correnti di fase
• 6 correnti:
  • 3 correnti di linea

Se il sistema è equilibrato: I_L = √3 I_f

Esercizi applicativi sul sistema trifase a triangolo

Esercizio

Una linea trifase, con tensione concatenata di 220 V, alimenta tre impedenze uguali collegate a triangolo e costituite da una resistenza R = 6 Ω e da una reattanza induttiva X = 8 Ω. Determinare la corrente nei fili di linea ed il suo sfasamento sulla tensione concatenata.

In ognuna delle tre fasi si ha l’impedenza:

Z = √R² + X² = √6² + 8² = 10 Ω

Le tre impedenze sono sottoposte alla tensione concatenata, perciò la corrente in ogni fase del triangolo è:

I_f = ^V_c/_Z = ²²⁰/₁₀ = 22 A

Le tre correnti di fase sono sfasate in ritardo sulla tensione concatenata di uno stesso angolo φ, dato da:

tg φ = ^X/_R = ⁸/₆ = 1,333 → φ = 53°10’.

Essendo il sistema equilibrato, le correnti di linea sono:

I_L = √3 I_f = 1,73 x 22 = 38,06 A.

Le correnti di linea sono sfasate in ritardo di 30° sulle correnti di fase e, quindi, sono in ritardo sulla tensione concatenata di un angolo:

φ_L = φ + 30° = 53°10’ + 30° = 83°10’ come si evidenzia nel sottostante diagramma vettoriale.

Esercizio

Un sistema simmetrico di tensioni concatenate a 260 V, alimenta tre impedenze ohmico-induttive collegate a triangolo, le quali hanno le seguenti caratteristiche:

• R₁ = 4 Ω X₁ = 3 Ω
• R₂ = 5 Ω X₂ = 3 Ω
• R₃ = 6 Ω X₃ = 8 Ω

Determinare le correnti di fase, le correnti di linea, i loro sfasamenti sulle rispettive tensioni.

Le impedenze in forma simbolica e in modulo, sono:

• Z̅₁ = R₁ + j X₁ = 4 + j3 ; Z₁ = √4² + 3² = 5,0 Ω
• Z̅₂ = R₂ + j X₂ = 5 + j3 ; Z₂ = 5,8 Ω
• Z̅₃ = R₃ + j X₃ = 6 + j8 ; Z₃ = 10 Ω

Disponendo il vettore della tensione concatenata V̅₁₂ secondo il semiasse reale positivo, si ottengono le espressioni delle diverse tensioni concatenate:

• V₁₂ = 260 + j 0
• V₂₃ = - 260 sen 30° - j 260 cos 30° = 260 ( - ¹⁄₂ - j ^√3⁄₂) = - 130 - j 225
• V₃₁ = - 260 sen 30° + j 260 cos 30° = 260 ( - ¹⁄₂ + j ^√3⁄₂) = - 130 + j 225

Calcoliamo ora le correnti di fase in forma simbolica e in modulo:

• I_1f = ^V₁₂⁄_Z1 = ²⁶⁰⁄_{4 + j3} = ^{260(4 - j3)}⁄_{(4 + j3)(4 - j3)} = 41,6 - j31,2 → I_1f = √^{41,62 + 31,22} = 52 A
• I_2f = ^V₂₃⁄_Z2 = ^{-130 - j225}⁄_{5 + j3} = ^{(-130 - j225)_×(5 - j3)}⁄_{(5 + j3)×(5 - j3)} = -38,97-j21,6 → I_2f = 44,6 A
• I_3f = ^V₃₁⁄_Z3 = ^{-130 + j225}⁄_{6 + j8} = 10,2 + j23,9 → I_3f = 26 A

I loro sfasamenti in ritardo (carico Ω-L) sulle tensioni concatenate sono:

• tgφ₁ = ^X₁⁄_R1 = ³⁄₄ = 0,75 → φ₁ = 36°50′
• tgφ₂ = ^X₂⁄_R2 = 0,60 → φ₁ = 31°
• tgφ₃ = ^X₃⁄_R3 = 1,33→ φ₁ = 53°10′

NB: Se si fa il rapporto fra parte immaginaria e parte reale:

tg α = ^31,2⁄_41,6 trovo l'angolo α che coincide con φ₁ ma questo non vale per le altre correnti; tg β = ^21,2⁄_38,97 è diverso da φ₂ idem per l’angolo γ.

Le correnti di linea sono uguali alla differenza vettoriale delle correnti di fase che concorrono allo stesso nodo del triangolo e quindi:

• I₁ = I_1f - I_3f = (41,6 - j31,2) - (10,2 + j23,9) = 31,4 - j55,1
• I₂ = I_2f - I_1f = (-38,97 - j21,6) - (41,6 - j31,2) = -80,57 + j9,6
• I₃ = I_3f - I_2f = 49,17 + j45,5

I₁ = √31,4² + 55,1² = 63,5 A   I₂ = 81,2 A   I₃ = 67 A

La somma vettoriale delle correnti di linea è uguale a zero, come si può controllare sommando i tre numeri complessi che le rappresentano e come risulta dal diagramma.