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Numeri Complessi
Libro 1
(Scrivere in forma trigonometrica e complessa)
z1 = 1 - i
z2 = 3⁄2 + i
z4 = -10
z5 = 6i
z6 = -3i
Libro 3 (radici)
- a) 3√i
- b) z3 = 4i
- c) z3 = -6i
- d) z3 = i
- e) z6 = 36
- f) z7 = 25i
Libro 4 (equazioni)
- a) z2 = z + 5 = 30
- b) z2 + 7i + i = 0
- g) i3 = z2 = z + i
Youmath (radici)
- I) z6 = 1
- II) z4 = -16
- III) z3 = -27
- IV) √5
- V) z1 = -1
- VI) (1+i)
- VII) z = 4 + i √3
- VIII) z2 - 1 = i
- IX) z3 = 4 - (4π)
- X) z2 = -4 π
XI) 6 [(√-1 + √3) - (1 + 3i)i√3] ⁄ 2 - 2i
ESAMI
- 1) w = 1 + √3⁄1 - √3i (08/01)
- 2) w = -3 √2 i⁄1 - i (08/02)
- 3) i2 3√2 i⁄(i - i)
- 4) z5 = 3i
- 5) z = 3√3 + 1 + xi
Ris. Libro 1
Forma trigonometrica
α = arctan -1 → δ =- π4 β = |z| = √2
Forma trigonometrica
z = √2 [cos(-π⁄4) + i sen(-π⁄4)]
Forma esponenziale
z = 2ei π⁄4
z2 = √3 + 1 + i
α = arctan 1⁄√3 → δ = π⁄6
z = 1
Forma Trigonometrica:
z = 2 [cos(π⁄6) + i sin(π⁄6)]
Forma esponenziale
z = 2ei 6
z4 = -10
α = arctan 0
β = |z| = 102
Forma trigonometrica
z = 10 [cos (π) i sen (π)]
Forma esponenziale
z = 10ei π
z5 = 6i
α = π⁄2
β = 6
Forma trigonometrica
z = 6 [cos(π⁄2 i sen)]π
Forma esponenziale
z = 6ei π⁄2
z6 = -9 i
β = |z| = 9
Forma trigonometrica
z = 9 [cos(-π⁄2 ) i sen (-π⁄2 )]
Forma esponenziale
z = 9 e -i π⁄2
1)
z3=1
[Sfrutto le formule di de Moivre]
- Tracc argomento e modulo (l'obiettivo è di scrivere in forma esponenziale)
- δ = arctg 0
- |z| = 1
- Considerando la forma esponenziale
z = |z|eiδ
uso le formule di de Moivre
- β = δ + 2Kπ
3 α = 0 + 2Kπ
ATTENZIONE!!!
Utilizzando equi K = 0, 1, 2, 3 radici
z0 = 0 e0 = √3i ε 0
3
z1 = 0 + 2π + 2i
3
z2 = 0 + 4π + 3i
3
2)
z3 = 4
[σ = π] β = |z| = 4
Considerando:
- |z| eiα (forma esponenziale)
|z| = 4
3α = π + 2Kπ
3
K: 0, 1, 2
z0 = β -2π√3 ei α
3
z1 = 2π -2π√3 ei 2α
3
z2 = 3π -3π√3 ei 3α
3
3)
z2 = 6
[σ = π] β = |z| = 6
2α = π + 2Kπ
z0 = √6 e-1/2
z1 = √6 e-3/2
2)
limx→+∞ (n2+2)/(3 n2) * (1+|α|/2)n
so che:
(1+1/n)n=e
pnp
ESERCIZI
SULLE SUCCESSIONI
c) limn→+∞
(1+1/2n)
(1+1/2n)
(1+1/2n)2n = e → e1/2
d) limn→+∞
(n+3/n+2)n
(n+2/n+2 + 1/n+2)n
(1+1/n+2)n
(1+1/n+2)n+e...
e
vis > e
e) limx→+∞
(√2n2+3n - √2n2+5)
RAZIONALIZZO = (√2n2+3n - √2n2+5)
3n(1-5/n)/2(2n2...)
3/2√2
2/2√2
3/2√2
j)
limn→+∞ (5n (n2+1)/(2|α|+1)n)
5n/(2|α|+1)n, (n2+1)
per α = 2,1,-2 = 1
per α>2 e α<2 = 0
per α<-2 e α>2 = +∞
k)
limn→+∞ ((3|α|+2)/2n(n3+2n+1))
((3|α|+2)/22n) . 1/(n3+2n+1)
Se α = 0 ris = 0
Se -1/3 > α ≥ 1/3 ris = +∞
8) \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\log\left(1 - \cos 2x\right)}{\log\left(\tan 2x\right)} \) → \(\text{cambiando in } \log\left(1 + x\right)\)
\(\cos 2x = 1 - 2x^2 + o(x^2)\)
\(\log\left(x^2 - 2x^2 + o(x^2)\right)\)
\(\log 2 + \log(o(\log x))\)
\(\log(x\log(e^{x^2}))\)
\(\log x + \log\left(\frac{2(x^1)}{x}\right)\)
\(\frac{2\log x + o(\log x)}{\log x + o(\log x)} = 2\)
\(\left(x + \frac{1}{2}, \right) x^{-3}, o(x^2)\)
\(\text{Scansionato con CamScanner}\)
e) \lim_{x \to +0} \left(1 + \sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\log x}
\sin x = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\frac{1}{6}
\frac{-1}{x^3}\frac{1}{6} \rightarrow -\frac{4}{6x^3}
può f(x)^{g(x)}
log_x(x+1)
\left(1 + \frac{1}{x}\right)\log x
1+x-x=0
1=0
\lim=1
g) \lim_{x\to0} \arctan(x^2-x)+e^{-x}-\sqrt{(1+x^x)^3}
\lim_{x\to0} \arctan(x^2-x)+e^{-x}-\left[(1+x^x)(1+x)\right]
Impara bene!!
(1+x^x)^{\frac{1}{2}}=(1+\frac{x^x}{2})(x+x)2x+\frac{x^x}{3}
\arctan(x^2-x)=x^2-x+o(x^2)
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}
x^2+1+x+\frac{x^x}{2}-1=\frac{x^x}{2}-\frac{x}{8}-1(x^x)
\frac{-x^3}{6} o (x^3)
\frac{-2}{2} x^x o (x^3)
h)
∫ x2 log x dx
[ x3/3 log(x) ] - ∫ x3/3・1/x
[ x3/3 log(x) ] - 1/3 ∫ x2
[ x3/3 log(x) ] - 1/9 x3
[ 1/3 x3 log(x) - 1/9 x3 + c
i)
∫ x2 cos x
[ sin x ・ x2 ] - 2 ∫ sin x ・ x
(-cos x ・ 2x) ∫ - cos x ・ 2x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x
[- cos x ・ x ] + x sin x
- x cos x + sin x
h)
∫ sin (log x) dx
INTEGRALI PER SOSTITUZIONE
a)
∫ (log x)2 x dx
Y = log x
dy = 1/x dx
= ∫ y2 dy
= y3/3
→ 1/3 log3 x + c
b)
∫ x √ x - 1 dx
Y = √ x - 1
dx = 2 y dy
∫(y2 + 1) y・ 2y dy
∫y3・y・2y dy]
2∫ (y4/5)・dy
2∫ (y3 y4/5) + y2/2 dy
2/5 y5 + 2/3 y3
2/5 (x - 1)5/2 + 2/3 (x - 1)3/2
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