Esercizi sulla trasformata fasoriale e sui fasori-numeri complessi

Esercizi sui numeri complessi e trasformata frazionaria

In questo file si propongono un po' di esercizi sui numeri complessi svolti e da svolgere, e sulla trasformata frazionaria. L'obiettivo è di acquistare padronanza con i calcoli sui numeri complessi e frazioni.

Numeri complessi

Esercizio 1.1. Dati i seguenti numeri complessi in forma polare, determinarne la forma rettangolare.

• [√3/2, -j/2]
• [-√2/2, -j√2/2]
• [≃ 4.74, -33.31]

Esercizio 1.2. Dati i seguenti numeri complessi in forma rettangolare, determinarne la forma polare.

• 1 - j
• -1 + j√3
• 3 + j
• 3 - j√3
• -5 - j5
• -3j
• 4/3j
• 3
• +0.37 - j1.12
• +0.37 + j1.12
• -0.37 + j1.12
• -0.37 - j1.12

Fasori

Si fa riferimento alla trasformazione A(t) = √2A sin(ωt + ϕ) → A = A e^jϕ.

Esercizio 2.1. Scrivere il fasore rappresentativo delle seguenti funzioni:

• A(t) = 2√2 sin(314t + π/4) [A = 2 e^{j π/4}]
• A(t) = 3√2 sin(314t + 0.8) [A = 3 e^{j 0.8}]
• A(t) = 4 sin(314t + π/2) [A = 4/√2 e^{j π/2}]
• A(t) = √2 sin(314t - π/6) [A = e^{-j π/6}]
• A(t) = √3 sin(314t - 0.6) [A = √3/2 e^{-j 0.6}]
• I(t) = √2I sin(ωt + π/3) [I = I e^{j π/3}]
• I(t) = I_M sin(ωt + π) [I = 1/√2 I_M e^{j π} = -1/√2 I_M]

Nota. Si noti che, se fossero presenti anche funzioni "coseno", si potrebbe utilizzare la trasformazione cos(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ + π/2). Ad esempio, se la funzione A(t) è data da:

A(t) = 2√2 cos(314t + π/4) = 2√2 sin(314t + π/4 + π/2) = 2√2 sin(314t + 3/4 π),

il suo fasore rappresentativo della funzione sarà A = 2 e^{j 3/4 π}. Analogamente, nel caso di trasformazione fasoriale con la funzione coseno, può essere utile la seguente uguaglianza: sin(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ - π/2).

Esercizio 2.2. Scrivere le funzioni A(t) che corrispondono ai seguenti fasori (ω = 314 rad/s):

• A = 3 e^{j π/3} [A(t) = 3√2 sin(314t + π/3)]
• A = √2 e^{-j π/2} [A(t) = 2 sin(314t - π/2)]
• A = 2j [A(t) = 2√2 sin(314t + π/2)]
• A = 1 [A(t) = √2 sin(314t)]
• A = -√2/2 [A(t) = sin(314t + π) = -sin(314t)]

Esercizio 2.3. Calcolare la funzione A(t) somma delle seguenti funzioni sinusoidali isofrequenziali:

A(t) = 2√2 sin(314t) + √2 sin(314t + π/2) + 2 sin(314t + π/4) + 2√6 sin(314t - 5/6 π)

utilizzando il metodo dei fasori. [ R : A(t) ≃ 0.38 cos(314t) ]

Svolgimento esercizi sui numeri complessi

Ricordiamo che la forma polare di un numero complesso è Z = ρ e^iΘ. Per passare alla forma rettangolare (ovvero Z = x + iy) si usa la formula di Eulero:

Z = ρ e^iΘ = ρ [cos Θ + i sen Θ]

Sostituendo:

Z = 2 e^i5π/6 = 2 [ cos (^π/6) + i sen (^π/6) ]= 2 [ ^_√3/2 + i ^1/2 ]= √3 + i

(Ovviamente devi ricordarti seno e coseno degli angoli notevoli)

Prova tu a svolgere gli esercizi rimanenti di 1-1.

Svolgimento esercizio 1-2

Un numero complesso in forma rettangolare è:

z = x + j y

Il suo modulo vale \( \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \) mentre la sua fase vale:

\( \Theta = \begin{cases} \operatorname{arctan} \left( \frac{y}{x} \right) & \text{se } x \geq 0 \\ \pi + \operatorname{arctan} \left( \frac{y}{x} \right) & \text{se } x < 0 \end{cases} \)

Una volta calcolati \( \rho \) e \( \Theta \) posso passare dalla forma rettangolare z = x + j y a quella polare \( z = \rho e^{j \Theta} \).

Per il calcolo della fase, suggerisco l'uso della "arcotangente a 2 quadranti" così definita:

• Θ = arctg(^y/_x) se x > 0 caso 1
• arctg(^y/_x) + π se x < 0 ∧ y ≥ 0 caso 2
• arctg(^y/_x) - π se x < 0 ∧ y < 0 caso 3
• + ^π/₂ se x=0 ∧ y > 0 caso 4
• - ^π/₂ se x=0 ∧ y < 0 caso 5
• non definita se x=0 ∧ y=0 caso 6

Dove x e y sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso di cui si vuole calcolare la fase.

z = 1 - i → ρ = √1 + 1 = √2 → θ = arctg(-1/1) = -π/4

Dunque: z = √2 e^-iπ/4

Nel caso z = -1 + 5√3 → ρ = √1 + 3 = √4 = 2 → θ = π + arctg(√3/-1) poiché x < 0

Ovvero nelle soluzioni, non si vede il "-1". Dunque z = 2 e^i2π/3

Facciamo una verifica con la formula di Eulero:

z = ρ · [ cos Θ + j sen Θ ]= 2 · [ cos ( ²/₃π) + j sen ( ²/₃π) ]

Per farlo con le calcolatrici, assicurati di essere in radianti, oppure in gradi invece devi fare ( ²/₃) . 180° e ti viene 120°. Dunque fai cos (120°) e ti viene ^-1/₂ e sen (120°) e ti viene 0.86, ovvero devi ricordati se è ^√3/₂. Oppure usa i valori della tabella in appendice a questo file.

z = 2 · [ cos 120° + j sen 120° ]= 2 · [ ^-1/₂ + j^√3/₂ ] = -1 + √3j che è quello iniziale.

Prova tu a finire l'ESERCIZIO 2-1

Facciamo notare che la trasformata fasoriale che userò in questo esercizio è:

A(t) = ₂ A sin(ωt + φ) ω ^¯A = A e _δφ

La trasformata fasoriale non è univoca! Potresti anche trovarne altre! Fa lo stesso quale usi, l'importante è che rimanga la stessa per tutto lo svolgimento del circuito.

A(t) = 2₂ sin (314 t + _π/₂)

In questa formula A = 2 ω = 314 rad φ = _π/₂ Dunque ^¯A = 2 e_δπ/₄

Finisci ora solo il 2.1.

ESERCIZIO 2-2

_A = 3 e^{_{j π}/3} ⍵ = 31_rad/s

Facendo l'antitrasformata, A=3, Θ= π/3,⍵=31_rad/s e si ottiene:

A(t) = 3√2 sin (31t + π/3)

Finisci ora solo il 2.2.

ESERCIZIO 2-3

La vera utilità della transformata è proprio questa!! Sarebbe complicatissimo usare la teoria della trigonometria per svolgere l'espressione proposta:

A(t)=2√2 sin(31t) + √2 sin(31t + π/2) + 2cos(31t + π/2)+ 2√6sin(31t + 5π/6)

Invece, se passo nel dominio dei fasori, trasformo ogni termine di A(t):

• 2√2 sen (3ωt) ↓ 2 e^δ_0° = 2√2 sen (3ωt + π/2) ↓ 1 e^δ_π/2 = 1⋅[cos π/2 + j sen π/2] = δ
• 2√2 sen (3ωt + π/2) ↓ 2 = √2 A   ⇒   A = 2/√2 = √2/√2 = 2√2/2 = √2 A = √2 Θ = π/2 ↓ √2 e^δπ/4 = √2⋅[cos π/4 + j sen π/4] = √2⋅[√2/2 + j√2/2] = 1 + j
• 2√6 sin(3ωt - ₅/₆π) ↓ 2√6 = √2 A ⇒ A = _2√6/_√2 · _√2/_√2 = _2√6/₂ = 2√3 θ = -₅/₆π ↓ 2√3 e^-j₅/₆π = 2√3 [cos(₅/₆π) - j sin(₅/₆π)]= 2√3 [ -_√3/₂ - j₁/₂ ] = -3 - √3 j

Le sommo:

A = (2) + (j) + (4 + j) + (-3 - √3 j) = 2 + j + 4 + j - 3 - √3 j = (2 - √3) j

Quindi il fasore di A(t) è A = (2 - √3) j, de j puramente immaginario. Per cui per trovare A(t), se era il mio scopo originario devo ora antitrasformare il fasore calcolato.

A̅ = (2 - √3)₅

Lo porto in forma polare:

A̅ = (2 - √3) eθ = ^π/₂ poiché x > 0 e y > 0

A̅ = (2 - √3) e^δπ/2

Quindi A(t) = |A̅|√2 sin(3ωt + θ) = (2 - √3)√2 sin(3ωt + ^π/₂) ≃ 0,38 sin(3ωt + ^π/₂) ≃ 0,38 cos(3ωt)

← e quindi ricordarsi che sin(ωt + ^π/₂) = cos ωt