esercizi scienza delle costruzioni (isostatica)

Concetti fondamentali per l'analisi delle strutture isostatiche

1) Reazioni vincolari: sono le azioni che un sistema subisce dalle terre altrui sottostante; per calcolarle servono equazioni di equilibrio per la struttura. In corrispondenza di ciascun grado di vincolo nasce una reazione vincolare con cui il vincolo si oppone al suo movimento.

• Esempi di vincoli esterni con relative reazioni vincolari
  • incastro
  • cerniera
  • pattino
  • manicotto
• Esempi di vincoli interni con relative reazioni

Concetti fondamentali per l'analisi delle strutture isostatiche

1) Reazioni vincolari

Sono reazioni che un sistema scambia con le terre al suo stato vincolato. Per calcolarle servono equazioni di equilibrio per la struttura. In corrispondenza di ciascun grado di vincolo nasce una reazione vincolare con cui il vincolo si oppone al suo movimento.

• Esempi di vincoli esterni con relative reazioni vincolari

incastro

cerniera

pattino

manicotto

• Esempi di vincoli interni e relative reazioni

Le reazioni vincolari

si ottengono imponendo le EQ. CARDINALI DELLA STATICA:

• ΣX = 0
• ΣY = 0
• ΣM_P = 0

Azioni interne:

sono le sollecitazioni che due parti di struttura si scambiano globalmente attraverso una generica sezione.

Si prenda l'asta

Si immagini di dividerla in due parti in corrispondenza di una sezione S.

Le due parti di struttura devono tenersi singolarmente in equilibrio.

Tra due parti si devono trasmettere delle azioni uguali e contrarie.

Come sono queste azioni?

Nel caso delle travi piane una componente diretta come l'asse delle travi (N) e una componente perpendicolare qui come (T) ed un momento (M).

• N → azione assiale
• T → taglio/sforzo tagliante
• M → momento flettente

Convenzione

Si è soliti considerare positive le azioni esterne N di trazione.

Le azioni rotanti che tendono a promuovere una rotazione oraria.

Per il momento flettente non si assume a priori una convenzione

di segno, ma nel tracciare i diagrammi lo si riporta dalla

parte delle fibre tese (fibre tese verso il basso)

Calcolo delle azioni interne: le azioni interne possono essere

calcolate imponendo l'annullarsi della somma di tutte le

forze agenti su di uno delle due parti di struttura separate

dalla sezione S.

Per non avere un sistema di equazioni accoppiate conviene

in generale imporre:

1. EQ ALLA TRASLAZIONE in direzione tangente all'asse della S

tale per cui si ricava N, ΣT = 0

2. EQ ALLA TRASLAZIONE in direzione normale all'asse

delle fibre in S, da cui si ricava T, ΣF = 0

3. EQ ALLA ROTAZIONE attorno al baricentro della sezione S,

da cui si ricava M, ΣM_S = 0

NB: Nel caso in cui una trave sia soggetta ad un carico

concentrato (forza o coppia) bisogna valutare le azioni interne

tagliando prima e dopo il carico

Reazioni vincolari: ΣF_x = 0 ΣF_y = 0 ΣM_R = 0

ΣF_x = 0 → H_A = 0

ΣM_A = 0 → -P_A + V_BL = 0 → V_B = P_A¹/L

ΣF_y = 0 → V_A + P_A + V_B = P

→ V_A = P - P_A = P(1 - a/L)

sezione A-S

0 < x < a

NB: versi delle frecce secondo le convenzioni

sezione A-S'

a < x < l

L'equilibrio della sezione A-S si traduce nelle equazioni:

(x) ΣT = 0 → N + H_A = 0

N = H_A = 0

(y) ΣF_y = 0 → V_A - T = 0

T = V_A

(tende rotaz) (verso)

ΣM_s = 0 → M - V_Ax = 0

M = V_Ax

(tende rotazione antioraria)

da reazioni interne T,V_A = P_B^b L

M = P_B x

(tende senso orario)

L'equilibrio della sezione A-S' si traduce nelle equazioni:

ΣT_t = 0 → N + H_A = 0

N = H_A = 0

ΣF = 0 → -V_A - P' - T = 0

T = V_A - P

orzio è costante

ΣM_s' = 0 → M + P(x - a) - V_Ax = 0

M = V_Ax - P(x - a)

M = P_bx

Finita questa analisi si possono tracciare

3) DIAGRAMMI AZIONI INTERNE

Si disegna lo schema che riproduce la linea d'asse della trave / struttura senza vincoli o ostacoli.

Schema per l'azione assiale