esercizi scienza delle costruzioni (isostatica)

Concetti fondamentali per l'analisi delle strutture isostatiche

Reazioni vincolari sono le azioni che un sistema scambia con le terre cui è vincolato. Per calcolarle, servono equazioni di equilibrio per la struttura. In corrispondenza di ciascun grado di vincolo nasce una reazione vincolare con cui ... e il vincolo si oppone al suo movimento.

- Esempi di vincoli esterni con relative reazioni vincolari:

• Incastrato
• Cerniera
• Patino
• Manicotto

- Esempi di vincoli interni e relative reazioni:

• H
• V
• R

Le reazioni vincolari si ottengono imponendo le eq. cardinali della statica:

• ΣX = 0
• ΣY = 0
• ΣM_p = 0

Azioni interne sono le sollecitazioni che due parti di struttura si scambiano globalmente attraverso una generica sezione. Si prenda l'asta. Si immagina di dividerla in due parti in corrispondenza di una generica sezione S.

Le due parti di struttura devono tenersi semplicemente in equilibrio e quindi si devono trasmettere delle azioni vincolari e interne.

Come sono queste azioni? Nel caso delle travi piane una componente diretta come l'asse delle travi (N) e una componente perpendicolare all'asse (T) ed un momento (M).

• N → azione normale
• T → taglio / azione tangente
• M → momento flettente

Convenzione:

Si è soliti considerare positive le azioni assiali N e il taglio T, le azioni flettenti che tendono a promuovere una rotazione oraria.

ESERCITAZIONE 1

ESERCIZIO 1

2 qL

A (B) (B) C

1. CONTARE i GdL

2 corpi in 2D - 6 GdL (3 x 2 aste)

2. Verificare GdV

Giunto A 2GdV

• (p. di carico)

Patino B 2GdV (p. concavo a carico)

Monocolto C 2GdV

GdV

STR. POTENZIALM. ISOSTATICA

3) Analisi via grafica

ATC non sillimbete

STR. ISOSTATICA non isobrete.

REAZIONI VINCOLARI

A ₁ D ₁ 2 qL

TVA

Σ₁₂ Fx = 0 HA + 9L = 0

Σ₁₂ Fy = 0 VA + VC - qL - 2qL = 0

Σ₁₂ MA = 0 L/2 = 2qL 3/2 VcL + WC = 0

EQUILIBRIO GLOBALE

Una seconda analisi riguarda la valutazione dei salti discreti nei diagrammi, in corrispondenza di forze o momenti concentrati:

• presenza di una forza concentrata e diretta // all'asse della trave, il diagramma dello sforzo normale presenta un salto pari all'intensità della forza concentrata
• presenza di una forza concentrata e diretta ⊥ all'asse della trave, il diagramma del taglio presenta un salto pari all'intensità della forza concentrata
• presenza di un momento flettente concentrato, il diagramma del momento presenta un salto pari all'intensità del mom. concentrato

TRATTO CO

B

O < x < L

Vc = ^3qL/₂

M(O) = ³/₂ qL²

M(L) = 0 - andamento lineare

NCO = 2qL - trazione

TCO = ³/₂ qL - antioraria

MCO = ³/₂ qL² - 3/2 qLx

0 < x < ^L/₂

Traz(ione) concentrato in ↑

NEF = 2qL | trazione | cost

TEF = ³/₂ qL antioraria | cost

MEF = ⁹/₂ qLx - 3qL²

MEF(0) = -3qL² Forza sopra

MEF(^L/₂) = -³/₄ qL^{2 ∩} sorm

[ Metodo che funziona solo con aste ]

Ora proseguo con le azioni interne.

Asta AE

• Si può studiare tutta perché non c'è un carico.
• NB: non si studia con le relazioni della carrucola.

0 ≤ x ≤ l

NAE = 0

TAE = -ql (orario: va al contrario rispetto al senso positivo)

MAE = qlx

con lo sforzo interno perché la trave è equilibrata

MAE (0) = 0

MAE (l) = ql²

Asta EO

Eq. nodo E

Le mie incognite sono generate dalla rotaia tra E e O

• ΣFx = 0 → NEO = -ql
• perché il carico ql preme dietro equilibrio.
• ΣFy = 0 → TEO = 0 perché non c'è nessuna forza verticale
• ΣM = 0 → MEO = 0
• perché ql² e ql² in equilibrio già

NEO = -ql → compressione

TEO = 0

MEO = 0

Σ M_B = 0

WA - F_2b + 3q 2b 2b - F_2b - 4qb²/2 = 0

WA = 6qb² = 6F_B

Prima di calcolare le azioni interne,

Dobbiama spezzare l'anello, noi facciamo un corrispondenza di

Σ M₀ = 0     6qb² + 6qb² + (-F_B)

+ 3q 2b b + H_F * 2b = 0

H_F = -2qb = -2F = -2qb

x bielletta dellestruttura → solo azioniazione Y no Y

ΣF_y (1)     -V_F + F = 0     -V_F = F = qb

Σ M_E = 0

3. A.I. → si muzia de dase abiamo roto il cecolo chiuso

Iniziamo da

0 ≤ x ≤ 2b

N_FO = qb

4) DIAGRAMMI

N [F]

T [F]

M [F·b]

REGOLA: il verso della freccia, che è "abbassante", è contro una azione

NOD

ΣF_x=0

-√2F√2/2 + N_CI + 4F=0

N_CI=-3F

ΣF_y=0

√2F√2 + 1/2F - T_LF=0

T_LF=13F/2

ASTA LI

13/2

3F

N_LI=-3F

T_LI=13/2

M_LI=13/2F_x

M_LI(0)=0

M_LI(b)=13/2F_b

NOD I

13/2

3F

7/2

3/2

3

ΣF_x=0

3F - 3F=0

ΣM_i=0

13/2F_b - 13/2F_b=0

ΣF_y=0

N_FI-3F + 13/2F=0

N_FI=7/2F

ASTA IF

N_FF=7/2

N_FI

ASTA GF

N_GF T_GF 3

3F/2

4F

N_GF-4F

T_GF=3/2F_x - 3x

M_GF +

EQ Nodo G

ΣFx = 0

5/2 F_b + 5/4 F₂ √2/2 + 4F + N_GH = 0

N_GH = -3/2 F (compressione)

ΣMg = 0

ΣMg = 0

-5/2 F_b + 2 F_b⋅M_GH = 0

M_GH = 1/2 F_b (centrato purché costante → orario)

Asse GH

N_GH = -3/2 F₁ compressione

T_GH = -9_x retinato

T_GH(a) = 0 (nullo)

T_GH(b) = 9_x (arancione)

M_GH = 1/2 F_b Q₁²/₂ palazzo

M_GH(0) = 1/2 F_b fisso leve sotto

M_GH(b) = 0

EQ Al Nodo H

ΣFx = 0 N_HO = -F

ΣFy = 0 3/2 F = T_HO