Esercizi Meccanica Applicata alle Macchine II

Nel sistema riportato in fig. 1, giacente in un piano verticale, (scala 1:10, le misure sono in cm) il disco omogeneo avente massa m=10 kg, viene posto in oscillazione, attorno alla cerniera fissa O, dalla coppia applicata variabile secondo la legge assegnata C=C_maxsin(ωt) avente pulsazione ω=50 rad/s e C_max=5 N m.

Nell’ipotesi che i vincoli siano lisci determinare il valore della rigidezza k dell’elemento elastico affinché si abbia ρ=ω_oω=1.5, il valore del coefficiente di smorzamento c affinché si abbia:

ς=c_ccritico=0.5 e la legge oraria del moto a regime del sistema vibrante.

I dati geometrici sono riportati sul disegno.

rigide = 3(asta) + 3(disco) - 2(E) - 2(O₁) - 1(O) = 1 gdl

Considero come parametro lagrangiano la rotazione θ dell’asta

1. equilibrio alla traslazione lungo x : R_ex = 0 equilibrio alla traslazione lungo y : F_t + F_c + R_Oy = 0 equilibrio alla rotazione attorno a O₁ : R_Ey · a - F_c · a = 0 ⇒ R_Ey = F_k + F_c F_c + F_c a R_O, + F_c F_c = 0 ⇒ R_O1 = -2F_k - 2F_c
2. equilibrio alla traslazione lungo x : R_ex + R_cx = 0 equilibrio alla traslazione lungo y : R_Ey - mg + R_oy = 0 equilibrio alla rotazione attorno a O : I(0)_t + (G-O)^mg(0)^t + H(0)_t I(0)^. = H(0)_t I(0)_(.) = m · R² + m · b² I(0)^. = 2C + m_gb + R_exR - R_Ey · b R_ex - R_ex = 0 R_Ey - R_Ey = -F_k - F_c ⇒ I(0)^. = C + m_gb + F_b + F_cb F_k = K( _IA Δ Δ &sub>I(Θ) + Δ sta) Θ_A = [V(A-I) - V(A-I) + (O). _abJ] = Θ] = Δ_YA - aΘ_I F_K = -K(aΘ_sta + Δb) F_C = -c ( Θ_A) = a c Θ_I

Considero il punto E solidale al corpo _c V(E) = V(O) + w∧(E-O), _CK∧(a_l) = aC Considero il punto E solidale al corpo _(E) V(E) = V(O) + w∧(E-O) = Θ β = arc tg 0,27 = 0,263312 rad = 15,1096 = 15°

Poiché il cappo è esterno affinchè dia un momento che sì appoggia alla rotazione del tamburo si necessario scegliere il punto di Promiti R.

_Y | | | R_{ay B} | ---- | | F

equilibrio lungo x : R_ax + R_xx = 0 equilibrio lungo y : R_xy + R_ay + F = 0

equilibrio alla rotazione attorno a G : R_ay . a - F. b = 0 => b = R_ay = F. b/ a = 1000 = 1,5 208,333 N = 208 N

R_ay + R_ay = 0 => R_ay = F R_ay = 1000 - 208 = 702 N

a = 7,2 cm b = 1,5 cm

Γmax = Cmax = 20

1/A = Kep 4,36 = 3662,1

ω = 0,004728 rad o 0,0051 rad

Θ(t) = 0,002 + sin(50 t - 1,06)

... legge oraria del moto a regime ...

Affinchè la condizione descritta in figura sia di equilibrio stabile è necessario considerare la sola rotazione attorno al punto K', trovando la relazione attorno al punto G₁₂, centro del piano curvo. Avremo quindi una nuova equazione differenziale del moto.

Kep = 4R²K - Mg R

Kep = wm²Mg = 625² 1,875 = 7324,22 N/m

Kep > 0 ... =>

K_min = 196,12 N/m

rotazione attorno al punto K'¹ = I(K'¹) ω (K - G)¹ M(A)(k) = H(K'¹) = ...

I(K') = 1/2 MR² + NR² = 3/2 MR² = 1,5 20 0,25 = 1,875 ...

...

mimimo valore di K ... l'impulso ... equilibrio stabile?

...

Fc = -k (Δx_a - ΔX₂) + a dt ...

I(K) θ̈ + 4R² θ = (4 R K - Mg R) Θ = C

Considero il punto c solidale al corpo

1

_V(c) = _V(p_c) + _W ∧ (c - o₁)

_Fe_K = 1/(β-1/β-5) ∙ ^ȯ b

Considero il punto _c solidale al corpo

o

_V(c) = (x) ∙ ̇ b e (x) ∙ ^ȯ b e x ∙ ^ȯ b

I(o₂)Θ^¨ = F_Ka ∙ a + fℓg e ℓ + F_c b + F_Ka b - M_b θ^¨ + m e w b sin ωt

• F_Ka = -K(∆x_a - ∆x⁰_a + ds_P)

∆x_P = x_b dlt

x_b.

= V(o). = [ ^Vo^t_b ] + ω_n (D - o₁) ] = [ ^oΘ^¨ ∧ (a^j ∧ R^j) ]

= [ - ^õa (+ℋ+R+̃j] ≡ /h (-g)a => ∆x_c - ̃a

F_Ka = - K ( ^õa + ds₁P )

• F_c = -c (x₉ - x⁹₁)⁰

• x_a = x⁰

F_c = -c (̇b)

• F_Ka = -K (Δx_a - ¹Δx²₁ ∙ ds_R)

Δx_a = x_a dlt = ℵ_c

F_Ka = -K (̇b + Δx^LP_R)

• (1ℎ R⁴ ℋcc_b²) β = aK (-g₋a +Δs_Fa)+1 Mgθ^¨ - b² g - Kb/b_trr)⁉

2

- ℋ bc²in e w^b sin wt

(_ℋR²−ℋ2 + ℋt)Θ^¨=-2 &fsim; + α&K br (-gb²−c &hKθ⁰)

+ m e w^b sin wt

In condiƗƗoni static. (β-Θ-ϐ) = o => &a; - etlPri∕↕K 1 k&hcn; ι →

(1ℋR²&fn; -⁰1

½ (ℋR²−ℋ₁¹⁰⟶b₂)

+ k&hcon; 5⁹k

Δ_ga/

Meq = ¹/ℋR²⫔θ&fn; ^bs℮²;ℊ

0.5 ∕ 10.0 / 10.2 / 10,0.34²2 / 10.0.25² 2 ^_/ 2

1.8321 ℴ k g/m²

eq = 2

Kcq = ^a₂K/b²K − 1/g_a