Esercizi Meccanica Applicata alle Macchine II

Recupero prima prova di accertamento del 10/02/2003

Nel sistema riportato in fig. 1, giacente in un piano verticale, (scala 1:10, le misure sono in cm) il disco omogeneo avente massa m = 10 kg, viene posto in oscillazione, attorno alla cerniera fissa O, dalla coppia applicata variabile secondo la legge assegnata C = C_max sin(ωt) avente pulsazione ω = 50 rad/s e C_max = 5 N m.

Nell'ipotesi che i vincoli siano lisci, determinare il valore della rigidezza k dell'elemento elastico affinché si abbia ρ = ω_o/ω_n = 1.5, il valore del coefficiente di smorzamento c affinché si abbia: ξ = c/c_critico = 0.5 e la legge oraria del moto a regime del sistema vibrante. I dati geometrici sono riportati sul disegno.

Fig. 1

M_gdl = 3(asta) + 3(disco) - 2(E) - 2(O) - 1(O₁) = 2 gdl

Considero come parametro l’angolo θ dell’asta

Nel sistema riportato in fig. 1, giacente in un piano verticale, (scala 1:10, le misure sono in cm) il disco omogeneo avente massa m = 10 kg, viene posto in oscillazione, attorno alla cerniera fissa O, dalla coppia applicata variabile secondo la legge assegnata C = C_max sin(ω t) avente pulsazione ω = 50 rad/s e C_max = 5 N m.

Nell’ipotesi che i vincoli siano lisci determinare il valore della rigidezza k dell’elemento elastico affinché si abbia ρ = ω^O/ω_n = 1.5, il valore del coefficiente di smorzamento c affinché si abbia: ζ = ^c/_ccritico = 0.5 e la legge oraria del moto a regime del sistema vibrante. I dati geometrici sono riportati sul disegno.

m gdl = 3(asta) + 3(disco) - 2(E) - 2(O) - 1(O₁) = 1 gdl

Considero come parametro lagrangiano la rotazione θ dell'asta

Equilibrio

• Equilibrio alla traslazione lungo x: R_ex = 0
• Equilibrio alla traslazione lungo y: F_ct + F_c + R_o1 + R_ey = 0
• Equilibrio alla rotazione attorno a O₁: R_ey * a - F_c * a = 0 ⇒ R_ey = F_c + F_e

F_c, F_e &LowerLeftArrowBar; R_o1 + F_c + F_e = 0 &LowerLeftArrowBar; R_o1 = -2 F_c - 2 F_e

• Equilibrio alla traslazione lungo x: R_ex + R_ox = 0
• Equilibrio alla traslazione lungo y: R_ey - mg + R_oy = 0
• Equilibrio alla rotazione attorno a O: I(O) ū + ( G - O ) ² m ( ⊘ / 0 )⨸(10) ⇒ I(O) ū ↦ H(O)

I(O) = ½ mR² + ma b²

I(O) ϕ = C + m gb + R_ex R - R_ey b

R_ex - R_ex = 0

R_ey - R_ey - F_c - F_e ⇒ I(O) φ C + m gb + F_cb F_cb

F_c = K ( Δ _YA + Δ s_bs GMCA )

YA = V_A + I H(O) + w A ( = 0 ) &=rArr; &thetasym K ∠ J [ -a ∠ J ] &Isi; = Δ Y_A = -a &thetasym

F_k = -K ( a &thetasym _bs )

F_e = -c ( Ý A - Y₀ ∠ ) - c ( -a &thetasym ) = ac &thetasym

Considero il punto E solidale al corpo 1

V(E) = V(O) + w A( E = 0 ) ⇒ Δ K ∠ 1 = a &thetasym

Considero il punto E solidale al corpo 2

V_E ( O ) = w A (= 0) ⇒ &thetasym Κ = ( b₂ + R ) ⇒ = &thetasym &thetasym ⇒ V( E ) = a &thetasym

⇒ V(E) ϕ = -b φ = φ = -½ a_c V(E) . . . . . . . . = 0 = R ϕ

I(0) φ̇̇ = C t m g b - K b [ -a ( b / a ) φ t ΔS t αs ] - ac b ( - b / a ) φ̇= C t m g b - K b [ bφ t ΔS t αs ] - cb φ̇ = C t m g b - K b φ̇- K b ΔS t αs - c b φ̇

In condizioni statiche φ = φ ̇ φ ̇̇ = 0= m g b [ - K b ΔS t αs ] = K b ΔS t αs = m g b

I(0) φ̇̇ + cb φ̇ - K b² φ = C = C max sin ωt

Meq = I(0) = ½ m R² t m b² = 0,5 t0.02 t0.01 t0.01 t0.01 = 0.3 kg m²

C eq = cb²

K eq = K b²

ρ s = w fun –> w m = w / ρ = 50/1.5 = 33,33 rad / s

w m = √(K eq /I eq) = K eq = w m = Meq = 33,33 t 0,3 = 333,27 N m

C req = 2 Meq . wm = 2 . 0,3 33,33 = 19.98 Nm s = 20 Nm s

Ζ = Ceq /C eq –> Ceq = ζ . Ceq = 0,5 . 20 = 10 Nm s

C eq = cb² –> c = Ceq /b² = 10/0,012 = 1000 N s / m

K eq = kb² –> k = K eq /b² = 333,27 /0,012 = 333,27 N /m

φ(t) = φmax sen (wt + α)

φmax = Co1 / A . Keq

Co = Cmax = 5 Nm

K eq = 333,27 N / m

A = √[ (1-p²) ½ [ 2ζ (1)] ²√[ (1-1,5²) ² (2 . 0,5 . 1 ) ² = 0,51 ² 1,48 ≅ 0,51

φmax = Co 51/ A . Keq 1/ 0,51 . 333,27 = 0,0651 ≅ 0,08

α = arctg ( 2ζ 1-p² ) + α = arctg 2 . 0,5 . 1 . 5 + α = 2,26553 rad ≅ 2,26 rad