Esercizi di Analisi I completi con soluzioni 78 pagine

Esercizi

- Calcolare

1. \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{{n! \cdot \sin(n)}}{{3^n \cdot \log n - 4 (n!)^2}} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{{n!}}{{n!}} \cdot \frac{{\sin(n)}}{{\log n \cdot \frac{{1}}{{(n!)^2}} + \frac{{3^n}}{{(n!)^2}} - 4}}\)

   = 0 \(\cdot \frac{k}{x} = \emptyset\)

   Perché \(\frac{n!}{(n!)^2} \to 0\) e \((n!)^2\) è più veloce di \(n!\)

   Inoltre \(\frac{\log^3 n}{(n!)^2} \to 0 \quad \frac{3^4}{(n!)^2} \to 0\) per lo stesso motivo

   Il \(\sin(n)\) è limitato e compreso tra -1 e 1 e moltiplicato

   per 0 dà Ø.

2. \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{4^n + 3^n \cos(n)}{n^3 + n \log n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{4^n}{n^3} \cdot \frac{1 + \frac{3^n \cos(n)}{4^n}}{1 + \frac{n \log n}{n^2}}\)

   \(\to \infty \quad \frac{1 + 0}{1 + 0} = + \infty\)

   Perché \(\frac{4^n}{n^3} \to \infty\) in quanto \(4^n\) è più veloce

   Invece \(\frac{\log n}{n^2} \to 0 \quad (n^2\) è più veloce) e \(\frac{3^n}{4^n} = k \to 0\) \((4^n\) è più veloce)

- Calcolare

1. \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 3x - x^2}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{3 \left(\frac{\sin 3x}{3x} - \frac{x^2}{3x}\right)}{x}\)

   = \(3(1 - 0) = 3\)

   perché \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 3x}{3x} = 1\)

2. \(\lim_{{x \to \infty}} \left((x^2 + x + 1) \sin\left(\frac{2}{x^2}\right)\right) =\)

   Devo calcolare dopo aver effettuato la sostituzione, il lim per \(t \to 0\) posto

   \(\frac{2}{x^2} = t\)

   quindi \(x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}}\)

   \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{x^2} = 0\)

Esercizi

- Calcolare

1. _n→∞ ^n!/_{3ⁿ*logn - 4*(n!)²} = _n→∞ ^n!/_(n!)² * (logn/_(n!)² + ³ⁿ/_(n!)² - 4) =

   = 0 -

   Perché ^n!/_(n!)² → 0 e (n!)² è più "veloce" di n!

   Inoltre ^log_n/_(n!)² → 0 e ³ⁿ/_(n!)² → 0 per lo stesso motivo.

   Il ^sen(n) è un limitato oscillante tra -1 e 1 e è moltiplicato per 0 da 0.

2. _n→∞ ^{4n + 3ncos(n)}/_{n³ + n logn} = _n→∞ ^{4n(1+ 3ncos(n)/_4n)}/_{n³(1+^{n logn}/n²)} =

   = _∞/_∞ + 0 = ∞

   Perché ⁴ⁿ/_n³ → ∞ in quanto 4ⁿ è più veloce.

   Invece ^log_n/_n² → 0 (n² è più veloce) e ³ⁿ/_4ⁿ = K → 0 (4ⁿ è più veloce)

- Calcolare

1. _x→0 ^{sen 3x - x2}/_x = _x→0 ^3x/_x(sen 3x/_3x - x²/_3x) =

   = 3(1 - 0) = 3

   perché _x→0 sen 3x/_3x = 1

2. _x→∞ (x² + x + 1) sen (²/_x²) =

   Devo calcolare dopo aver effettuato la sostituzione, il lim per t →0, posto ponendo ²/_x² = t quindi x = √²/_t

   lim _x→∞ ²/_x² = 0

lim_{t → 0} ( ²⁄_t + ^√2⁄_t + 1 ) sen(t) = moltiplica e div. da per t

lim_{t → 0} t ( ²⁄_t + ^√2⁄_t ) ^sen(t)⁄_t =

lim_{t → 0} (2 + ^t⁄_√2 + t) ^sen(t)⁄_t =

lim_{t → 0} (2 + ^√2⁄_√2 + ^√2⁄_√2 + t) ^sen(t)⁄_t = (2 + 0 + 0)⋅1 = 2

3) lim_{x → +∞} (2 + cos x)^x =

In teoria il limite di (2 + cos x)^x non esiste. Lo dimostriamo individuando due sottosucc. che tendono a due limiti diversi.

Prima sottosucc. x = 2πn

lim_{n → +∞} (2 + cos 2πn)^2πn = (2 + 1)^∞ = 3^∞ = ∞

Seconda sottosucc. x = 2πn + π

lim_{n → +∞} (2 + cos 2πn + π)^{2πn + π} = (2 − 1)^∞ = (±1)^∞ + 1

- Studiare

1. ∑_n=1^{∞ (2n)!}⁄_{(5ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾)²}

Per prima cosa vediamo se la condizione necessaria è verificata, cioè se

lim_{n → +∞} a_n = lim_{n → +∞} ^(2n)!⁄_{5ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾} = 0 (ovvio perché 5ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ è più veloce)

Quindi a_n → 0 e la serie potrebbe convergere.

Applichiamo quindi il cri