Esercizi completi esame microeconomia

La funzione di utilità di Elisa è del seguente tipo:

U=X₁^3/4X₂^1/4

dove X₁ e X₂ sono due diversi beni. Se il prezzo dei due beni è P1=6 e P2=3 ed il reddito è pari a 120, quale paniere verrà acquistato? Si fornisca una precisa rappresentazione grafica del problema e si traccino le curve di Engel per i due beni.

Soluz. Funzione di Utilità Cobb-Douglas. X₁*=(3/4)(120/6)=15; X₂*=(1/4)(120/3)=10.Curve di Engel=rette crescenti che partono dall'origine

I=P₁X₁ +P₂X₂

MRS₁₂= ^M_UX₁/_MUX2

MRS₁₂=2

X₁

120=6X₁ +3X₂

3 ^X₁/_X2=2

X₁=15

X₂=10

LE CURVE DI ENGEL SONO RETTE CRESCENTI CHE PARTONO DALL'ORIGINE

La funzione di utilità di Laura è del seguente tipo:

U=8X₁+6X₂

dove X₁ e X₂ sono due diversi beni. Se il prezzo dei due beni è uguale e pari a 4 ed il reddito è pari a 160, quale paniere verrà acquistato? Si fornisca una precisa rappresentazione grafica del problema. Si traccino le curve di Engel per i due beni.

[Soluz. MRS=4/3 > P₁/P₂=1 e il paniere di equilibrio è (40;0). Curva di Engel di X₁: retta crescente che parte dall'origine e inclinazione 1/ P₁. Curva di Engel di X₂: coincide con l'asse di X₂]

6. Consideriamo un individuo con funzione di utilità U(x,y)=2₋ ¹⁄_x ¹⁄_y

1. Determinare il paniere ottimale dato il reddito di 1200 e i prezzi p_x = 1 e p_y = 4.
2. Determinare il paniere ottimale se p^'_x = 4 e il reddito rimane invariato.
3. Scomporre la variazione intervenuta nella domanda ottimale del bene x a seguito della variazione di p₁ in effetto reddito ed effetto sostituzione utilizzando la scomposizione di Hicks.

[Soluz. (a): E(400, 200); (b) E’(150, 150); E_H(267, 267)]

1. E = p_x . x + p_y . y
2. y = ¹⁄₂ x
3. E = x + 2x
4. 3x = 1200
5. x = 400
6. y = 200
7. 8x = 1200
8. x = 150
9. y = 150

Legenda:

• 300 - 350
• 300 - 1200
• 500 - 1500

14. Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U=x₁^2/3 x₂^1/2. Sapendo che il prezzo del bene 1 è pari a p₁=4, il prezzo del bene 2 è p₂=3, ricavare:

1. la curva reddito-consumo;
2. le curve di domanda dei due beni.

Soluz.(a) x1=x2; (b) X1=1/(P1+P2)

1) Monopolio

1. Un monopolista fornisce un bene ad un costo marginale costante pari a 20. La curva di domanda inversa è p = 1000 - 5Q.

1. Calcolare l'equilibrio del monopolista.
2. Qual è il prezzo efficiente?
3. Calcolare il surplus del consumatore nel caso (a) e nel caso (b).

[Soluz. (a): Qm=98 e Pm=510; (b) Pc=20 e Qc=196; (c): CSc=96040 e CSm=24010]

1. MC=20

   Π = P Q

   ΠE = (1000 - 5Q) Q

   TR = 1000Q - 5Q²

   MR = 1000 - 10Q

   1000 - 10Q = 20

   10Q = 980

   Q = 98

   P = 1000 - 5(98) = 510

2. MR = MC

   P = 20

   Q = 1000 - P / 5

   Q = 196

3. C_S^m = (1000 - 510) * 98 / 2 = 24010

   C_S^c = (1000 - 20) * 196 / 2 = 96040

6.

La funzione di costo totale dell'impresa monopolista è: TC=10+Y², mentre la curva di domanda è Y=30-p.

1. calcolare la quantità e il prezzo di equilibrio di monopolio e il profitto del monopolista;
2. Rappresentare graficamente l'equilibrio e identificare i profitti del monopolista;
3. Quali sono le differenze tra equilibrio di monopolio e di concorrenza di breve periodo?

[Soluz. (a): Qm=7,5 Pm=22,5 e Profitto=102,5 (c): Pc=20 e Qc=10]

(a)

MC=MR

MC=2y

MR=30 - 2y

2y=30 - 2y

4y=30

y=7,5

p=30-y

p=30-7,5=22,5

P=22,5-10=(7,5)²=102,5

(b)

AC=TC/q=y

AC=10+y²/y

(c)

P=MC

P=2y

p=2y → y=10

p/2=30

p=20

La curva di domanda di un bene omogeneo è y_D = 15400 - 200p. Il mercato è servito da 100 imprese identiche ciascuna con la curva di offerta y_Sⁱ = 5p, e con un minimo del costo unitario di lungo periodo pari a 14. Calcolare l'equilibrio di breve periodo nel mercato e il numero delle imprese che vi entra nel lungo periodo.

y_S = 5p = y_D

y_S = 100y_Sⁱ = 5p100

p = 15

y_D = 15400 - 200 (14) = 12600

y_S = 5 (14) = 70

y_D = y_D = 12600 / 70 = 180 → entrano 80 imprese

I ciclisti rivali Astrix e Obix, in preparazione della gara che li vede grandi favoriti, devono decidere se assumere EPO (AE) o no (NE). I controlli anti-doping sono pochi e poco efficaci e la probabilità di essere colti in fallo è nulla. Le utilità dei ciclisti sono le seguenti.

Nel caso in cui entrambi decidano di assumere EPO, l'utilità attesa di ciascuno è di 50.

Se uno solo dei due ciclisti assume EPO, egli otterrà un’utilità di 100 (l’utilità dell’avversario che non assume EPO sarà 5).

Infine, se nessuno dei due fa uso del farmaco, ciascuno otterrà un’utilità di 15.

(1) Utilizzate un gioco in forma di matrice (mettendo OBIX in alto) per rappresentare la situazione in cui i due ciclisti decidono simultaneamente se assumere EPO (AE) o no (NE).

(2) Individuate e caratterizzate la soluzione del gioco: esistono strategie dominanti? Esiste l’equilibrio di Nash? Se sì, è Pareto efficiente?

(3) Le autorità preposte al controllo delle attività sportive decidono di imporre una penale su tutti gli utilizzatori di EPO. Calcolate di quanto si dovrebbe contrarre l’utilità dei fruitori di EPO per effetto della penale al fine di disincentivare l’uso del farmaco.

Soluz. (1):

Astrix

• AE
• NE

Obix

• AE 50;50 100;5
• NE 5;100 15;15

(2): Sì. AE per entrambi. Nash(AE, AE). Pareto efficiente. (3) Penale >85

(2) Sì, esistono strategie dominanti sia per Astrix che per Obix. Sì, esiste l’equilibrio di Nash (AE, AE) ed è pareto efficiente

(3) Penale > 85

Grazie per avermi detto di fare i compiti

Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

U=x₁+2x₂. Il suo reddito I è pari a 9, il prezzo del bene 2 è p₂=3 e la sua utilità è pari a 6.

Determinare la scelta ottima del consumatore.

[Soluz. Due panieri possibili, in corrispondenza delle due soluzioni ad angolo (MRS è costante,

i beni sono sostituti perfetti. Paniere (0;3) per P₁>3/2. Paniere (6;0) per P₁<=3/2]

• Se MRS > p_x/p_y → (x₁,0) 1/2 > px/3 → p_x<3/2 (6;0)
• Se MRS < p_x/p_y → (0,x₂) 1/2 < p_x/3 → p_x<3/2 (0;3)
• Se MRS = p_x/p_y → x₁ = x₂