Esercitazione esame Matematica finanziaria, libri consigliati Scandolo/Cacciafesta

Esercizi sul regime dell'interesse semplice

Es. 1 Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di €100.000 impiegato per 7 anni, nel R.L.S., al tasso quadrimestrale del 6%.

Svolgimento. Unità di misura del tempo: quadrimestre. Pertanto t = 3 · 7 = 21. Dalla relazione I(t) = iCt, otteniamo

I = I(21) = 0,06 · 100.000 · 21 = 126.000.

Per calcolare il montante, utilizziamo la relazione M = I + C. Si ottiene

M = M(21) = I + 100.000 = 226.000.

Es. 2 Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di €1.000, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati:

• a) al 9,25% per 120 giorni;
• b) al 10,50% dal 12/04/2003 al 6/07/2003.

Svolgimento. Fissiamo l'unità di misura del tempo: giorno.

a) Calcoliamo il tasso giornaliero equivalente a i_a = 0,0925, utilizzando la relazione

i_a(t_a) = i_at_a, t_a = durata espressa in anni.

Otteniamo

• Anno civile: i_g = i_a(1/365) = 0,0925 · ¹/₃₆₅.
• Anno commerciale: i_g = i_a(1/360) = 0,0925 · ¹/₃₆₀.

Nel primo caso

I = I(120) = 0,0925 · ¹/₃₆₅ · 1000 · 120 = 30,41.

M = M(120) = 30,41 + 1000 = 1030,41.

Nel secondo caso

I = I(120) = 0,0925 · ¹/₃₆₀ · 1000 · 120 = 30,83.

M = M(120) = 30,83 + 1000 = 1030,83.

Es. 4 Calcolare a quale tasso (annuo) di interesse

• a) il capitale di €1.250 produce un interesse di €84,375 in un anno;
• b) il capitale di €800 produce un montante di €900 in 3 anni;
• c) il capitale di €2.000 produce un interesse di €226,667 in 16 mesi;
• d) il capitale di €2.400 produce un montante di €3.000 in 8 mesi;
• e) un capitale generico C raddoppia in 2 anni.

Svolgimento. Sappiamo che

I(t) = iCt ↔ i = ^I(t)/_Ct.

• a) i = ^84,375/_{1250 · 1} = 0,0675 = 6,75%.
• b) i = ^{M(t) - C}/_Ct = ^{900 - 800}/_{800 · 3} = 0,0416 = 4,17%.
• c) Durata: t = 16/12. Si ha i = ^{I (16/12)}/_{C ·16/12} = ^226,667/_{2000 · 16/12} = 0,085 = 8,5%.
• d) Durata: t = 8/12. Si ha i = ^{M (8/12) - C}/_{C · 8/12} = ^{3.000 - 2.400}/_{2.400 · 8/12} = 0,375 = 37,5%.
• e) Durata: t = 2. Si ha i = ^{M (2) - C}/_{C · 2} = ^{2C - C}/_{C · 2} = ^C/_{C · 2} = ¹/₂ = 50%.

Es. 5 Calcolare in quanto tempo, al tasso di interesse del 7,50% annuo:

1. un capitale di €3.500 produce un interesse di 350;
2. un capitale di €2.500 produce un montante di 3.000;
3. un capitale generico C raddoppia.

Es. 3 Relativamente ad un capitale di €10.000 impiegato al tasso annuo del 7% nel R.I.S.,

• calcolare interesse e montante dopo 2 anni;
• rappresentare graficamente le funzioni I(t) e M(t) relative al variare rispettivamente dell'interesse e del montante rispetto alla durata dell'impiego t (t ≥ 0).

Svolgimento. Durata: t = 2, i_a = 0,07.

1. Utilizzando la relazione I = I(t) = i · C · t, otteniamo

I = I(2) = 0,07 · 10.000 · 2 = 1.400.

M = M(2) = 1.400 + 10.000 = 11.400.

dove i due addendi rappresentano i valori attuali delle rate ad oggi. Si ricava R = 743,6

e pertanto 2R = 1.487,2.

Es. 10

Un acquisto viene regolato pagando €2.500, e 2 rate semestrali di €3.000 ciascuna. Se il tasso di sconto è il 9%, quale sarebbe stato il prezzo in contanti del bene acquistato?

Svolgimento. Si ha:

• t = 0, si pagano €2.500;
• t = 1/2, si pagano €3.000;
• t = 1, si pagano €3.000.

Il prezzo in contanti dell'auto sarebbe stato:

2.500 + 3.000(1 - 0,09)^1/2 + 3.000(1 - 0,09)¹ = 8.091,82.

Es. 11

Se il tasso annuo d'interesse è il 10,50%, trovare il montante, in capitalizzazione mista, di una somma di €8.000 giacente in un deposito bancario dal 15/10/2004 al 6/04/2007.

Svolgimento. Il periodo dal 15/10/2004 al 6/04/2007 si può suddividere come segue:

_{16 + 30 + 31} giorni + ₂ anni + _{31 + 28 + 31 + 6} giorni.

Il montante è dato dalla relazione:

M(t) = C(1 + if) · (1 + i')ⁿ · (1 + if')

    = 8.000 (1 + 0,1050·⁷⁷/₃₆₆) · (1 + 0,1050)² · (1 + 0,1050·⁹⁶/₃₆₅) = 10.260,31.

Es. 9

Una cambiale di €1.000 scade tra 3 mesi. Possiamo scontarla oggi presso una banca _B1 che applica il tasso annuo di sconto commerciale ¹/₄d, oppure presso una banca _B2 che applica il tasso annuo di sconto commerciale ⁴/₅d, ma chiede una percentuale di spese sull'importo da scontare dello 0,12%. Decidere qual è la soluzione più conveniente.

1. Scnto presso _B1:

P₁ = P₁(3/12) = 1.000 ( 1 - ³/₁₂d ) .

2. Sconto presso _B2:

P₂ = P₂(3/12) - 0,0012 ⋅ 1.000 = 1.000 ( ( 1 - ³/₁₂ ⋅ ⁴/₅⋅d ) - 0,0012 ) .

Ricorrere alla banca _B1 è più conveniente se P₁ > P₂, i.e.

1.000 ( 1 - ¹/₄d ) > 1.000 ( ( 1 - ¹/₅d ) - 0,0012 )

¹/₄ ¹/₅d - 0,0012

( ¹/₄ - ¹/₅ )d < 0,0012

d < 0,024.

Se invece d > 0,024, converrà scontare presso la banca _B2, mentre per d = 0,024 le due alternative sono equivalenti.

Es. 10

Abbiamo in portafoglio 2 cambiali che oggi scontiamo:

• la prima, del valore nominale di €100.000, scadente fra 3 mesi, viene scontata commercialmente al tasso di sconto del 4% annuo;
• la seconda, del valore nominale di €121.600, scadente tra 2 mesi, viene scontata razionalmente al tasso annuo dell'8%.

Calcolare la somma complessivamente scontata.

• Somma scontata per la prima cambiale:

C₁ = 100.000 ( 1 - 0,04 ⋅ ³/₁₂ ) = 99.000.

AMMORTAMENTI

Determina il piano di ammortamento di un prestito di 50.000€ per 5 anni, rimborsato con rate annue costanti e interessi posticipati, al tasso di interesse annuo del 2,5%. Rata 40.162,34. Quote interesse: 1.250, 1.012, 750, 462, 244, 0. Quote capitale: 30.431,51, 40.481,66, 40.136,51, 39.701,34, 40.499,85.

Ammortamento Francese

Prima quota interesse e capitale:

I₁ = b₀ * 0.025 = 50.000 * 0.025 = 1250

C₁ = R - I₁ = 40.162,34 - 1250 = 40.481,66

Debito residuo:

b₁ = b₀ - C₁ = 50.000 - 40.481,66 = 9.518,34

Seconda quota interesse e capitale:

I₂ = 9.518,34 * 0.025 = 237,96

C₂ = R - I₂ = 40.162,34 - 237,96 = 40.136,51

Debito residuo:

b₂ = b₁ - C₂ = 9.518,34 - 40.136,51 = 39.701,34

Quarta quota interesse e capitale:

I₄ = 39.701,34 * 0.025 = 517,53

C₄ = R - I₄ = 40.162,34 - 517,53 = 39.644,81

Debito residuo:

b₄ = b₃ - C₄ = 39.701,34 - 39.644,81 = 39.756,54

Quinta quota interesse e capitale:

I₅ = 39.756,54 * 0.025 = 993,91

C₅ = R - I₅ = 40.162,34 - 993,91 = 39.168,43

Debito residuo:

b₅ = b₄ - C₅ = 39.756,54 - 39.168,43 = 588,11