Esercitazione Analisi matematica I

Problema 1

Una forza costante F agisce per un tempo ∆t = 10 sec su un corpo di massa m = 0.1 Kg, inizialmente fermo. A seguito di ciò il corpo percorre un tratto rettilineo lungo d = 0.72 m, che presenta un coefficiente di attrito dinamico µ = 0.5. In un punto A, alla fine del tratto rettilineo, il corpo entra in una guida liscia circolare di raggio R = 0.4 m, posta in un piano verticale, e si arresta in un punto B, alla quota b = 0.5R. Calcolare il valore della forza F ed il modulo della reazione vincolare della guida circolare nel punto C della guida che si trova ad una quota c = 0.3R.

Esercizio I.2

Una macchina di Atwood (cfr. figura pagina seguente) consiste di una carrucola fissa di raggio R e massa uniforme M (un disco), attorno alla quale è avvolta una fune inestensibile di massa trascurabile che collega due blocchi di massa M e 2M. Il blocco più leggero è inizialmente posizionato ad una distanza d dal terreno. Il blocco più pesante invece, è adagiato su un piano inclinato di...

un angolo α rispetto all'orizzontale. Sia μ il coefficiente di attrito tra le superfici del piano inclinato e del blocco pesante. La forza peso agisce verso il basso. Si assuma che la fune non scivoli mai:

(i) Si disegnino i diagrammi delle forze che agiscono sui due blocchi e sulla carrucola;

(ii) Si determini la condizione sull'angolo α per cui il blocco leggero si muove verso l'alto;

(iii) Si determini la condizione sull'angolo α per cui il blocco leggero si muove verso il basso;

(iv) Se il blocco leggero si muove verso il basso, si determini la sua accelerazione in funzione dell'angolo α.

[Nota bene: Il momento d'inerzia del disco di massa m e raggio r calcolato rispetto all'asse di simmetria vale: I = mr².]

Esercizi di termodinamica relativi al secondo modulo del corso di Fisica Generale I, anche equivalente al corso di Fisica Generale 3 per l'ordinamento vigente prima del 2008-09:

Esercizio II.1

Una macchina

La macchina termica funziona utilizzando due sorgenti di calore: una è un serbatoio alla temperatura T = 300K, mentre l'altra è costituita inizialmente da una massa M = 3Kg di ghiaccio alla temperatura T = 273K. Si determini il massimo lavoro ottenibile tramite tale macchina, utilizzata fino alla fusione completa del ghiaccio. Il calore latente di fusione del ghiaccio è λ = 3.3 * 10^5 J/Kg.

Esercizio II.2: n = 4 moli di un gas ideale monoatomico alla temperatura T = 520K sono contenute in un volume V di un cilindro a pareti rigide e adiabatiche, collegato tramite un rubinetto ad un secondo cilindro anch'esso di pareti rigide e adiabatiche. Inizialmente il rubinetto è chiuso ed il secondo cilindro è vuoto. Il gas compie nel primo cilindro un'espansione adiabatica reversibile occupando il volume V = 4V. Si apre poi il rubinetto ed il gas fluisce nel secondo cilindro, di volume V = V. Si calcolino la variazione di energia interna ed entropia in.

ciascuna trasformazione.

Fisica Generale I (primo e secondo modulo)

A.A. 2009-2010, 1 Febbraio 2010

CognomeNomeMatricola

Iscritto al Corso di Laurea in MatematicaFisica

Anno di Corso primooltre il primosolo meccanica (esercizi I.1 e I.2)

Tipo di scritto svolto solo termodinamica (esercizi II.1 e II.2)

tutto lo scritto

Note:

• Gli iscritti al corso di laurea in matematica possono svolgere la provaintera o solo una delle due parti. Lo stesso vale per gli studenti difisica iscritti al II anno di corso o agli anni successivi.
• Gli iscritti al primo anno del corso di laurea in fisica che hanno già su-perato la prova intermedia di meccanica (sessione di gennaio-febbraio2009) possono svolgere solo la parte di termodinamica.
• Gli iscritti al primo anno del corso di laurea in fisica che non hannosuperato la prova intermedia devono svolgere la prova per intero.
• Per coloro che svolgono la prova per intero: ai fini del superamentodella prova è necessario svolgere in modo

sia v(t) = v(t)e1. Integrando rispetto al tempo, otteniamo: x(t) = ∫v(t)e1 dt = ∫(v - gt)e1 dt = ∫(v - gt) dt = vt - 1/2gt^2 + C1 Dove C1 è una costante di integrazione. Applicando la condizione x(t) = 0 quando t = 0, otteniamo: 0 = v(0) - 1/2g(0)^2 + C1 0 = v(0) + C1 Quindi C1 = -v(0). Sostituendo nella formula precedente, otteniamo: x(t) = vt - 1/2gt^2 - v(0) La velocità del corpo è data da: v(t) = v - gt Applicando la condizione v(t) = 0 quando t = t*, otteniamo: 0 = v - gt* t* = v/g Sostituendo t* nella formula precedente, otteniamo: x(t*) = v(v/g) - 1/2g(v/g)^2 - v(0) x(t*) = v^2/g - v^2/2g - v(0) x(t*) = v^2/2g - v^2/2g - v(0) x(t*) = -v^2/2g - v(0) Quindi la soluzione per x(t*) è: x(t*) = -v^2/2g - v(0)

quando arriva in A vale √ −2v 2µgd . (4)v =A 0

Essendo la guida circolare liscia per ipotesi, l’energia che il corpo possiede in A si conserva: 1 2mv = mgb . (5)A2

Dalla (5), segue il vincolo sul modulo della forza impulsiva F , i.e. √m ≈F = (R + 2µd)g 33N. (6)∆t

Siano n, t i versori normale e tangente alla guida circolare nel punto C.

Detto α l’angolo che la verticale passante per A forma con il raggio della guida passante per C, è immediato dimostrare che: − − −e = sin α n cos α t , e = cos α n sin α t . (7)1 2

Poiché la guida è liscia, la reazione vincolare risulta puntualmente normale al vincolo, ovvero Φ = φ n . (8)

La seconda legge di Newton ( )2v−mg(cos −α n sin α t) + φn = m n + Rα̈ t (9)R