Esempi R3 Rn Cn

Appunti di geometria e algebra lineare

Esempi in R³, Rⁿ e Cⁿ

Università degli studi di Parma, anno 2016/2017

Introduzione a R³

R³ spazio => identificato da 3 coordinate { (x₁) | x₁, x₂, x₃ ∈ R }

• (x₂)
• (x₃)

• (x₁)
• (y₁)
• (x₁ + y₁)

• (x₂) + (y₂) = (x₂ + y₂)
• (x₃) (y₃) (x₃ + y₃)

(x₁) ∈ R³ è detto vettore (x₂) (x₃)

Definizioni e proprietà

DEF: Siano x · (x₁, x₂, x₃) e y · (y₁, y₂, y₃) vettori di R³ e λ ∈ R. Allora definiamo:

• Somma X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)
• Prodotto scalare λX = (λx₁, λx₂, λx₃)

Geometricamente → prodotto scalare

Proprietà delle operazioni

Prop: Le operazioni introdotte godono delle seguenti proprietà:

1. x + (y + z) = (x + y) + z
2. x + y = y + x
3. 0 = (0, 0) è elemento neutro per la somma 0 + x = x, x + 0 ∀ x ∈ R³
4. -x è tale che x + (-1)x = 0 (-(1) • x) + x ogni vettore ammette opposto → (-1)x = -x
5. λx + μx = (λ + μ)x
6. λ (x + y) = λx + λy
7. λ(μx) = (λμ)x

NOT. x - y = x + (-1)y

Combinazione lineare

DEF: Dati x₁, . . . , x_n ∈ R³

Si dice combinazione lineare di x₁, . . . , x_k ogni vettore z ∈ R³ tale che esistono λ₁, . . . , λ_k ∈ R, Z = λ₁X₁ + . . . + λ_kX_k

Osservazione: (3) è combinazione lineare di (-3) e (3). Infatti (3) = -1(-3) + 1/3 (3) mentre (1) non è comb. lineare di (-2) e (3) (1) = λ(-2) + μ(3) = (λ - 2μ) ⇒ -λ = 2 ⇒ impossibile ⇒ -x = 3

OSS: O è comb. Lineare di X₁,..., X_n (O=OX₁ + OX₂ + ... + OX_n)

Indipendenza lineare

DEF: X₁,...,X_k ∈ R³ si dicono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che dà O è quella banale λ₁X₁ + ... + λ_k X_k = O ⇔ λ₁ = ... = λ_k = O

DEF: X₁,...,X_k si dicono linearmente dipendenti se ∃ λ₁,...,λ_k ∈ R t.q. che λ₁X₁ + ... + λ_kX_k = O. Non tutti ^nulli

Esempi

1) e₁ = (^O/₁), e₂ = (^O/₁), e₃ = (^O/₁) sono linearmente indipendenti

SIA λ₁e₁ + λ₂e₂ + λ₃e₃ = O (^λ₁/_λ2/^λ₃) ⟹ λ₁ = O, λ₂ = O, λ₃ = O (^O/_O)

2) V₁(¹/₁), V₂(⁰/₀), V₃(⁰/₀) sono linearmente dipendenti

λ₁V₁ + λ₂V₂ + λ₃V₃ = (O) (^{λ₁ + λ₂}/_λ1 + λ₃)

λ₁ + λ₂ = O

λ₁ + λ₃ = O

SCELGO λ₁ = 1, λ₂ = -1, λ₃ = -1

- V₁ - V₂ + V₃ = O

Proprietà

PROP: Sono X₁,...,X_k ∈ R³. Sono linearmente dipendenti ⇔ ∃ X_i che è comb. lineare degli altri

Dimostrazione

(⇐) X₁, ..., X_k lin. dip. cioè ∃ λ₁, λ_k non tutti nulli t.q. che O = λ₁X₁ + ... + λ_kX_k = ∑_j≠i λ_j X_j

Poiché i λ_j non sono tutti nulli: ∃ λ_{i ≠ 0} ⟹ λ_iX_i = ∑_{j ≠ i} (-λ_j) X_j X_i = ∑_{j ≠ i} -λ_j⁄λ_i

(⇐) X_i = ∑ α_jX_j ⟹ O = α_iX_i + ... + α₁X₁ + α_i−1X_i−1 + + α_i−1 + λ_i+1X_i+1 + ... + α_kX_k

I coefficienti non sono tutti nulli: (-1 ≠ 0)

□

OSS: X è linearmente di