Esempi R3 Rn Cn

appunti di

Geometria

e

algebra lineare

Esempi in R³, Rⁿ e Cⁿ

Università degli studi di Parma

anno 2016/2017

appunti di

Geometria e algebra lineare

Esempi in R³, Rⁿ e Cⁿ

Università degli studi di Parma anno 2016/2017

R³ spazio => identificato da 3 coordinate

(x₁) (y₁) (x₁ + y₁)

(x₂) + (y₂) = (x₂ + y₂)

(x₃) (y₃) (x₃ + y₃)

(x₁) ∈ R³ è detto vettore

DEF Siano x · (x₁, x₂, x₃) e y · (y₁, y₂, y₃) vettori di R³ e λ ∈ R

Allora definiamo:

• Somma X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)
• Prodotto scalare λX = (λx₁, λx₂, λx₃)

Geometricamente → prodotto scalare

Prop Le operazioni introdotte godono delle seguenti proprietà:

x, y, z ∈ R³ λ, μ ∈ R

1. x + (y + z) = (x + y) + z
2. x + y = y + x
3. 0 = (0, 0) è elemento neutro per la somma 0 + x = x, x + 0
4. ∀ x ∈ R³ -x è tale che x + (-1)x = 0 (-(1) • x) + xOgni vettore ammette opposto → (-1)x = -x
5. λx + μx = (λ + μ)x
6. λ (x + y) = λx + λy
7. λ(μx) = (λμ)x

NOT. x - y = x + (-1)y

DEF Dati x₁, . . . , x_n ∈ R³

Si dice combinazione lineare di x₁, . . . , x_k ogni vettore z ∈ R³ tale che esistono λ₁, . . . , λ_k ∈ R, Z = λ₁X₁ + . . . + λ_kX_k

Osservazione      (3) è combinazione lineare di (-3) e (3)

      Infatti   (3) = -1(-3) + 1/3 (3)

mentre   (1) non è comb. lineare di (-2) e (3)

      (1) = λ(-2) + μ(3) = (λ - 2μ) ⇒ -λ = 2 ⇒ impossibile ⇒ -x = 3

_OSS O è comb. Lineare di X₁,..., X_n(O=OX₁ + OX₂ + ... + OX_n)

_DEF X₁,...,X_k ∈ R³ si dicono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che da O è quella banale λ₁X₁ + ... + λ_k X_k = O⇔ λ₁ = ... = λ_k = O

_DEF X₁,...,X_k si dicono linearmente dipendenti se ∃ λ₁,...,λ_k ∈ R t.q. che λ₁X₁ + ... + λ_kX_k = O

• Non tutti ^nulli

ES1) e₁ = (^O/₁), e₂ = (^O/₁), e₃ = (^O/₁) sono linearmente indipendentiSIA λ₁e₁ + λ₂e₂ + λ₃e₃ = O

• (^λ₁/_λ2/^λ₃) ⟹ λ₁ = O λ₂ = O λ₃ = O (^O/_O)

2) V₁(¹/₁) V₂(⁰/₀) V₃(⁰/₀) sono linearmente dipendentiλ₁V₁ + λ₂V₂ + λ₃V₃ = (O)(^{λ₁ + λ₂}/_λ1 + λ₃)

• λ₁ + λ₂ = Oλ₁ + λ₃ = Oλ₁ + λ₃ = OO=O

SCELGO λ₁ = 1λ₂ = -1λ₃ = -1

- V₁ - V₂ + V₃ = O

⊘1-1/03

_PROP Sono X₁,...,X_k ∈ R³Sono linearmente dipendenti ⇔ ∃ X_i che è comb. lineare degli altri

_{Dimostrazione} (⇐) X₁, ..., X_k lin. dip. cioè ∃ λ₁, λ_k non tutti nulli t.q. cheO = λ₁X₁ + ... + λ_kX_k = ∑_j≠i λ_j X_j

Poiché i λ_j non sono tutti nulli: ∃ λ_{i ≠ 0} ⟹ λ_iX_i = ∑_{j ≠ i} (-λ_j) X_j X_i = ∑_{j ≠ i} −λ_j⁄λ_i

(⇐) X_i = ∑ α_jX_j ⟹ O = α_iX_i + ... + α₁X₁ + α_i−1X_i−1 + + α_i−1 + λ_i+1X_i+1 + ... + α_kX_k

I coefficenti non sono tutti nulli: (-1 ≠ 0) □

_OSS X è linearmente di