Esempi limiti notevoli

Esempi di limiti notevoli

Limite quando x tende a 3 da sinistra

Limx→3- 1/3−x = +∞

1. 3−x > 0 → x x∃_R x ≠ 3
2. x₀ = 3 → 3 punto di accumulazione (p.d.a.) ∀(x₀) perché ogni intorno di x₀ ha un'intersezione non vuota con ∀x/x₀≠3
3. ∀^ε ∃(g(x₀)) ∃I_x0 ⊆ g(x₀) Tale che I_x0 ∩ ∀x/|s(x)| > (s(x))∈I

∀x₀∃_δx0 t.c. ∀x ∈ I_x0/d_x0 ⊆ t.c. x₀−d_k 0+d_k ⊆ g(x₀).

Fissiamo k>0 e verifichiamo: ¹/_3−x = kx₀ = 3 allora ci si avvicina a x₀ = 3 da sinistra x>3

1. ∃k(3−x)

Se k>0 allora: 3−x = ¹/_k 3 = x + ¹/_k−d_k 0 kx₀−d_k 0+d_k

Quindi se d_k = ¹/_k|x−x₀| 1/_k ∈ [3 − ¹/_k; 3 + ¹/_k]

Limite quando x tende a √2 da sinistra

Limx→√2− 1/x2−2 = +∞

1. x² − 2 > 0 → x x∃_R x ≠ √2
2. x₀ = √2 → √2 p.d.a. ∀(x₀) perché ogni intorno di x₀ ha un'intersezione non vuota con ∀x/x₀≠√2
3. ∀k > 0 ∃d_k > 0 t.c. ∀x ∈ |x₀−d_k|, x₀ k ∩ ∀x/|s(x₀)| → ^s(x) > k

Fissiamo k>0 e verifichiamo: ¹/_λ²−2 = kx² − 2 è sempre positiva perché x₀ = √2⁺

1. ∃k(x²−2)