Esame di Fisica

La fisica e le grandezze fisiche

La fisica è una scienza sperimentale che cerca di spiegare matematicamente dei fenomeni osservati sperimentalmente. Questo avviene osservando delle grandezze fisiche, che sono quantificate tramite un'operazione di misurazione; quindi, si afferma che una grandezza fisica è una proprietà misurabile che esprime il rapporto tra la quantità presa in esame ed un campione di riferimento (unità di misura). Tutto questo si riassume in:

Grandezza fisica = Numero + Unità di Misura

Categorie di grandezze fisiche

Le grandezze fisiche si dividono in due categorie:

• Fondamentali: ottenute direttamente tramite una misurazione;
• Derivate: ottenute tramite delle relazioni matematiche fra grandezze fondamentali.

Tutte le grandezze possiedono una propria unità di misura che deve essere omogenea per ogni grandezza. Da questo si ricava che le unità di misura delle grandezze non sono infinite ma sono espresse in funzione delle grandezze fondamentali.

Sistemi di unità di misura

Mettendo insieme tutte le grandezze, otteniamo un sistema di unità di misura; il più utilizzato a livello globale è il Sistema Internazionale (S.I.), ma talvolta sono utilizzati altri sistemi in base ai fenomeni da descrivere, come il sistema Centimetro Grammo Secondo (CGS).

Multipli e sottomultipli

Alle unità di misura vengono spesso aggiunti dei prefissi per facilitare l'utilizzo dei numeri, che risulterebbero o molto grandi o infinitamente piccoli e con un numero molto grande di cifre da scrivere.

• I multipli più utilizzati sono: 10³ (kilo), 10⁶ (mega), e 10⁹ (giga).
• I sottomultipli più utilizzati sono: 10^-9 (nano), 10^-6 (micro), e 10^-3 (milli).

Notazione scientifica

La notazione scientifica consiste in un numero razionale nella forma a*10^b, dove a è un numero decimale intero e che contiene un solo zero prima della virgola, mentre b è sempre un numero intero.

Esempi:

• 0,025 = 2,5*10^-3
• -562,5 = -5,625*10²
• -0,070 = -7,0*10^-1

Ordine di grandezza

L'ordine di grandezza (O.D.G.) è la potenza del 10 più vicina al numero considerato. Visto che un numero in notazione scientifica si esprime come a*10^b, l'O.D.G. sarà uguale a b se a < 5 o pari a b + 1 se a ≥ 5.

Esempi:

• -0,0025 = -3
• 7200 m => O.D.G. 10000 = 10⁴
• 0,12g => O.D.G. 0,1 = 10^-1
• 201,5 Kg => O.D.G. =10²

Unità di misura e omogeneità

Ogni misura in fisica deve essere accompagnata dalla sua unità di misura. In tal caso, si distinguono tre casi:

• Le grandezze che hanno stessa unità di misura sono definite omogenee.
• Le grandezze prive di unità di misura sono dette adimensionali e derivano dal rapporto fra due grandezze omogenee (Es: 10g/5g = 2).
• Le grandezze non omogenee sono grandezze che presentano due unità di misura differenti.

Errori di misura

Per effettuare una misura ho bisogno di uno strumento, che non ci consegna il valore esatto della misura, perché può essere soggetto a tre tipi di imperfezione:

• Sensibilità: la misura più piccola misurabile da quello strumento;
• Errore casuale (o accidentale): è un errore dovuto a piccole variazioni imprevedibili dello strumento o a variazioni nel valutare la misura da parte dell'osservatore. Questo tipo di errore fa variare di poco la misura ottenuta;
• Errore sistematico: è un errore difficile da individuare perché è sempre uguale a sé stesso, dipende da un difetto dello strumento o da un difetto di capacità della valutazione dell’osservatore. Questo errore avviene sempre in un solo senso, quindi o è per difetto o è per eccesso.

Gli errori si possono distinguere anche in errore relativo, errore assoluto ed errore percentuale.

Tipologie di errore

• Errore assoluto è dato dalla differenza fra il valore massimo della misura e il valore minimo fratto 2: Δa = (a_max - a_min) / 2.
• Errore relativo è dato dal rapporto tra l'errore assoluto e la misura: |Δa/a|.
• Errore percentuale è un metodo per esprimere delle variazioni rispetto a una situazione nota: n% = n/100 = 10^-2*n = 0,01*n.

Esempi di errore percentuale:

• 1% = 1/100 = 0,01
• 3% di 150 = 3*150/100 = 0,03*150 = 4,5
• 20% di 0,003 = 0,20*0,003 = 2*10^-1 * 3*10^-3 = 6*10^-4
• 200% di 1000 = 2*1000 = 2000

Cifre significative

Le cifre significative sono quelle cifre che ci forniscono effettivamente un'informazione, quindi sono le cifre diverse da zero.

Esempi:

• 0,000098 → possiede due cifre significative
• 98,00000 → possiede 7 cifre significative

Lo zero conta come cifra significativa solo se è preceduto da cifre diverse da zero.

Semidispersione

La semidispersione è data dalla differenza fra il valore massimo della misura e il valore minimo della misura fratto 2 (dalla metà della differenza fra un valore massimo e uno minimo), si indica con Δv: Δv = (V_max - V_min) / 2. Se il valore ottenuto è maggiore della sensibilità si prende come errore della misura.

Esempio:

V_max = 302 cm, V_min = 298 cm, Δv = (302 - 298) / 2 = 2, V = (300 ± 2) cm, |Δ| = 2/300 = 0,006 = 0,6%

Propagazione degli errori

Propagazione negli errori: somma e differenza

Considerate due misure x e y espresse in questo modo: X = X_m ± δx, Y = Y_m ± δy, di cui si vuole calcolare la somma Z.

Per calcolare il valore massimo di Z si scrive:

Z = (X_m + δx) + (Y_m + δy) = (X_m + Y_m) + (δx + δy)

Per il valore minimo di Z si scrive:

Z = (X_m - δx) + (Y_m - δy) = (X_m + Y_m) - (δx + δy)

Quindi si ottiene Z = X + Y = Z_m + δ => Z_m = X_m + Y_m, δz = δx + δy

Esempio: X = (120 ± 2) cm, X_max = 122 cm, X_min = 118 cm, Y = (118 ± 1) cm, Y_max = 119 cm, Y_min = 117 cm, Z = (120 + 118) ± (2+1) Z_max = (238 + 3) cm = 241 cm, Z_min = (238 - 3) cm = 235 cm.

Quindi, nel caso di somma e differenza di grandezze, gli errori assoluti si sommano fra loro.

Propagazione degli errori: prodotti e quozienti

Per calcolare una grandezza z data dal prodotto di x e y (Z = X*Y), posto che X = X_m ± δx = X_m*(1 ± δx/|X_m|) e Y = Y_m ± δy = Y_m*(1 ± δy/|Y_m|)

Z_max = (X_m + δx) (Y_m + δy) = X_m*(1 ± δx/|X_m|) * Y_m*(1 ± δy/|Y_m|) = X_m*Y_m *(1 ± δx/|X_m|)*(1 ± δy/|Y_m|)

(1 ± δx/|X_m|)*(1 ± δy/|Y_m|) = 1 + δx/|X_m| + δy/|Y_m| + δx/|X_m|* δy/|Y_m| ≈ 1 + (δx/|X_m| + δy/|Y_m|)

Quindi si ha che: Z = X_m*Y_m [ 1+ (δx/|X_m| + δy/|Y_m|)] = Z_m * (1 + δz/|Z_m|)

Anche nei prodotti e nei quozienti gli errori relativi si sommano fra loro.

Proporzionalità diretta ed inversa

Proporzionalità diretta (I° Grado)

La proporzionalità diretta si rappresenta su un piano cartesiano con una retta poiché al raddoppiare di x raddoppia y.

Quindi Y = K*X, Y/X = K (costante).

Proporzionalità inversa

Nel caso della proporzionalità inversa, sempre rappresentata sul piano cartesiano, si ha un'iperbole, dove al raddoppiare di x, y si dimezza.

Quindi Y = K/X, Y*X = K (costante).

Proporzionalità quadratica (II° Grado)

Nel caso di proporzionalità diretta abbiamo una parabola, o meglio il ramo positivo della parabola, dove al raddoppiare di x, y quadruplica.

Quindi Y = K*X², Y/X² = K (costante).

Nel caso di proporzionalità quadratica inversa, il grafico è un'iperbole, dove al raddoppio di x, il valore di y si riduce di un quarto.

Quindi Y = K/X², Y*X² = K (costante).

Sistemi di riferimento

I principali sistemi di riferimento sono due: la retta e il piano cartesiano.

Retta di riferimento

La retta ci permette di determinare la posizione di un punto P sulla retta, cioè ci permette di determinare l'ascissa del punto, che è la distanza del punto dall'origine.

Piano cartesiano

Il piano cartesiano ci permette di determinare le coordinate di un punto, che sono dette coordinate ortogonali, definite coordinate polari.

Grandezze vettoriali e scalari

Le grandezze fisiche si dividono in vettoriali e scalari:

• Le grandezze scalari sono identificate tramite un numero, un errore e un'unità di misura. Es: P.A. (132 ± 4) mmHg.
• Le grandezze vettoriali sono identificate da un vettore, che possiede modulo, direzione e verso.

Vettori

Un vettore si indica con il simbolo di freccia e il modulo vettoriale si indica con |v|.

Due vettori si possono definire:

• Paralleli: quando si trovano su rette parallele e coincidenti.
• Concordi: quando sono paralleli ed hanno stesso verso.
• Discordi: quando sono paralleli ma con verso opposto.
• Perpendicolari (ortogonali): quando formano un angolo α di 90° fra loro.

Se moltiplichiamo un vettore per uno scalare, il risultato sarà un multiplo del vettore di partenza. Un vettore viene definito opposto quando ha stesso modulo, ma verso opposto.

Somma di vettori

La somma di vettori viene fatta applicando la regola del parallelogramma. Quindi il modulo della risultante si ricava dalla seguente relazione: |R|= √(|a|² + |b|² + 2*|a|*|b| * cosα).

Casi particolari:

• Se α = 90°, il suo coseno è uguale a zero, quindi si applica il teorema di Pitagora: |R|= √(|a|² + |b|²).
• Se i vettori sono paralleli e concordi, quindi con α = 0°, |R|= |a|+|b|.
• Nel caso di vettori antiparalleli, quindi con α = 180°, |R|= |b|-|a| se b > a; altrimenti |R|= |a|-|b|.

Differenza di vettori

La differenza di vettori si fa sommando al primo vettore l'opposto del secondo.

V - V = V + (-V )

Scomposizione di un vettore

Scomporre un vettore significa ottenere i due vettori che ne rappresentano le proiezioni sugli assi del piano cartesiano.

Esempio: Se |v| = 8 cm con α = 30°

• |V_x| = 8 cm * cos 30° = 8 * √3/2 = 4√3 cm
• |V_y| = 8 cm * sin 30° = 8 * (1/2) = 4 cm

Prodotto tra vettori

Il prodotto tra vettori può avvenire in due modi: come prodotto vettoriale o come prodotto scalare.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori si può scrivere come i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo considerato.

a ⋅ b = |a|* |b|* cos θ

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è definito così:

• Intensità: data dal prodotto dei moduli dei vettori moltiplicati per il seno dell’angolo, |a|* |b|* sin θ.
• Direzione: perpendicolare al piano individuato dai vettori.
• Verso: determinato dalla regola della mano destra.

Come già detto prima, il prodotto di un vettore per uno scalare avrà come risultato sempre un vettore. Dal valore di m (numero scalare), che può essere positivo o negativo, ne ricaviamo il verso del vettore:

• Se m > 0 avrà lo stesso verso del vettore.
• Se m < 0 avrà verso opposto rispetto al vettore.

Elettrostatica

L'interazione fra due corpi avviene per la presenza di una carica elettrica, che è la proprietà fondamentale delle particelle che formano la materia (atomi), e la particella può essere definita positiva o negativa.

Carica elettrica

La carica elettrica elementare è quella formata da protoni, che possiedono carica positiva, e da elettroni, che possiedono carica negativa. Quindi si può affermare che ogni corpo ha una propria carica totale pari al multiplo della propria carica elementare perché è formato da più atomi.

Un fenomeno a cui può essere sottoposta la carica elettrica è quello della ionizzazione, che genera ioni, ottenuti rimuovendo elettroni o aggiungendo elettroni ad una molecola neutra così che questa molecola sia poi libera di muoversi in un certo mezzo.

La carica elettrica si indica con il simbolo q e la sua unità di misura nel Sistema Internazionale è il Coulomb [C]; le cariche elettriche interagiscono fra loro con attrazioni e repulsioni in base al tipo di carica, che può essere positiva, negativa o neutra; quindi due cariche positive tendono a respingersi, due cariche, una positiva ed una negativa, tendono ad attrarsi fra loro.

• I protoni, che sono le particelle con carica positiva, e gli elettroni, che sono le particelle negative, possiedono il seguente valore di carica: e^- = -1,6*10^-19 C, p⁺= 1,6*10^-19 C.

Sistemi chiusi e aperti

Si deve distinguere se ci troviamo in un sistema chiuso, ovvero che non subisce influenze esterne, la carica totale del sistema rimarrà invariata; se ci troviamo in un sistema aperto, la carica totale del sistema varierà perché il sistema sarà influenzato dall'esterno.

Forza di Coulomb

La forza di Coulomb è una forza di interazione fra cariche elettriche puntiformi, distanti fra loro r, e sarà più forte più le cariche sono vicine fra loro e diventerà più debole più le cariche si allontanano fra loro. Quindi la forza di Coulomb si dimezza al raddoppio della distanza e raddoppia al dimezzarsi della distanza fra le cariche; dunque la forza di Coulomb ha modulo indipendente dalle cariche, ma il verso è dato dal segno delle cariche (perciò ricordiamo che due cariche opposte si attraggono e due cariche uguali si respingono).

La relazione che ci permette di ricavare il modulo della forza di Coulomb è:

F = K*Q₁*Q₂/r² dove K è la costante che dipende dal mezzo in cui si muovono le cariche.

Qualsiasi sia il valore delle due cariche la forza di Coulomb è sempre uguale in modulo:

• Q₁ = 1C, Q₂ = 100C, |F₁₂| = |F₂₁|
• Q₁ = 4 C, Q₂ = 4 C, |F₁₂| = |F₂₁|

Campo elettrico

Il campo elettrico è una grandezza vettoriale che esprime le proprietà dello spazio influenzate dalla presenza di una o più cariche elettriche; questo concetto fu introdotto da Faraday per spiegare l'interazione fra cariche poste ad una certa distanza fra loro.

Poiché ogni carica genera un campo elettrico e per determinarlo si utilizza una carica esploratrice, che convenzionalmente ha carica positiva, e l’interazione...