esame 15.01.19

Analisi matematica 315 gennaio 2018

Calcolo degli integrali su curve

1. Sia data la curva: segmento congiungente i punti (1, 3) e (5, 2). Si calcoli l’integrale Z 2yx ds.

2. Sia data la curva: arco di circonferenza di raggio 2 centrata in (0, 0) contenuta nel primo e secondo quadrante. Si calcoli l’integrale Z 1p ds .21 x. Questo integrale non si svolge in maniera elementare.

Integrali su triangoli

I due integrali sul triangolo hanno conti molto lunghi.

1. Calcolare l'integrale ZZ 2(x xy) dxdy dove T è il triangolo congiungente i punti (1, 1), (1, 1), (2, 2).

2. Calcolare l'integrale ZZ 2 2(y x y) dxdy dove T è il triangolo congiungente i punti (1, 1), (1, 2), (2, 2).

Forme differenziali

1. Considerare la forma differenziale: xy 2 3 xy y(e (2x + x y) 1)dx (x e + e )dy. La forma è esatta? è chiusa? Qualora la forma sia esatta, calcolarne una primitiva; qualora la forma non sia esatta, riscriverla nella forma a(x, y)dx + c(x, y)dy + [b(x, y) c(x, y)]dy in modo che a(x, y)dx + c(x, y)dy sia esatta. Scritta così la forma non è esatta per colpa del segno: sarebbe esatta la forma xy 2 3 xy y(e (2x + x y) 1)dx + (x e + e )dy.

2. Considerare la forma differenziale: p2 2x 2(2y e 2x)dx (2ye x + 1/(2 y))dy. La forma è esatta? è chiusa? Qualora la forma sia esatta, calcolarne una primitiva; qualora la forma non sia esatta, riscriverla nella forma a(x, y)dx + c(x, y)dy + [b(x, y) c(x, y)]dy in modo che a(x, y)dx + c(x, y)dy sia esatta. Nella scrittura della forma ci sono due errori di trascrizione. Sarebbe esatta p2 2x 2x la forma (2y e 2x)dx + (2ye + 1/(2 y))dy.

Convergenza delle serie di potenze

1. Studiare la convergenza della serie di potenze: 1X n 52 + nn(x 4) 3n n2 + 3n=0.

2. Studiare la convergenza della serie di potenze: 1X n n3 + 7n(x + 1) n 32 + nn=0.

Funzioni di densità e variabili aleatorie

1. Sia (x) la funzione 8>> 1/12 if x =>>>>>> 1/12 if x = 2>>>>< 1/4 if x = 3(x) = >> ↵ if x = 4>>>>>> 1/12 if x = 5>>>>: 0 altrimenti. Stabilire i valori ↵, tali per cui possa essere presa come densità di una probabilità che ha media µ = 0.5. Detto X la variabile aleatoria che ha densità definita come sopra, stabilire se i seguenti eventi sono indipendenti: E₁ = {X < 4} E₂ = {2 = 3}

2. Calcolare i primi tre momenti della v.a. X. Calcolare il percentile 0.6 della v.a. X.

3. Sia (x) la funzione 8>> 1/12 if x = 1>>