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Fisica teorica - le equazioni rilevanti in fisica

Appunti di Fisica teoricasulle lezioni di Giuseppe Nardelli sulle equazioni rilevanti in fisica. Gli argomenti sono i seguenti: le distribuzioni: δ di Dirac e θ di Heavyside, dalle equazioni differenziali alle distribuzioni, le equazioni e le funzioni di Green, la Trasformata di Fourier. Vedi di più

Esame di Fisica teorica docente Prof. G. Nardelli

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PAF: Equazioni rilevanti in fisica

appunti delle lezioni di Giuseppe Nardelli

23 e 30 Marzo 2007

Indice

1 Definizione del problema 2

δ θ

2 Distribuzioni: di Dirac e di Heavyside 2

2.1 Definizione della δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Definizione della θ di Heavyside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Derivata di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Proprietà elementari della δ e della θ . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Equazioni differenziali alle distribuzioni 7

4 Equazioni e funzioni di Green 8

5 Trasformata di Fourier 9

5.1 Definizione della FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Proprietà elementari della FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3 Esempi di FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Soluzioni generali delle equazioni ed esempi 11

6.1 Equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2 Equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3 Equazione di d’Alembert o delle onde . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

1 Definizione del problema

In queste note siamo interessati a trovare le soluzioni generali delle seguenti tre

equazioni differenziali rilevanti in fisica:

∆f = g Equazione di Laplace (1)

2

2

− c ∆ f = g Equazione di d’Alembert (2)

2

∂t ∂

− a∆ f = g Equazione del calore (3)

∂t

dove g = g(x, t) rappresenta le sorgenti dei nostri fenomeni ed una qualunque

funzione sufficientemente regolare sullo spaziotempo.

Esempi di campi di applicazione rispettivamente delle tre equazioni:

1. campo gravitazionale, campo elettrostatico;

2. fenomeni ondulatori, interazione radiazione materia;

3. processi di dinamica molecolare e di diffusione, ma soprattutto in M.Q.

diventa l’equazione di Schrödinger libera (se a → ia).

Per risolvere le equazioni, introduciamo il formalismo matematico delle di-

stribuzioni. L’utilità di questa scelta viene chiarita al paragrafo 3.

δ θ

2 Distribuzioni: di Dirac e di Heavyside

δ

2.1 Definizione della di Dirac

Consideriamo le seguenti quattro funzioni, definite su tutta la retta reale:

1

se |x| < ǫ

f (x) =

1 0 se |x| ≥ ǫ

ǫ

f (x) =

2 2 2

π(x + ǫ )

sin(x/ǫ)

1 ·

f (x) =

3 π x

1 2

x

√ · e

f (x) = 4ǫ

4 2 πǫ

2

6

= 3 = 3 4

f f

1

= 3/2 = 3/2 2

5

= 1 = 1 3

4

= 1/2 = 1/2

= 1/10 = 1/10

3 2

2 1

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

4

= 3 = 3 1,0 f

f

= 3/2 = 3/2 4

3

= 1 0,8

3 = 1

= 1/2 = 1/2 0,6

= 1/10 = 1/10

2 0,4

1 0,2

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0,0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Tutte e quattro hanno le proprietà comuni che

+∞

Z f (x)dx = 1

i

−∞

e che 0 se x 6 = 0

lim f (x) =

i ∞ se x = 0

ǫ→0

A questo punto diremo che: lim f (x) = δ(x)

i

ǫ→∞

dove la δ = δ(x) è detta ed è un “picco” infinitamente stret-

delta di Dirac

to. Essa è nulla fuori dall’origine, mentre nell’origine prende valore infinito.

Non essendo una funzione in senso proprio, usualmente si definisce la δ come

tramite la condizione

funzionale b

Z δ(x)ϕ(x)dx := ϕ(0) ∀ a < 0, b > 0, ϕ per cui ∃ ϕ(0) (4)

δ(ϕ) := a

Poiché la δ è lineare e continua, viene detta Normalmente, le fun-

distribuzione.

zioni ϕ vengono dette e solitamente si scelgono appartenenti ad

funzioni test, 3

uno spazio molto regolare (per sopperire ad eventuali comportamenti singolari

delle distribuzioni nel funzionale).

Noi sceglieremo ϕ ∈ S, lo spazio delle cosiddette funzioni a decrescenza

definito da

rapida, ∞ α β

S = ϕ ∈ C , sup x D ϕ < ∞, α, β ∈ (5)

N

R

Le distribuzioni sono definite dai funzionali lineari e continui sullo spazio delle

funzioni test. Quando lo spazio delle funzioni test è S, le corrispondenti distribu-

zioni vengono dette Dunque la δ sopra definita, è una distribuzione

temperate.

temperata.

Verifichiamo la condizione (4) per la funzione f . Sia ϕ sviluppabile

Esempi 1

in serie di Taylor in x = 0, allora l’integrale

ǫ

b 1

Z

Z f (x)ϕ(x)dx = ϕ(x)dx =

1 2ǫ

−ǫ

a 2

x ′′

′ ϕ (0) + · · ·, diventa

sviluppando ϕ(x) ≃ ϕ(0) + x ϕ (0) + 2

ǫ 2

x

1 Z ′′

ϕ (0) + · · · dx

ϕ(0) + x ϕ (0) +

= 2ǫ 2

−ǫ 2

ǫ ǫ→0

′′ + · · · −→ ϕ(0)

= ϕ(0) + ϕ (0) 6

che è proprio la condizione (4). si noti che il limite dell’ultimo passaggio è un

in altre parole, prima risolvo l’integrale e solo alla fine faccio il

limite debole:

limite su ǫ.

Ora, vediamo cosa succede per la funzione f :

3

1 sin(x/ǫ)

f (x) =

3 π x

1

1

ix ix

e

· − e

= ǫ ǫ

2πi x

1/ǫ

1 Z ipx

= e dp

2π −1/ǫ

e, portando ǫ → 0 otteniamo: +∞

1 Z ipx

e dp (6)

δ(x) = 2π −∞

Questa espressione per δ ci verrà utile in seguito.

θ

2.2 Definizione della di Heavyside

Siamo ora interessati a trovare una della δ, cioè una

distribuzione primitiva

distribuzione la cui derivata sia proprio la δ. Non essendo una funzione, le

4

regole usuali di derivata e primitiva sicuramente saranno inadguate. Tuttavia,

per ora, procediamo seguendo il seguente ragionamento euristico: calcoleremo le

primitive delle funzioni f , i = 1, . . . , 4 precedentemente definite, ed effettueremo

i

successivamente il limite ǫ → 0. Poiché il limite che determina la δ è un limite

debole, prima facciamo l’integrale di f e poi facciamo il limite su ǫ. Trattando

i

per semplicità la f (ma il ragionamento è analogo per le altre tre) ed integrando

1

separatamente le tre zone dei reali dove f è continua, troviamo:

1

 0 se x < −ǫ

x

Z  1 (x + ǫ) se |x| < ǫ

f (t)dt =

1 2ǫ

−∞ 1 se x > ǫ

dove le costanti di integrazione sono state evidentemente fissate per rendere

uguali i limiti destro e sinistro dell’integrale nei punti di discontinuità. Nota

che l’integrale esiste anche se la funzione integranda è discontinua.

= 3 2,0

= 3/2

= 1 1,5

= 1/2

= 1/10 1,0

0,5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,0

Facendo ora il limite otteniamo: 0 se x < 0 (7)

θ(x) := lim θ (x) =

ǫ 1 se x > 0

ǫ→0

Questa è detta Si noti che non abbiamo definito la θ(0);

theta di Heavyside.

volendo, si potrebbe fissare θ(0) := 1/2 per analogia gli integrali delle funzioni

f . . . f che, calcolati in 0, valgono proprio 1/2. Tuttavia vedremo in seguito

1 4

che, trattando la θ come distribuzione, questa precisazione non è necessaria.

Come la δ, anche la θ è in realtà un funzionale, cosı̀ definito:

+∞

+∞ Z

Z ϕ(x)dx ∀ϕ per cui l’integrale converge (8)

θ(x)ϕ(x)dx :=

θ(ϕ) := 0

−∞ 5


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Fisica teoricasulle lezioni di Giuseppe Nardelli sulle equazioni rilevanti in fisica. Gli argomenti sono i seguenti: le distribuzioni: δ di Dirac e θ di Heavyside, dalle equazioni differenziali alle distribuzioni, le equazioni e le funzioni di Green, la Trasformata di Fourier.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in matematica
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher summerit di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica teorica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cattolica del Sacro Cuore - Milano Unicatt o del prof Nardelli Giuseppe.

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