Fisica teorica - le equazioni rilevanti in fisica

Distribuzioni e funzioni test

Le distribuzioni sono definite dai funzionali lineari e continui sullo spazio delle funzioni test. Quando lo spazio delle funzioni test è S, le corrispondenti distribuzioni vengono dette temperate. Dunque la δ sopra definita è una distribuzione temperata.

Verifichiamo la condizione (4) per la funzione f. Sia ϕ sviluppabile in serie di Taylor in x = 0, allora l'integrale ∫f(x)ϕ(x)dx = ϕ(x)dx = ∫ϕ(x)dx = ϕ(0) + xϕ'(0) + 1/2x^2ϕ''(0) + ... diventa ∫ϕ(x) ≃ ϕ(0) + xϕ'(0) + 1/2x^2ϕ''(0) + ... dx = ϕ(0) + xϕ'(0) + 1/2x^2ϕ''(0) + ... = ϕ(0) + ϕ'(0) + 1/2ϕ''(0) + ...

Che è proprio la condizione (4). Si noti che il limite dell'ultimo passaggio è un limite debole: limite su ε.

Ora, vediamo cosa succede per la funzione f:

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sin(x/ǫ)f (x) =3 π x11 ix ix−e· − e= ǫ ǫ2πi x1/ǫ1 Z ipx= e dp2π −1/ǫe, portando ǫ → 0 otteniamo: +∞1 Z ipxe dp (6)δ(x) = 2π −∞Questa espressione per δ ci verrà utile in seguito.θ2.2 Definizione della di HeavysideSiamo ora interessati a trovare una della δ, cioè unadistribuzione primitivadistribuzione la cui derivata sia proprio la δ. Non essendo una funzione, le4regole usuali di derivata e primitiva sicuramente saranno inadguate. Tuttavia,per ora, procediamo seguendo il seguente ragionamento euristico: calcoleremo leprimitive delle funzioni f , i = 1, . . . , 4 precedentemente definite, ed effettueremoisuccessivamente il limite ǫ → 0. Poiché il limite che determina la δ è un limitedebole, prima facciamo l’integrale di f e poi facciamo il limite su ǫ. Trattandoiper semplicità la f (ma il ragionamento è analogo per le altre tre) ed integrando1separatamente le

tre zone dei reali dove f è continua, troviamo:

1. 0 se x < -ε
2. 1 (x + ε) se |x| < ε
3. 1 se x > ε

f(t)dt = 1/2ε se x = 0

Nota che l'integrale esiste anche se la funzione integranda è discontinua.

= 3/2

= 1

= 1/2

= 1/10

Facendo ora il limite otteniamo:

0 se x < 0

θ(x) := lim θ(x) = ε

1 se x > 0

ε→0

Questa è detta theta di Heavyside.

Volendo, si potrebbe fissare θ(0) := 1/2 per analogia gli integrali delle funzioni f . . . f che, calcolati in 0, valgono proprio 1/2. Tuttavia vedremo in seguito che, trattando la θ come distribuzione, questa precisazione non è necessaria.

Come la δ, anche la θ è in realtà un funzionale, cosı̀

convergenza dell'integrale che definisce la θ. Si noti lateralmente che la definizione appena data si estende immediatamente alla derivata n-esima: (n) n (n)T (ϕ) = (−1) T (ϕ ) (10) Inoltre, si osservi che la definizione data di derivata, coincide con la derivata usuale nel caso si considerino le funzioni f (formalmente, sarebbe equivalenteia fare integrazioni per parti ed omettere i termini di bordo; quando le funzionitest sono a decrescenza rapida, tale omissione è sempre giustificata) δ θ2.4 Proprietà elementari della e della Si vede immediatamente facendo il limite esplicito che, se a 6 = 0, si ottiene la seguente proprietà: θ(x) se a > 0 θ(ax) = (11) θ(−x) se a < 01 δ(x) (12) δ(ax) = |a| 1 Inoltre si mostra facilmente che, se f ∈ C (R) vale: δ(x) · f (x) = δ(x) · f (0) (13) ′mentre, se f (0) = 0 e si può scrivere lo sviluppo f (x) ≃ x f (0) + . . . intorno ax = 0, allora

si ha: δ(x) · f (x) = 0 (14)63 Equazioni differenziali alle distribuzioni

Daremo ora due esempi di equazioni differenziali in una variabile alle distribuzioni, di cui è facile calcolare la soluzione, utili per il seguito.

a) ^d⁄_dt (δ(t) - α T (t)) = β

La ricetta è semplice: guardo il problema di Cauchy dell’equazione diffe-renziale omogenea associata alle funzioni, con condizione iniziale β, cioè:

^d⁄_dt Z(t) - α Z(t) = 0

Z(0) = β

dove Z ∈ R, cioè è una funzione reale di variabile reale. La soluzione (unica) è:

Z(t) = α t + β

edunque la soluzione della a) è:

T (t) = θ(t) Z(t) + 1

La verifica è immediata. Derivando la T con la regola di Leibniz ottengo:

^d⁄_dt T (t) = θ (t) Z(t) + θ(t) Z' (t) = δ(t) Z(t) + θ(t) Z' (t)

da cui si trova:

^d⁄_dt T (t) - α T (t) = δ(t) Z(t) + θ(t) Z' (t) - α θ(t) Z(t)

+ θ(t) Z (t) - α Z(t)= β δ(t) + θ(t) · 0 = β δ(t)dove si è utilizzato anche il fatto che δ(t) ϕ(t) = δ(t) ϕ(0), visto che la δseleziona proprio il valore in 0. 2d 2+ ω T (t) = δ(t)b) 2dt

In maniera analoga a quanto fatto sopra, la soluzione è T (t) = θ(t) Z(t)dove Z è la soluzione del problema di Cauchy per le funzioni associato,′con condizioni al contorno Z(0) = 0 e Z (0) = 1, cioè1 sin(ωt)Z(t) = ω1 A rigore non sappiamo se la regola di Leibniz sia compatibile con la definizione di derivataper una distribuzione data in precedenza. Per la si mostra facilmente, per computo diretto,θche la regola è soddisfatta. In realtá é altrettanto semplice verificare che in effetti questa é lasoluzione applicando la derivata di una distribuzione definita in precedenza7La tecnica di risoluzione applicata è molto semplice (ammesso che lo sia il calcolodella soluzione

omogenea Z), ma ha due limiti principali:

1. funziona solo per sorgenti deltiformi: sarebbe come considerare, in fisica, solo sorgenti puntiformi per i campi, mentre la materia è distribuita (almeno macroscopicamente);
2. essa è valida solo per distribuzioni mentre le nostre equazioni (1)-(3) sono in generale a 4 variabili (le tre spaziali più il tempo).

4 Equazioni e funzioni di Green

Al primo problema si rimedia con relativa semplicità. Se la nostra equazione differenziale (vettoriale) è della forma

L f (x) = g(x) (15)

dove L è un operatore differenziale lineare e x ∈ , mostriamo che la soluzione generale è:

f (x) = G(x - y) g(y) dy (16)

In cui la G, detta funzione di Green, è la soluzione dell'equazione associata alle distribuzioni con sorgente δ-forme, detta equazione di Green:

L G(x) = δ(x) con x ∈ (17)

In altre parole, se riusciamo a risolvere l'equazione con una sorgente deltiforme,

Nel nostro abbiamo

automaticamente risolto l’equazione con qualsiasi sorgente!caso, invece di risolvere 3 · ∞ equazioni alle funzioni, ci basta risolvere tre (!)equazioni di Green alle distribuzioni.

Per mostrare questo risultato, osserviamo per prima cosa che la δ si generalizzan na funzioni su in maniera banale. Se ϕ : → si definisce:

R R RZ δ(x) ϕ(x) dx := ϕ(0)

δ(ϕ) := nR ndove l’ultimo zero è naturalmente il vettore nullo di . Analogamente, si puòRnotare che la δ agisce per componenti, cioèδ(x , . . . , x ) = δ(x ) δ(x ) . . . δ(x )1 n 1 2 n

Inoltre, vediamo che, come si calcola subito per cambio di variabili, vale l’ugua-glianza: Z δ(x − y) g(y) dy = g(x)nR 8A questo punto, abbiamo tutti gli ingredienti per mostrare che (16) risolvel’equazione (15). Mettendo esplicitamente l’espressione per la f nell’equazioneabbiamo: ZL f (x) = L G(x − y) g(y) dy3RZ h iL G(x − y) g(y)

dy = 3RZ δ(x - y) g(y) dy = 3R = g(x)5 Trasformata di Fourier

Abbiamo quindi ovviato al primo problema del paragrafo 3. Tuttavia, dobbiamo ancora affrontare la questione legata all'aumento di variabili. Infatti è pur vero che la (17) ci permette di risolvere il nostro problema, ma dobbiamo considerare che attualmente non siamo affatto capaci di risolvere la (17) stessa! Per farlo, introduciamo brevemente la nozione di trasformata di Fourier.

5.1 Definizione della FT

Prendiamo una funzione ϕ ∈ S. La funzione di funzione F : S → S data da:

Zh i i p~·~xF ϕ(~x ) := ϕ̃(~p ) := e ϕ(~x ) d~x (18)

(~p) nRsi chiama di ϕ. D'ora in poi, per semplicità di notazione, ometteremo la freccetta per indicare i vettori.

5.2 Proprietà elementari della FT

Si può provare che la FT è una biezione lineare e continua su S, per cui anche ϕ̃ ∈ S anziché semplicemente ϕ̃ ∈ . La verifica della linearità è

banale