Equazione di Navier Stokes, Idraulica

Equazioni del moto dei fluidi reali

• Equazioni di Navier-Stokes (eq generale fluidi viscosi) = eq. integrali
• Equazione globale di equilibrio
• Azione di trasparimento di una corrente (azione che il contenuto esercita nel condotto in cui la corrente è contenuta)

Tensore degli sforzi

\[ \begin{bmatrix} \Phi_{xx} & \Phi_{xy} & \Phi_{xz} \\ \Phi_{yx} & \Phi_{yy} & \Phi_{yz} \\ \Phi_{zx} & \Phi_{zy} & \Phi_{zz} \end{bmatrix}\]9 incognite

Il primo pedice si riferisce alla normale al piano, il secondo alla direzione che stiamo considerando.

In realtà il tensore lo si può scrivere come:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_z & \tau_y \\ \tau_z & \sigma_y & \tau_x \\ \tau_y & \tau_x & \sigma_z \end{bmatrix}\]

Ridotto a 6 il numero delle incognite (3σ, 3τ)

Per far diventare queste 6 incognite, 1 sola incognita → Ipotesi fluido perfetto, per avere le 5 equazioni per risolvere il problema.

Per un fluido perfetto σ_x = σ_y = σ_z = P τ_{xy} = 0 τ_{yz} = 0 τ_{zx} = 0

Equazioni del moto dei fluidi reali

• Equazioni di Navier-Stokes (eq. generale fluidi viscosi)
• Equazione globale di equilibrio
• Azione di trascinamento di una corrente (azione che il contorno esercita nel condotto in cui la corrente è contenuta)

Tensore degli sforzi

\[ \begin{bmatrix}\Phi_{xx} & \Phi_{xy} & \Phi_{xz} \\\Phi_{yx} & \Phi_{yy} & \Phi_{yz} \\\Phi_{zx} & \Phi_{zy} & \Phi_{zz}\end{bmatrix}\]

9 incognite

Il primo pedice si riferisce alla normale al piano. Il secondo alla direzione che stiamo considerando.

In realtà il tensore lo si può scrivere come:

\[ \begin{bmatrix}\sigma_x & \tau_z & \tau_y \\\tau_z & \sigma_y & \tau_x \\\tau_y & \tau_x & \sigma_z\end{bmatrix}\]

Ridotto a 6 il numero delle incognite (3σ, 3τ)

Per far diventare queste 6 incognite, 1 sola incognita → Ipotessi fluido perfetto, per avere le 5 equazioni per risolvere il problema.

Per un fluido perfetto

σ_x = σ_y = σ_z = P

τ_x = 0τ_y = 0τ_z = 0

La sommatoria degli n termini della diagonale del tensore degli sforzi è un invariato

S = σ₁ + σ₂ + σ₃ = σ_x + σ_y + σ_z

P = ^S/₃

Se prendiamo un qualsiasi tensore degli sforzi:

• Tensore degli sforzi: [ σ_x τ_z τ_y ][ τ_z σ_y τ_x ][ τ_y τ_x σ_z ]
• Tensore idrostatico: [ P 0 0 ][ 0 P 0 ][ 0 0 P ]
• Tensore deviatore: [ σ_x - P τ_z τ_y ][ τ_z σ_y - P τ_x ][ τ_y τ_x σ_z - P ]

Tensore DEVIATORE

(tiene conto degli effetti della viscosita)

tiene conto della deviazione del comportamento del continuo rispetto a quello di un continuo perfetto.

A questo punto, se noi vogliamo considerare il fluido perfetto, dobbiamo scrivere delle eq. che consentono di valutare i forti in funzione di altre incognite. (Equaz. reologiche)

Quando abbiamo definito la viscosità di un fluido abbiamo definita come attitudine di un fluido a trasmettere forze tangenziali e abbiamo definito lo sforzo tangenziale come:

T = μ · ^du/_dn (derivata velocità rispetto alla normale)

Sostituire alla ^du/_dh la derivata temporale della variaz. temporale

d_γ = ^du/_dh · dt

^dγ/_dt = · = ^du/_dh

T = μ ·

Nel fluido lo sforzo è proporzionale non alla deformazione, ma alla velocità di deformazione.

Mentra in un solido elastico lo sforzo è proporzionale alla deformazione.

Scrivacessimo, stesso ragionamento inferiamo a nel piano x,y. Questo elemento traslerebbe di una certa quantita’ e poi subirebbe una deformazione angolare che ha 2 contributi (uno all’inflessione alla u e uno alla v).

τ_x ∝ dγ_x / dt

τ_y ∝ dγ_y / dt

τ_z ∝ dγ_z / dt

Sforo tangenziale proporzionale alla velocita’ di deformazione angolare, (γ̇)

Lo sforo normale ￬ proporzionale, invece, allo sorea velocita’ di deformazione lineare (nella loro dutresione). E si scrive:

(σ_x – P) ∝ dε_x / dt

(σ_y – P) ∝ dε_y / dt

(σ_z – P) ∝ dε_z / dt

Per Tensor deviatore compaiono 3 sfours normali (σ_x-P…)

Si può