Equazione di Navier Stokes, Idraulica

Equazioni del Moto dei Fluidi Reali

• Equazioni di Navier-Stokes (equazione generale, fluido viscoso)
• Equazione globale di equilibrio
• Azione di trascinamento di una corrente (azione che il contorno esercita nel condotto in cui la corrente è contenuta)

Tensore degli sforzi:

• φ_xx φ_xy φ_xz
• φ_yx φ_yy φ_yz
• φ_zx φ_zy φ_zz

9 incognite

Se il primo pedice si riferisce alla normale al piano il secondo alla direzione che stiamo considerando.

Innaltra il tensore lo si può scrivere come:

• σ_x τ_z -τ_y
• τ_z σ_y τ_x
• τ_y τ_x σ_z

Ridotto a 6 è il numero delle incognite (3σ, 3τ)

Per far diventare queste 6 incognite, 1 sola incognita → Ipotesi fluido perfetto per avere le 5 equazioni per risolvere il problema.

Per un fluido perfetto:

σ_x = σ_y = σ_z = P

τ_yx = 0 τ_yz = 0 τ_zx = 0

La sommatoria dei tre termini della diagonale del tensore degli sforzi è un INVARIANTE

S = σ_x + σ_y + σ_z + τ_xy + τ_xz = ζ_z

P = S / 3

Se prendiamo un qualsiasi tensore degli sforzi:

• Tensore degli Sforzi:

[ σ_x τ_z τ_y τ_z σ_y τ_x τ_y τ_x σ_z ]

• Tensore IDROSTATICO:

[ P 0 0 0 P 0 0 0 P ]

Tensore DEVIATORE: (tiene conto degli effetti della viscosità) tiene conto della deviazione del comportamento del continuo rispetto a quello di un continuo perfetto

Quindi in sostanza, si è in grado attraverso un’analisi teologica di scrivere 6 equazioni che di fatto ci consentono di risolvere il problema.

Questo è vero solo se le motule che stiamo esaminando è LAMINARE (dove consideriamo come uniche incognite della velocità (es. u, v, w).

Vediamo come si modula:

ρ (F_T - A̅) = div φ_T

vale sempre, ma possiamo particolarizzare le φ_T per poter trattare con il fluido viscoso.

Questa equazione, che era eq. vettoriale, proiettata lungo le 3 direz dei di un sistema ortonormale a fornisce 3 eq. scalari:

ρ (F_x - dv/dt) = ∂σ_x/∂x + ∂τ_z/∂y + ∂τ_y/∂z

ρ (F_y - dv/dt) = ∂τ_z/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_x/∂z

ρ (F_z - dw/dt) = ∂τ_y/∂x + ∂τ_x/∂y + ∂σ_z/∂z

Riequiamo:

L'effetto della viscosità è tenuto in conto da questo termine. È l'effetto che la parte del volume di controllo esercita sue fluido.

Quindi possiamo andare a particolarizzare questa scrittura.

Sono le risultanti delle spinte dovute alla pressione, sono normali.

mentre le termine

che è ancora una SPINTA, è però l'equivalente delle spinte dovute alla viscosità. Sono azioni tangenziali. Sono le azioni che la super flettono sul volume di controllo. Hanno segno opposto intatti.

Possiamo indicare questo termine in forma simbolica con: azione tangenziale

risultante delle azioni che il fluido esercita sulla superficie

Nell'equazione globale questo termine compare col segno meno a indicare le azioni che la superficie esercita sue fluido

partiamo dalle II

può essere scissa in T₁ , T₂

Inoltre esisterebbe T₀ sul contorno.

Noi stiamo cercando la T l'azione di trascinamento che il fluido esercita sul

contorno e dato che questa è una sezione

circolare. Azione circolare; è chiaro che

questa T agisca per un fatto di simmetria, la

direzione della tubazione.

Questa equazione:

T + Q + I + M₁ + M₂ - P = 0

La proiettiamo lungo l'asse

della tubazione. Lungo

l'asse della tubazione le uniche

2T₂ che hanno effettivamente

la T₁ e la T₂. T₀ non ha

componente lungo l'asse della

tubazione, per questo non

compare.

Forze T sono forze tangenziali

applicate al contorno, quindi

hanno la direzione dell'asse

della tubazione.

In questo caso, non solo la T

agisce per la direzione

dell'asse, ma per ragione di

simmetria, agirà pure sull'asse.

Passiamo alle M₁ e M₂:

Da quest'archetipo:

possiamo in ogni caso riconoscere che esiste una area occupata dal fluido e un contorno “bagnato” a contatto con il fluido.

• Quindi definiamo Area_bagnato, la sezione di fluido;
• Definiamo contorno_bagnato, il contorno del contenitore che è a diretto contatto con il fluido.

In una tubazione, l'area è l'area della tubazione, il perimetro è il contorno della tubazione.

In un canale a pelo libero, invece, l'area è l'area dell'acqua, e il contorno è il contorno del canale a contatto con l'acqua.

R = ^A/_P   raggio idraulico o raggio metrico

• quindi   I_o = γ R J

Il raggio idraulico è una dimensione lineare che in alcuni casi è necessaria e sufficiente a descrivere la geometria del sistema rispetto alle perdite di carico.

L'unica grandezza geometrica significativa che nel MOTO TURBOLENTO, può essere utilizzata per il calcolo delle perdite di carico.

(Quando è laminare NO!)