Elettrotecnica (teoria - esercizi)

Parametri Osservabili, Distribuiti e Concentrati

^27/02/19

• Un circuito è lineare quando i parametri descrittivi geometrica, resistività) non dipendono dai parametri osservabili . (V, I)
• Dato un fenomeno periodico sinusoidale caratterizzato da un periodo T, posso associare una periodicità spaziale λ detta anche lunghezza d'onda
  • velocità di propagazione nello spazio (Onda) C = 3·10⁸ m/s
• In generale f(t,x) e v(E,x) sono parametri che i pendono da posizione e tempo: oggetti a effetti propagativi : modelli a parametri distribuiti nel caso di un'assonometria le lunghezze dei cavi attraverso cui passano le correnti risultano molto minori rispetto all'ipotetica lunghezza d'onda : si adottano modelli a parametri concentrati: i = i(t) v = v(t)

Circuiti Lineari a Parametri Concentrati in Regime Statico

• Un circuito è un modello grafico che rappresenta un modello matematico che schematizza la realtà fisica.
  1. i componenti sono dispositivi che vengono schematizzati (bipolari) con un simbolo; accessibili da due o più poli o morsetti.
• La caratteristica esterna del dipolo deve essere una retta perché il sistema (circuito) è per ipotesi lineare: V : V(I, I : I(V)

Resistore

• I A R B
• V = Ri R>0 legge di Ohm
• P₀ : VI = RI² = V² / R P₀ potenza utilizzata
• La potenza associata ad una resistenza (esente con la conversione degli utilizzatori: V e I concordi) è sempre positiva : P₀ = VI se V e I concordi.

Esempio:

• I= V=RI=I R P₀ R
• 10 V B
• => P₀ = VI = ^VR _V utilizzazione assemblata

• [V] = V - Volt
• [R] = Ω - Ohm
• [I] = A - Ampere
• [P] = W - Watt

Un bipolo si definisce passivo quando in tutti i punti della sua

caratteristica esterna il prodotto V·I non cambia di segno.

Generatore ideale di tensione:

V = E_S

→ tensione imposta

Potenza (convenzione utilizzatori): P_cu = VI > 0 utilizzata

Potenza (convenzione generatori): P_cg = VI < 0 generata

Generatore ideale di corrente:

I = I_S

→ corrente imposta

→ la resistenza è un bipolo passivo; i generatori sono bipoli attivi.

Resistenze in serie:

I = I_R1 = I_R2

V = V_R1 + V_R2

allora V=R_eqI = R₁I + R₂I

quindi: R_eq=R₁+R₂

R_eq = ∑_i=1^N R_i

Resistenze in parallelo:

V = V_R1 = V_R2

I = I_R1 + I_R2

allora I = V/R_eq = V/R₁ + V/R₂

V(1/R₁ + 1/R₂)

1/R_eq = ∑_i=1^N 1/R_i

Esercizio:

R'_eq = R₂R₃/(R₂+R₃)

R_eq = R'_eqR₁ + R'_eq

R₂R₃/(R₂+R₃)R₁

Metodo dei nodi

1. Individuo nodi _(m=3) e nodo di rif. _(B)
2. Individuo le correnti di lato incognite e assegno un verso arbitrario _(l=3)
3. Si utilizzano LKC e le leggi di Ohm
   • m-1 relazioni indipendenti
4. Come incognite posso considerare i potenziali nodali _(-) scelgo arbitrariamente il valore del potenziale di un nodo _(VB=0)
5. Scrivo le tensioni ai lati _{(correnti incognite)} oppure:
   1. scrivo [I_N] = [G_nu]_(m-1)×(m-1)[V_nu]_(m-1)×1
   2. risolvo [V_nu]
   3. calcolo I_lato, V_lato e potenze

Regole

1. Matrice delle conduitanze nodali [G_nu].
   1. (m-1)×(m-1)
   2. Simmetrica
   3. Diagonale principale (G_nu)_jj: è somma delle conduitanze G_i che sono su lati con corrente incognita e afferenti al nodo
   4. Fuori dalla diagonale principale (G_nu)_{jk (j ≠ k)}: è somma delle conduitanze che collegano nodi con corrente incognita e collegano il generico nodo j al generico nodo k
2. Vettore delle sorgenti [I_S]:
   • i_S = ¹Σ^{k=1 1}Σ_{k≠1 (+se entrante, -se uscente)} => [V_nu] = [G_nu]^-1[I_S]
3. Le LKC devono esser scritte tutte con la stessa convenzione (o positive le correnti entranti o quelle uscenti, ma sempre coerentemente con la scelta iniziale)

ADATTAMENTO

Iin x R = Iout x Rin = Es / Rin + R

Un sistema di trasmissione e ricezione di segnali si dice adattato quando la resistenza di carico è pari alla resistenza interna del generatore di segnaleL'eleonema di Thevenin

Rin = R

1.) Si può modellizzare un sistema (comunque complesso) quando interessa calcolare tensione e corrente solo su un lato attraverso un modello semplice costituito da un generatore equivalente e una resistenza interna di valore opportuno che si chiudono direttamente sul lato d'interesse

Equi = tensione e vuoto tra i capi A e B

Req = resistenza equivalente tra i capi A e B

Dimostrazione

noto che

REGIME PERIODICO SINUSOIDALE

• Funzione guida
• Funzione sinuosoidale periodica alternativa
• Valore massimo
• Valore efficace

v(t) = √2 V cos(ωt + φ)

ω = 2πf

T

[ω] = rad/s

Se il circuito è lineare e le sorgenti e_s(t), i_s(t) sono funzioni sinuosoidali con frequenza f, anche v(t), i(t) sono funzioni sinuosoidali con frequenza f (isofrequenza).

Bipoli attivi:

e_s(t), i_s(t)

e_s(t) = √2 E sen(ωt + φ)

i_s(t) = √2 I_s sen(ωt + φ)

Versi convenzionali di riferimento che non corrispondono esattamente ai poli del generatore (perché cambiano ogni mezzo periodo).

Bipoli passivi:

• R: i(t)
• L: i(t)
• C: i(t)

v(t) = R i(t)

v(t) = √2 V sen(ωt + φ)

i(t) = √2 V_R sen(ωt + φ)

v(t) = L di(t)/dt

v(t) = √2 V_c sen(ωt + φ)

v(t) = 1/C ∫i(t) dt

I = V/R

Φ_v - Φ_i = 0

I = ωCV

Φ_v - Φ_i = π/2

Φ = Φ_i - π/2

• Sfasamento
• Corrente in fase
• Corrente in ritardo quadratura π/2
• Corrente in anticipo quadratura -π/2