Elettrotecnica - Teoria ed esercizi risolti

INDUTTORI

INDUTTORI IN SERIE ⅆ

= = ⋯ = = = ∙

1 2 ⅆ

ⅆ

= ∑ = ∙ ∑

ⅆ

=1 =1

Per una serie di induttori l’induttanza equivalente si ha una formula equivalente alla resistenza dei resistori in serie:

= ∑

=1

INDUTTORI IN PARALLELO

1 ()

= ∫ ⅆ

−∞ 1

=

1

∑

=1

Per analogia con i resistori in parallelo si può scrivere l’elastanza induttiva che coincide al reciproco dell’induttanza:

1

=

Quindi:

= ∑

=1

CONDENSATORI

CONDENSATORI IN SERIE

= ∑ = = ⋯ = =

1 2

=1

ELETTROTECNICA Gabriele Grezzana;Giacomo Sala;Giorgio Scalmana

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1

= ∙ ∫ () ⅆ

−∞

1 1 1

=∑ =

1

∑

=1 =1

I condensatori sono il duale degli induttori, quindi si può definire l’elastanza conduttiva :

= ∑

, ,

=1

CONDENSATORI IN PARALLELO

= ∑

=1

TRASFORMAZIONI TRIANGOLO↔STELLA

ESERCIZIO 2

Si aggiunge ora una resistenza e si osserva una conseguenza importante di questa semplice operazione: non si può

risolvere con resistori in serie o in parallelo, si necessitano altre nozioni un po’ più avanzate: non esiste alcuna coppia

di resistori in serie o in parallelo. La resistenza equivalente esiste e viene calcolata tramite le trasformazioni a

stella↔triangolo (o triangolo↔stella).

Guarda disegni Giacomo (quello a triangolo non è bello).

Considero , e come una stella e la sostituisco con un triangolo. Ora la risoluzione è lineare tramite serie e

1 2 4

parallelo.

Considerando la trasformazione stella↔triangolo in ognuna delle connessioni abbiamo due morsetti quindi possiamo

considerare tre coppie di morsetti: presa una coppia di morsetti la resistenza equivalente vista su una connessione

deve essere la medesima che sull’altra connessione. In termini di equazioni:

1 1

AC) + = CB) + =

1 1 1 1

+ +

+ +

, , , , , ,

1

AB) + =

1 1

+

+

, , ,

∙ ∙ + ∙ + ∙

, ,

= =

,

+ +

, , ,

∙ ∙ + ∙ + ∙

, ,

= =

Δ → Y: Y → Δ:

,

+ +

, , ,

∙ + ∙ + ∙

∙

, , =

= ,

{

+ +

{

, , ,

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LEZIONE 6 - Metodi d’analisi delle reti

giovedì 7 aprile 2016

I metodi d’analisi si dividono in due grandi famiglie:

Metodi Generali, cioè quei metodi che permettono di risolvere una o due variabili di porta ma afflitti da uno

- svantaggio considerevole nell’onere di calcoli richiesti;

Metodi Particolari, cioè quei metodi che permettono di risolvere la rete concentrandosi su una particolare

- porta elettrica del circuito.

Esistono dei percorsi risolutivi che possono essere declinati sia per soluzioni generali che particolari.

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ELETTROTECNICA (o metodo di Kirchhoff)

Teorizzato ancora da Maxwell, è il metodo più semplice per calcolare in una volta sola tutte le variabili di lato data una

rete elettrica. Esso enuncia quanto segue: “data una rete di lati essa è risolvibile con un sistema di equazioni in

2

quanto ogni lato è costituito da un bipolo, quindi caratterizzato da due variabili.”

Il bipolo è l’entità base della rete, più bipoli formano lati di rete e la connessione tra più lati formano la rete. Per ogni

lato esiste un legame tra le sue variabili di porta, ovvero tensione e corrente: è questo il motivo per il quale se la rete

è formata da lati si presenteranno incognite e saranno necessarie equazioni.

2 2

Incognite: ogni lato si porta appresso una coppia di incognite, tensioni e correnti;

Equazioni: quelle che rendono ragione alla natura intima dei lati e che modellizzano matematicamente la relazione

tra di essi. Per risolvere la rete si devono impiegare equazioni costitutive di lato:

o )

= (

o = ( )

e equazioni derivate dalle leggi di Kirchhoff, che possono fornire un numero di equazioni superiore ad ma vengono

,

scelte in modo arguto per rappresentare completamente la rete ed essere linearmente indipendenti:

Legge di Kirchhoff ai nodi: nodi

o − 1

Legge di Kirchhoff alle maglie: maglie

o − ( − 1)

Ci si chiede quali siano le equazioni linearmente indipendenti che è necessario scrivere; la rete è fatta da

2

connessioni di bipoli per cui le equazioni sono quelle che rappresentano i legami costitutivi di lato e le relazioni di

connessioni che modellizzano le interazioni tra i lati, serviranno dunque le leggi costitutive di lato, le leggi di Kirchhoff

alle tensioni (LKV) e le leggi di Kirchhoff alle correnti (LKI).

ELETTROTECNICA Gabriele Grezzana;Giacomo Sala;Giorgio Scalmana

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ESEMPIO (rete a tre nodi e cinque lati)

L=5; N=3. Quando si va ad orientare la corrente in un circuito si è soliti

mantenere la medesima direzione per tutti i lati e quindi risulta sufficiente

indicarne il senso in uno solo di questi. Ci si chiede ora il numero di

equazioni di Kirchhoff scrivibili per questa situazione ricordando che le

possibilità dei nodi estesi non vengono prese in considerazione. Si

ritengono nodi quelli che connettono almeno tre bipoli (A, B, C), questo Figura 35

non esclude la definizione generale di nodo ma è più semplice e permette

una risoluzione più veloce.

Si scrivono le equazioni ai nodi, considerando la somma delle correnti entranti uguale a 0:

()

− − − = 0

1 2 3 ()

− − = 0

{ 1 2 5 ()

+ + + = 0

2 3 4 5

Per sapere se il set di equazioni è linearmente indipendente si esegue una combinazione lineare (somma in questo

caso): poiché si produce un’identità (0=0) queste tre equazioni non sono tra di loro linearmente indipendenti:

() + () = −()

Non è necessario scriverle per tutti i nodi ma una in meno, cioè dati nodi si scrivono equazioni. Rimuovendo

−

un’equazione (nodo) a questo set porta ad averne uno composto di sole equazioni lineari; questo ragionamento può

essere esteso al caso generale, per un motivo molto semplice: le correnti di lato si trasmettono da un nodo all’altro

dunque considerando tutti i nodi della rete si avrà una stessa equazione due volte ma con segno opposto. Andando

a scrivere un sistema di equazioni ad nodi tutte le correnti che non afferiscono al nodo rimosso compaiono una

− 1

volta con segno positivo e una volta negativo, le correnti che vi afferiscono invece compaiono una sola volta. Si ha

dunque la prova che rimuovendo un’equazione di Kirchhoff si produce un set di equazioni linearmente indipendenti.

−1

→ − ( − 1)

Di conseguenza le leggi alle tensioni saranno e la questione si sposta sul “come” scegliere queste relazioni

− ( − )

in maniera opportuna.

Riferendosi all’esempio si sa che le equazioni indipendenti riferite alle tensioni siano tre.

Inoltre si nota che la rete può essere suddivisa in tre anelli (cioè maglie minime, che non

contengono al loro interno altre maglie) e dunque che le equazioni indipendenti siano

altrettante. In realtà nel grafico sono presenti quattro anelli poiché la maglia esterna è

anch’essa un nodo (lo si capisce attraverso lo studio in una rappresentazione

tridimensionale, per la quale questo oggetto è interno ad una superficie sferica,

guardando da “dietro”). Ad essere impiegata è la convenzione dei generatori, in modo

tale che il verso della corrente sia il medesimo della tensione: Figura 36

ELETTROTECNICA Gabriele Grezzana;Giacomo Sala;Giorgio Scalmana

30

− = 0 ( )

3 4 1

+ − = 0 ( )

1 2 3 2

{

− = 0 ( )

5 2 3

− − = 0 ( )

4 1 5 4

Queste quattro equazioni non sono linearmente indipendenti in quanto la loro somma porta a risultato nullo, motivo

analogo a quello valido per le relazioni generate dalla legge di Kirchhoff alle correnti. Per evitare che tutte le tensioni

entrino due volte nel sistema è sufficiente escludere una di queste equazioni e la scelta più conveniente ricade su ;

4

in questo modo le tensioni dei lati esterni della rete in questo sistema ridotto rientrano solo una volta. Ancora una

volta data una rete il numero di equazioni di Kirchhoff necessario è pari al numero di anelli interni alla rete, ovvero

la somma di quelli presenti escluso quello esterno.

DIMOSTRAZIONE DI # = # − # +

Ma è sempre vero che il numero di anelli in una rete coincide alla differenza tra il numero di lati e il

numero di nodi escluso uno? Questo è dimostrato se risulta essere valido per ogni passaggio di

incremento della rete attraverso il metodo induttivo: si hanno due possibilità, in base alla tipologia

di espansione della rete, entrambi illustrati a partire dalla figura 37 (seme, ovvero due nodi e

altrettanti lati) a quella 38. Se una proprietà è vera nel caso particolare e resta valida per ogni passo

successivo della costruzione della rete allora lo diventa anche per il caso più generale.