Elettrotecnica Parte 1

18/03/2015

Modello circuitale a parametri concentrati

Questo modello è un'approssimazione di cui ci serviremo per la risoluzione dei circuiti. Esso è costruito sulle seguenti due ipotesi:

1. Ipotesi (condizione) sufficiente → regime quasi stazionario

   Gli effetti dovuti alla radiazione del campo elettromagnetico sono trascurabili.

   Il campo elettromagnetico è confinato in prossimità dell'oggetto (o elemento circuitale).

   Affinché questa ipotesi sia verificata è sufficiente individuare una superficie chiusa, che racchiude la componente circuitale, tale che al di fuori di questa superficie il campo non fuoriesca, allora ciò che sta dentro sta funzionando in condizioni quasi stazionarie.

   Le componenti normali della corrente di spostamento e della corrente magnetica sono trascurabili.

2. Ipotesi (condizione) necessaria → dispositivo "elettricamente corto"

   Effetti dovuti alla propagazione trascurabili. Tempo di propagazione infinitesimo, il campo si propaga istantaneamente in tutti i punti del circuito.

   Affinché questa ipotesi sia verificata è necessario che le dimensioni geometriche massime dell'oggetto elettrico siano molto minori delle lunghezze d'onda minima del campo elettromagnetico.

   d_max/c₀→0

   Elettricamente corto se d_max≪ λ_min

   f = 50 Hz → λ = 6000 km

   f = 1 kHz → λ = 30 km

   f = 1 MHz → λ = 300 m

   f = 1 GHz → λ = 30 cm

Tesi: se valgono le due precedenti condizioni si può trascurare la dipendenza spaziale del campo e il componente circuitale può essere considerato porzioniforme parametro concentrato.

_Sc ⁿ ∇ x e_(r,t)=0 il C.E.M. non si irradia all'esterno delle superficie _Sc

_Sc ^e ∇· j_e=0 il dispositivo elettrico non può "comunicare" con gli altri dispositivi estranei a _Sc

Aggiungiamo allora un tubicino fatto di buon conduttore (terminale) per consentire al dispositivo di scambiare energia C.E.M con l'esterno. Non potendo irradiare, il C.E.M. deve essere "condotto" fuori dal dispositivo per esempio mediante una corrente elettrica che fuoriesce dal terminale. Calcoliamo queste correnti considerando che attraverso le superficie Sc non fluiscano altre correnti.

I_c= ∬_Sc j·nds=∭ _e ∇·jdv=0 I=0

Dobbiamo aggiungere un secondo terminale e calcoliamo le correnti I_A e I_B

∭_e ∇·j dv= I_A = I_B ⇒ I_A = -I_B ≠ 0

Quindi per poter funzionare un componente circuitale deve avere almeno due terminali. Esso per un osservato verso di riferimento è infatti attraversato da un'unica corrente I

C.E.M: campo elettromagnetico

Leggi di Kirchhoff

Sono le leggi fondamentali della teoria dei circuiti.

Ricavate dalle equazioni di Maxwell si ottengono integrando le equazioni

su rotori nello spazio tra i bipoli.

Eq. di partenza:

∇ x e(r) = 0

∇ x h = j = ∇ . (∇ x h) = 0 = ∇ . j

1° Legge (LKC)

Integrare ∇ . j in un volume Ω che racchiude uno o più bipoli

e con il contorno ∂Ω sia una superficie gaussiana che taglia alcuni lati

senza tagliare isollette.

∬_Ω ∇ . j dv = ∮_∂Ω j . n̂ ds = 0

Nello spazio tra i bipoli la densità di corrente j è nulla, tranne che

nei lati in cui scorrono le correnti di lato i.

Il segno dipende dalla normale alla superficie: Se il verso della

corrente è concorde alla normale si sceglie un segno, in caso contrario l’opposto.

LKC è relativa quindi alle correnti e stabilisce una relazione lineare

tra le correnti dei lati che appartengono ad un insieme di taglio.

« definita una superficie gaussiana che taglia alcuni lati di un circuito

elettrico, la somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie è nulla.»

Posso sempre riportare il funzionamento di un m-polo in m-1 bipoli

ammesso in cui non collegheremo la corrente sarà combinazione degli altri.

Leggi di Lato

Preso un bipolo sappiamo che le sue variabili sono due: tensione e corrente.

Se il funzionamento di questo oggetto è una curva nel piano VI, posso rappresentarne

l'andamento.

Un resistore è un qualsiasi bipolo la cui caratteristica è una curva

nel piano VI

• a) resistore
• b) resistore non lineare
• c) resistore lineare

I resistori la cui caratteristica è una curva non lineare sono chiamati, appunto,

resistori non lineari.

Se la caratteristica di funzionamento cambia nel tempo è detto tempo variante.

Da un punto di vista analitico: f(i,v,t) = 0.

Se la caratteristica rimane ferma nel tempo parliamo di resistore non lineare tempo invariante.

Da un punto di vista analitico: f(i,v) = 0.

Se possiamo esprimere f(v,t) come v(t) = f(i(t)) il resistore si dice controllato in

corrente. Per ogni valore della corrente, il valore della tensione deve essere univoco.

Gli generatori

sono dei resistori non lineari la cui caratteristica non è simmetrica rispetto all'origine hanno pertanto un verso di montaggio.

I generatori sono impressi nel circuito. Le caratteristiche del circuito vengono influenzate dai generatori. (La loro non linearità non rende il circuito non lineare)

Spegne un generatore indipendente di corrente significa portare la rispettiva f.e.m. a zero → CIRCUITO APERTO.

Spegne un generatore indipendente di tensione significa portare la rispettiva corrente a zero → CIRCUITO CHIUSO.

INDUTTORE

Una caratteristica che lega il valore della corrente istantanea al flusso del campo induzione magnetica si chiama Induttore.

Essi possono essere lineari e non, tempo variante e tempo invariante. Noi studieremo solo lineari, tempo invarianti.

Analiticamente: ϕ(t) = L ⋅ i(t) dove L è il coeff. angolare della retta e prende il nome di INDUTANZA. Si misura in Henry.

Come fare a mettere in relazione v(t)= ?

Dalla legge di Faraday-Lenz sappiamo che v(t) = dϕ(t)/dt *

Essendo tempo invariante possiamo scrivere:

v(t) = L d(i(t))/dt → v(t) = L d(i(t))/dt

* Non è presente il segno meno perché considero le direzioni di riferimento associate