Elettrotecnica - formulario

F ?F F ?F

* *

.

\ = ] ! = 0 +\ ; 0 ! =; 0

• Circuito con smorzamento critico;

- $ lm - ?c . -

\ < ] , \ = 0 ! = ; 0 ! = ln

• - $ Circuito sotto smorzato, senza

o

smorzamento.

Autonomi: → ∞

In un circuito autonomo e stabile tutte le tensioni e tutte le correnti diventano costanti per (regime costante).

Metodo uno: = 0 0 0

?

1. Ricavare dal circuito a regime in le condizioni iniziali 0 .

9 4

2

= 0 Y Y

@ oppure .

2. Analizzare la rete per con LKT o LKC e ricavare

\ ] -

Ricavare e scrivere il tipo di soluzione.

3. ! !

Mettere a sistema l’equazione della soluzione con la sua derivata ricavando

4. e e sostituire nella

$

soluzione.

Metodo sistematico: = 0 0 0

?

5. Ricavare dal circuito a regime in le condizioni iniziali 0 .

9 4

6. Sostituire ogni condensatore con un circuito aperto ed ogni induttore con un corto circuito; studiare il circuito

; ∞

resistivo ottenuto, ricavando il valore della variabile desiderata.

= 0 @

7. Spegnere i generatori indipendenti per ; scrivere un’equazione differenziale omogenea, determinando

\ ]

e .

-

8. La soluzione cercata è : ; = ! + ! + ; ∞

p q \ > ] F F

*

- $

p q \ = ] ; = ! + ! + ; ∞

?c

- $ O R

p q \ < ] ; = ! k "f + ! " f + ; ∞

?c

- $

! !

9. Determinare le costanti e utilizzando le condizioni iniziali.

$ = − −

r 9 4

Ordine di un circuito dinamico passivo:

è il numero degli elementi dinamici (induttori e condensatori);

r è il numero di maglie costituite solo di condensatori ed, eventualmente, generatori indipendenti di tensione.

9 è il numero di linee chiuse che tagliano solo induttori ed, eventualmente, generatori indipendenti di corrente.

4

Algoritmo per ottenere le equazioni di stato di un circuito del secondo ordine:

1. Sostituire ogni condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore e ogni induttore con un

9

generatore indipendente di corrente di valore .

4

2. Studiare il circuito resistivo ottenuto, ricavando la corrente in ciascun condensatore e la tensione ai capi

9 4

di ciascun induttore.

$ 2 $

= =

V YV

9 4

e

3. Sostituire 9 4 Numeri complessi

= cos u + e" u

st

Formula di Eulero: = st

Forma esponenziale:

il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli, l’argomento del prodotto è uguale alla

Moltiplicazione: v wv w=

st st s t @t

* *

somma degli argomenti. $ $

il modulo del quoziente è uguale al quoziente dei moduli, l’argomento del quoziente è uguale alla

Divisione: yz*

x T x

= s t ?t

* * *

differenza degli argomenti. yz

x T x {

N

= ; + e{ = k "| + e " | = + { | =

}; ?$ ;

dove e

Fasore

~,

Data una sinusoide di ampiezza A e si chiama fasore associato alla sinusoide il numero complesso X di modulo A e

~. • = ! s€

argomento

; = !k " ] <

•=! s- A

; = !" ] !k " ] − 90° <

•=! ?sƒ- -jA

; = −!" ] !k " ] + 90° <

•=! sƒ- jA

; = −!k " ] !k " ] + 180° <

•=! s$…- -A

Proprietà:

1. Moltiplicazione per una costante k (reale): equivale a moltiplicare per k il fasore corrispondente.

2. Addizione: la somma di due sinusoidi isofrequenziali è ancora una sinusoide della stessa frequenza, il cui

fasore è la somma dei rispettivi fasori.

] e]•.

3. Derivata di frequenza angolare e fasore è una sinusoide della stessa frequenza e fasore

X:

Risposta ad un ingresso sinusoidale:

$ $

+ = † cos ] K = 5,

V 9 ‡

Data l’equazione , essendo si ha come soluzione generale

M M

?

=ˆ + !k " ] + ~

N

M dove:

9 • K è una costante da determinare imponendo la condizione iniziale;

? N

M

• è la risposta transitoria che al crescere del tempo tende a 0;

!k " ] + ~

• è la risposta permanente.

Si dice che un circuito è in regime sinusoidale quando tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali, con la stessa

].

pulsazione

Legge di Ohm simbolica

• = RI quindi argV = argI

Resistore: V

• = j]C‰ quindi argV = argI + 90°

Induttore: V e]5Š

• = quindi argI = argV + 90°

Condensatore: I

La legge di Ohm simbolica può essere scritta come = dove è l’impedenza dell’elemento, si misura in ohm e non

V ZI Z

è un fasore.

$

‹ = prende il nome di ammettenza dell’elemento e si misura in Siemens.

Œ ] → 0 ] → ∞.

L’induttore per si comporta da corto circuito e da circuito aperto per

] → 0 ] → ∞.

Il condensatore per si comporta da circuito aperto e da corto circuito per

Metodo simbolico dei fasori: ]

1. Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione con un generatore di valore costante, pari al fasore

corrispondente.

2. Sostituire ogni variabile (tensione o corrente) con il fasore corrispondente.

$

3. Sostituire ogni condensatore di capacità C con un bipolo di impedenza ed ogni induttore di induttanza L

s•9

e]C.

con un bipolo di impedenza

4. Analizzare il circuito così ottenuto alla stregua di un circuito resistivo, ricavando i fasori delle grandezze

desiderate.

5. Ricavare le grandezze sinusoidali con la legge di antitrasformazione dei fasori:

• = ! ;p e~ ⇒ ; = !k " ] + ~

∑

,

Œ = Œ

F •

HI$

sono equivalenti a un solo bipolo di impedenza

Bipoli in serie: ∑

,

‹ = ‹

J •

HI$

sono equivalenti a un solo bipolo di ammettenza

Bipoli in parallelo: sostituire le resistenze con le impedenze e le conduttanze con le ammettenze. Se le

Trasformazione stella-triangolo:

impedenze hanno lo stesso valore quelle della stella sono 1/3 di quelle del triangolo.

la tensione a vuoto è un fasore e la resistenza equivalente un’impedenza equivalente.

Teorema di Thevenin: Š =

• Œ ‰

• ‘

discorso analogo.

Teorema di Norton: Š Œ ‰ 8 Š

Relazione tra il fasore della tensione e il fasore della corrente: • •

Rappresentazione esterna di bipoli:

specifica la relazione esistente tra la tensione e la corrente ai morsetti. La parte reale R

Œ 8 e’

L’impedenza

prende il nome di resistenza e la parte immaginaria X prende il nome di reattanza. Si misurano in ohm.

Resistore R R = R X = 0

Z =

Induttore = R = 0 X =

e]C ]C

Z s $

=

Condensatore R = 0 X =

P P

Z •9 •9

Un bipolo in cui X > 0 è detto induttivo; un bipolo in cui X < 0 è detto capacitivo; bipoli con impedenza Z = R sono detti

resistivi poiché la loro reattanza è nulla; i bipoli con impedenza immaginaria Z = jX sono chiamati reattivi poiché la loro

resistenza è nulla.

di un bipolo qualsiasi è = G + jB . La parte G viene detta conduttanza e la parte immaginaria B viene

L’ammettenza Y

detta suscettanza. Si misurano in Siemens.

Resistore R G =1/ R B = 0

Y =1/ s s

G = 0 B =

Induttore = P P

Y •4 •4

=

Condensatore G = 0 B =

e]C ]5

Y

•

Œ

Effetto Miller: “” @$

Sovrapposizione dei regimi sinusoidali:

• Si spengono i generatori uno per volta e si ricavano i fasori corrispondenti; se le pulsazioni sono diverse

occorre studiare due circuiti diversi nel dominio dei fasori: uno trasformato per la prima pulsazione e uno per

la seconda.

• Anti trasformare i fasori.

• Eseguire la somma delle sinusoidi corrispondenti ( nel dominio del tempo).

Potenza in regime sinusoidale

$ $

p = † W cos ~ − ~ † W cos 2] + ~ + ~

+

‡ ‡ 2 ‡ ‡ 2

Potenza istantanea: $ † W cos ~ − ~ si misura in watt. È il valor medio in un periodo della potenza

‡ ‡ 2

Potenza attiva o media:

istantanea. $

+ † W

Il valore massimo della potenza istantanea è detto ed è pari a .

‡ ‡

potenza di picco

Potenza istantanea Potenza media

$ $ $ $ $ –

W + W cos 2] + 2~ = † W = W =

p = —

Resistore ‡ ‡ 2 ‡ ‡ ‡

$

p = − ]CW sen 2] + 2~

Induttore P = 0

‡ 2

$

p = ]5† sen 2] + 2~

Condensatore P = 0

‡ 2

›

W = —

Tšš è il valore di quella corrente costante che, scorrendo

Valore efficace della corrente sinusoidale: √

nello stesso resistore, provoca la dissipazione della stessa potenza media.

–

† = —

Tšš è il valore di quella tensione costante che,

Valore efficace della tensione sinusoidale: √

scorrendo nello stesso resistore, provoca la dissipazione della stessa potenza media.

$ $ $ $

œ = Š‰ = † W = † W k "| + e † W " |= + e

∗ s € ?€

ž Ÿ . Si misura in VA (volt-

‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

Potenza complessa:

Ampere). $

¡ = † W = † W = +

}

• Potenza apparente: è il modulo della potenza complessa. È così

‡ ‡ Tšš Tšš

chiamato perché è la potenza che assorbirebbe il bipolo qualora la tensione e la corrente fossero costanti e

coincidenti con i valori efficaci. Si misura in VA.

arg œ = ~ − ~ = |

• Argomento della potenza complessa: è la differenza di fase tra la tensione e la

2 ¥

| k "| =

corrente. Il coseno dell’angolo è chiamato fattore di potenza 3

$ $

= † W k "| = œk "| = W

• Potenza media: è la parte reale della potenza complessa.

‡ ‡ OœR ‡

$ $

= † W " | = œ" | = W¦ W

• Potenza reattiva: è la parte immaginaria della potenza complessa.

‡ ‡ OœR ‡

Si misura in VAR (volt-ampere reattivi).

~ = ~ =0

Resistore: 2

o $ $ –

~ = ~ + 90° = ]CW = >0

—

Induttore: 2 4 ‡

o •4

$ › $

~ = ~ + 90° ⟹ =− = ]5† < 0

—

Condensatore: -

2 9 ‡

o •9

∑ ∑

¡ = +e =0

H H H H H

Conservazione della potenza complessa: ¨

un gene