Elettrotecnica- Blocco terzo e quarto (secondo semestre)

Elettrotecnica

Cosa cambia dalla prima parte?

In elettrotecnica ci siamo occupati di 2 situazioni fondamentali:

• Regime stazionario
• Equazioni algebra Re,
• _{/ \} V = 0 circuito

• Regime sinusoidale
• Le equazioni sono in algebra C;
• d_v/dt → jωL
• C dv/dt → 1/jωC

In entrambi i casi le situazioni in esame erano isofrequenziali. (Stesso ω in tutto il circuito)

Adesso invece ci occupiamo di studiare la risposta del circuito al variare della frequenza di alimentazione: questo tipo di analisi è fondamentale per lo studio di filtri e situazioni di risonanza.

I punti fondamentali per l'analisi della risposta in frequenza:

1. Funzione di trasferimento e sua rappresentazione grafica: il diagramma di Bode
2. La scala di decibel;
3. Risoluzione di equazioni differenziali armoniche: per semplificarci la vita passeremo dal dominio t al dominio s mediante la trasformata di Laplace.

1. La funzione di trasferimento

Essa è il rapporto tra il fasore dell'uscita (Ŷ) (nel nostro caso una tensione ad una corrente) ed il fasore di ingresso (anch'esso Ī o ∇)

^{H(jω) = _Ŷ(jω) / _Ẋ(jω)}

NB: Anche in questo caso useremo sempre l'algebra complessa.

NB: Il caso che stiamo prendendo in considerazione, ovvero la funzione di trasferimento di un circuito elettrico, è un caso particolare di studio di funzioni di trasferimento di un sistema lineare tempo invariante:

Se tracciamo graficamente l'andamento della funzione di Trasferimento (in scala semilogaritmica) tracciamo il suo diagramma di Bode.

ESERCIZIO:

calcola la funzione di trasferimento

vo/vs

H(ω) = ^jωC/_{R + 1/jωC} = ¹/_{1 + jωRC}

ma io so che ω₀ = ¹/_RC → costante di tempo dei circuiti RC, quindi H(ω) può essere scritta come:

H(ω) = ¹/_{1 + j(^ω/ω0)}

Per la rappresentazione qualitativa dei diagrammi modulo e fase:

|H(ω)| = ¹/_{√(1² + [j(^ω/ω0)]²) = ¹/√[1 + j(^ω/ω0)]²}

per ω → 0ω → ω₀ω → ∞

1/√1 + 0 = ¹/_√1 = 1

Risonanza serie:

in un circuito RLC

l'impedenza Z ha questa struttura:

Z = R + j(ωL - ₁/^ωC)

il cui modulo è

|Z| = √(R² + (ωL - ₁/^ωC)²)

e fanno

Ø = tan^-1(_{ωL - 1/^ωC}/^R)

la pulsazione di risonanza è data da

ω₀ = ₁/^√(LC) rad/s

Se avviene, come sempre, a fase le masse rimane

• ω = ω₀ → |Z| = R
• ω → 0 |Z| = ∞ Ø = 0
• ω → ∞ |Z| = ωL Ø = 90^°

G V_s ed I sono in fase

Fattore di qualità o di merito

Q = 2π _reattiva / _dissipata

Il fattore di qualità può essere considerato come la capacità di immagazzinare energia in rapporto alla dissipazione di energia.

Un circuito risonante che ha elevato fattore di qualità Q richiede meno energia per ogni ciclo di funzionamento.

Risonanza parallelo

Per parlare di risonanza parallelo dobbiamo passare dal concetto di impedenza Z al concetto di ammettenza Ĥ

Ĥ= ¹/_Z²= ^I/_Vg= ¹/_R (ricalca l’andamento della corrente)

• Al variare del fattore di merito varia l’andamento della Ĥ e quindi della corrente.
• ω₁ e ω₂ sono le pulsazioni di taglio, in corrispond.

|Y(jω₁)| / Q = |Y(jω₂)| / Q = |Y(jω)| / Q = 1 / √2

Q(ω / ω₀_ω₀ - ω / ω)^{= ±1} (Risolvere le due eq. prendendo in considerazione solo le rad. ±)

Filtro Attivo Arresta Banda

Invertendo l'ordine dei filtri otteniamo un comportamento opposto al passa banda, che è proprio il risultato che volevamo ottenere.

Analisi nel Dominio del Tempo

Visto che (come già sappiamo) i circuiti elettrici sono dei casi particolari di sistemi lineari tratteremo il loro studio come il tipo di sistema (Analisi dei sistemi):

• Dominio del Tempo (t)
• se difficile posso a
• Dominio di Laplace (s)

e poi riporto la soluzione al

Quindi, portandoci la soluzione all'integrale della relaz.

IV dobbiamo sommare l’equazione omogenea associata

con l’integrale particolare.

y(t) = y_oa(t) + y_p(t)

• OMOGENEA ASSOCIATA:

esempio

3y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = 4 _dυ/^dτ + 2υ(t)

3λ² + 2λ + 5 = 0

λ_1,2 = -2 _{±√(4-4(3)(5))}/⁶

= -₁/³ + j ^√14/₃

• La soluzione è una coppia di radici complesse coniug.
• La parte Re negativa.
• Il circuito considerato è del secondo ordine ed è assolutamente stabile.

In generale le soluzioni potrebbero essere:

• Possibilità:
• RADICI REALI DISTINTE ①
• RADICI REALI COINCIDENTI ②
• RADICI COMPLESSE CONIUGATE ③
• COMPLESSE CONIUGATE COINCIDENTI ④
• PURAMENTE IMMAGINARIE ⑤

USCITA:

1. y_oa(t) = Ce^λ₁t + Ce^λ₂t
2. y_oa(t) = Ce^λt + Ct¹e^λt + ... + C_me^λ_mt
3. y_oa(t) = e^αt (k₁cos bt + k₂sin bt) + ...
4. y_oa(t) = e^αt[(A_n + A₂t + ... + A_mt^m–1)cosbt + (B₁t + B₂t + ... + B_mt^m–1)]
5. y_oa(t) = [Acos(bξ²t) + Bsin(bt)]

25

LE FREQUENZE LIBERE

• SONO LE RADICI DELL'EQ CARATTERISTICA;
• HANNO LA DIMENSIONE DELL'INVERSO DEL TEMPO;
• SONO INDIPENDENTI DALL'INGRESSO, ECCO PERCHÉ "LIBERE";
• τ = COSTANTE DI TEMPO τ.

A PARTE REALE NEG:

Dopo un At sufficientemente grande i termini A e^λt si attenuano e l'uscita segue il comportamento dell'ingresso

se Re {λ_i} < 0 ∀ i

la risposta libera converge a zero dopo un certo tempo;

PER t → ∞ rimane la sola Risposta Forzata;

(vedi controlli automatici)

- STABILITÀ

• Re {λ_i} < 0:Rete assolutam. stabile (è ammesso l'uso del criterio ridotto di Nyquist)
• Re {λ_i} = 0:Rete stabile semplicemente
• Re {λ_i} > 0:INSTABILE (Pall’a parte Re⁺ rende il sistema instabile a ciclo chiuso)

INGRESSO A RAMPA

Matematicamente è l'integrale del gradino unitario

Se conosco l'uscita relativa all'ingresso a gradino è semplice ricavare l'uscita derivante dalla RAMPA

d₂(t) = ∫_-∞^t σ₁(τ) dτ =

0 per t < 0

= t . σ₁(t) per t > 0

Abbiamo visto queste macro-classi di segnali perché grazie alla loro combinazione possiamo studiare il tipo di segnale, lineare o discontinuo.

Prima di vedere il segnale dente di sega vediamo come studiare le rampe di pendenza θ da 45°.

RISPOSTA AD UNA RAMPA DI PENDENZA θ DA 45°

1. Calcolo della risposta alla rampa 45°
2. Moltiplico la risposta così ottenuta per ε/T

Questo perché:

ε/T = tg(arctg(ε/T))

Lavorando su

Quindi, esempio

v_e(t) = v_c(t)_45° ... ε/T

→ e moltiplico per σ₁(-t) (per tenere conto della parte t < 0)