Elementi di logica elementare, insiemi numerici

23/09/2020

Elementi di logica elementare

Proposizione

1) ∀ x ∈ A, p(x) ⇒ q(x)

_{IPOTESI TESI}

2) ∀ x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x)

_{IPOTESI TESI}

1) ⇐⇒ 2)

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

Suppongo che valga 2), voglio dimostrare 1)

∀ x ∈ A vale p(x)

Esempio

1) ∀ n ∈ N se n² pari ⇒ n pari

è equivalente dimostrare che

2) ∀ n ∈ N se n è dispari ⇒ n² dispari

Dimostro 2) quindi ho dimostrato 1)

_IPOTESI n dispari ⇒ n = 2k + 1 k ∈ N

_TESI n² dispari ⇒ n² = (2k + 1)² = 4k² + 1 + k =

= 2(2k² + 2k) + 1 =

= 2H + 1

Quindi vale 1)

Infatti n² pari ⇒ n è pari

Per assurdo dico che n non è pari (cioè è dispari) e quindi per 2) n² è dispari

23/09/2020

Elementi di logica elementare

Proposizione

1.        ∀ x ∈ A, p(x) ⇒ q(x)IPOTESI            TESI
2.        ∀ x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x)IPOTESI            TESI

1) ⇔ 2)

Suppongo che valga 2), voglio dimostrare 1)

        ∀ x ∈ A vale p(x)

Esempio

1.        ∀ n ∈ ℕ se n² pari ⇒ n pariè equivalente dimostrare che
2.        ∀ n ∈ ℕ se n è dispari ⇒ n² dispari

Dimostro 2) quindi ho dimostrato 1)IPOTESI n dispari         n = 2k + 1 k ∈ ℕTESI n² dispari         n² = (2k+1)² = 4k² + 1 + 4k =         =    2(2k² + 2k) + 1 =         =    2H + 1

Quindi vale 1)Infatti    n² pari ⇒ n è pari

Per assurdo dico che n non è pari (cioè è dispari) e quindi per 2) n² è dispari

Es.

Provate a dimostrare 1) direttamente 2) per assurdo.

1. n² è pari ⟹ n è pari n² = 2 · k ⟹ ???

Negazione di una proposizione

∀ x ∈ A vale p(x)La nego dicendo che

∃ x ∈ A tale che non vale p(x)

p(x) = essere pari

∀ n ∈ ℕ n² è pari la nego dicendo∃ un numero naturale che non è pari(n = 3) P(3) non vale.

Falsità di un'implicazione

∀ x ∈ A p(x) ⟹ q(x)L'implicazione è falsa.

∃ x ∈ A tale che vale p(x) ma non vale q(x)

Es.

∀ n ∈ ℕ n primo ⟹ n disparip(x) q(x)

Trovo un controesempio, cioè trovo un numero primo che non è dispari (cioè non vale q(x))

n = 2 è un numero primo, però n non è dispariVale p(n) ma non q(n)

Insiemi numerici

N = {0, 1, 2, 3 ...} NaturaliZ = {0, ±1, ±2, ±3, ...} InteriQ = {_p/_q, p, q ∈ Z, q ≠ 0, p e q primi tra di loro} razionaliN ⊆ Z ⊆ Q

Si può definire una relazione d’ordine

• X è un insieme ordinato se ∀ x, y ∈ X vale sempre x ≤ y o y ≤ x

Q è un insieme ordinato

Proprietà

• x ≤ y ⇒ ax ≤ ay se a > 0
• x ≤ y ⇒ bx ≥ by se b < 0

Notazione

x < y ⇔ {x ≤ yx ≠ y}

Proprietà di Q

• Proprietà di densità ∀ x, y ∈ Q_, x < y allora ∃ infiniti z ∈ Q tali che x < z < y

x ∈ Q_, y ∈ Q

infiniti

• Proprietà di Archimede di Q ∀ x, y ∈ Q_, x, y > 0 ⇒ ∃ n ∈ N tale che n ∙ x > y

Applicazione

• x ≥ 0_, x ∈ Q tale che x < ε ∀ ε > 0_, ε ∈ Q allora x ≡ 0

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che x ≠ 0Allora x > 0

• 0
• x
• ε
• n-x

per ipotesi x ∈ ℝ ∀ ε > 0Prendo ε > xε ∈ ℚ

Applico la proprietà di Archimede a x e εε ∈ ℚ ∩ ℝ ⇒ ∃ n ∈ ℕ x < ε ⇒ x < ε₁ε / n ∈ ℝ ⇒ ε ∈ ℚHo dimostrato che x < ε₁ ∈ ℚè assurdo perché per ipotesi x < ε ∀ ε ∈ ℚ₊

Quindi è assurdo aver supposto x ≠ 0, quindi x = 0

Da ℚ₊ a ℝI numeri razionali si possono rappresentare come:

1. decimali limitati

se x ∈ ℚ₊ => x = ±p, α₁, α₂, α₃, ... α_np, α_i ∈ ℕes. x=5,27 x=27,01

2. decimali periodici propri

se x ∈ ℚ₊ x = ± p₀, (α₁, ...α_n)(α₁...α_n)(...)es. x= 5,3333... = 5 + 1/3x = -8,275 275 275 ... = -8,275_improprio

ℚ₊ = {decimali limitati} ∪ {decimali periodici propri}

Numeri Reali

DEF: Un numero reale è un allineamento decimale proprio.

ES: x = 2,8 ∈ ℚ → in particolare è un decimale limitato quindi è ℚ

x = -12,39 ∈ ℝ → in particolare è un decimale periodico quindi x ∈ ℚ

x = -2,25873320... → non è ℚ in quanto allineamento decimale proprio né limitato né periodico

ℝ / ℚ = numeri irrazionali (allineamenti illimitati non periodici)

ES

x² = 2, cioè voglio trovare x tale che x² = 2

Proposizione ∄ x ∈ ℚ tale che x² = 2

Dim. Per assurdo ∃ x ∈ ℚ tale che x² = 2

Prendo x > 0

se x ∈ ℚ allora x = p/q

x > 0 ⇒ p, q ∈ ℕ ≥ 1 e primi tra di loro e inoltre perché x² = 2 ho ^(p/q)2 = 2 ⇒

⇒ p² = 2q²

p² è pari → p è pari

Se un numero è pari ⇒ p = 2m, m ∈ ℕ

4m² = 2q² ⇒ 2m² = q² ⇒ q² è pari

q è pari

p è pari, q è pari → è assurdo perché p e q devono essere primi tra loro