Elementi di elettronica, Prof. Massimo Conti, Riassunto corso

NUMERO:

SUCCESSIONE DI SIMBOLI DOVE AD OGNI POSIZIONE VIENE ASSOCIATO UN PESO.

RAP. DECIMALE 2634 = 2x10³ + 6x10² + 3x10¹ + 4x10⁰

RAP. BINARIA 1000₂ = 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 0x2⁰ = 8₁₀

RAP. OTT ALE 4570₈ = 4x8³ + 5x8² + 7x8¹ + 0x8⁰

RAP. ES ADECIMALE FF07 = Ax16 + Fx16² + F x16¹ + 0x16⁰ + 7x16⁰

CONVERSIONI:

BASE X ⇒ DECIMALE

1301_x = 1.x³ + 3.x² + 0.x¹ + 1.x⁰

DECIMALE ⇒ BASE Y

108₁₀ ÷ Y = Q1 RES1 (LSB)

• Q1 ÷ Y = Q2 RES2
• Q2 ÷ Y = Q3 RES3 (MSB)

(X = BASE O RADICE, ESPONENTE AI X = POSIZIONE CIFRA)

NUMERI NEGATIVI:

BIT DI SEGNO: 0=+ / 1=-

• 0 1010101 = 85₁₀
• 1 1111111 = -127₁₀

PER SOMMARE (SOTTRARRE) NUMERI CON SEGNO SI DEVE:

• VALUTARE IL SEGNO
• SE IL SEGNO È UGUALE SI SOMMANO
• SE IL SEGNO È DIVERSO SI SOTTRAE IL PIÙ PICCOLO DAL PIÙ GRANDE E SI DÀ IL SEGNO DEL PIÙ GRANDE

COMPLEMENTO A 2:

NUM. NEGATIVO ⇒ MSB = 1 / NUM. POSITIVO ⇒ MSB = 0

N BIT RAPPRESENTABILI DA -(2^n-1) A (2^n-1 - 1)

• -4 100 – 100 + 1 = 100
• -3 101 – 011 + 1 = 100
• -2 110 – 010 + 1 = 100
• -1 111 – 001 + 1 = 110 + 1
• 0 000
• 1 001
• 2 010
• 3 011

Complemento a 1:

Num. negativo ➔ MSB = 1 / Num. positivo ➔ MSB = 0

N bit rappresentabili da -(2^n-1-1) a (2^n-1-1)

• 4 011 ↔ 1001 (non rappresentabile)
• 3 100 ↔ 011
• 2 101 ↔ 010
• 1 110 ↔ 001
• 0 000
• 1 001
• 2 010
• 3 011

Overflow:

Si ha overflow quando la somma eccede il range consentito, ciò avviene se il segno dei due addendi è lo stesso e se il segno della somma è differente dal segno degli addendi

-3 = 1101

+5 = 0101

+6 = 0110

-9 = 0111

-11 = 1011

Estensione di segno di numeri in complemento a 2:

100,01 = 1111100,01000

010,01 = 0000010,01000

Davanti al numero:

• MSB=1 ➔ aggiungo "1"
• MSB=0 ➔ aggiungo "0"

Dopo la virgola:

• MSB=1 ➔ aggiungo "0"
• MSB=0 ➔ aggiungo "0"

Numeri in virgola fissa e virgola mobile:

Virgola fissa:

• Le operazioni si svolgono come se fossero numeri interi
• 0110,011 x 1000,100
• ________________
• 00100110,01100

Virgola mobile:

N = ±M x B^±E

• M = Mantissa
• B = Base
• E = Esponente

Dualità:

Esiste una proprietà di dualità nei postulati dell'algebra booleana che si basa sullo scambio dei simboli:

1 ↔ 0

+ ↔ ·

Teoremi fondamentali dell'algebra booleana:

1. Gli elementi "0" e "1" sono unici
2. ∀a ∈ K ⇒ a + a = a, a · a = a
3. ∀a ∈ K ⇒ a + 1 = 1, a · 0 = 0
4. Gli elementi "1" e "0" sono distinti e 1̅ = 0
5. ∀a, b ∈ K ⇒ a + (a · b) = a, a · (a + b) = a
6. a̅ è unico
7. ∀a ∈ K ⇒ a̅̅ = a
8. a · [(a + b) + c] = [(a̅ + c) · a]2 = a
9. Proprietà associativa: a + (b + c) = (a + b) + c / a · (b · c) = (a · b) · c
10. a + a̅ · b = a + b / a̅ · (a + b) = a · b
11. Teorema di De Morgan: a + b = a̅ · b̅ / a̅ · b = a̅ + b̅
12. Estensione a n variabili:
• X1 + X2 + ... + Xn = X1̅ · X2̅ · ... · Xn̅
• X1 · X2 · ... · Xn = X1̅ + X2̅ + ... + Xn̅
13. Generalizzato: F(X1, X2, ..., Xn, +) = F(X1̅, X2̅, ..., Xn̅, ·)

Teorema di Shannon:

f(X1, X2, ..., Xn) = X1̅ · f(0, X2, ..., Xn) + X1 · f(1, X2, ..., Xn)

f(X1, X2, ..., Xn) = [X1̅ · f(0, X2, ..., Xn)] [X1 · f(1, X2, ..., Xn)]

Teorema del consenso

a̅ · b + a̅ · c + b · c = a̅ · b + a̅ · c

(a + b̅)·(a̅ + c) · (b + c) = (a + b) · (a̅ + c)

XOR e XNOR nell'algebra booleana:

X⊕Y = Xʹ·Y + X·Yʹ

X⊕Y = X̅·Y + X·Y = X̅·Y + X·Y

X⊕Y = X·Y + Xʹ·Yʹ = X⊕Y

X⊕1 = X̅

X⊕0 = X

Xʹ⊕1 = X̅

FUNZIONE LOGICA IMPLICANTE:

UNA FUNZIONE LOGICA P(x₁,...,xₙ) IMPLICA UNA FUNZIONE F(x₁,...,xₙ)

SE PER OGNI COMBINAZIONE DEGLI INGRESSI TALI CHE P=1, ALLORA RISULTA F=1

P ⊇ F

P IMPLICA F

F=x+y.z     P=x.z+z.ŷ

IMPLICANTE PRIMO:

UN IMPLICANTE PRIMO DI UNA F(x₁,...,xₙ) è UN PRODOTTO NORMALE DI TERMINI P(x₁,...,xₙ) CHE IMPLICA F, TALE CHE SE VIENE RIMOSSA UNA QUALSIASI VARIABILE DA P, ALLORA IL PRODOTTO RISULTANTE NON IMPLICA F

TEOREMA DEGLI IMPLICANTI PRIMI:

UNA SOMMA MINIMALE è UNA SOMMA DI IMPLICANTI PRIMI, MA UNA SOMMA DI IMPLICANTI PRIMI (DETTA SOMMA COMPLETA) NON è DETTO CHE SIA MINIMALE

CELLA SINGOLARE:

CELLA COPERTA DA UN SOLO IMPLICANTE PRIMO

IMPLICANTE PRIMO ESSENZIALE:

IMPLICANTE PRIMO CHE COPRE UNA O PIù 1-CELLE SINGOLARI.

MAPPA RIDOTTA:

OTTENUTA ELIMINANDO GLI IMPLICANTI PRIMI ESSENZIALI

SE TUTTE LE 1-CELLE SONO COPERTE: LA SOMMA DEGLI IMPLICANTI PRIMI ESSENZIALI COINCIDE CON LA SOMMA MINIMA

SE NON TUTTE LE 1-CELLE SONO COPERTE OCCORRE AGGIUNGERE ALLA SOMMA DEGLI IMPLICANTI PRIMI ESSENZIALI, GLI IMPLICANTI RELATIVI ALLE CELLE NON COPERTE

DATI DUE IMPLICANTI P E Q IN UNA MAPPA RIDOTTA SI DICE CHE P ECLISSA Q SE P COPRE ALMENO TUTTE LE CELLE COPERTE DA Q

MACCHINA A STATI DI MOORE:

• S: INSIEME DEGLI STATI
• I: INSIEME DEI VALORI DELL'INGRESSO
• O: INSIEME DEI VALORI DELL'USCITA
• F: FUNZIONE DI STATO f: S x I → S
• G: FUNZIONE D'USCITA g: S → O

IMPLEMENTAZIONE CON FF-D:

NXT S1 = (S1'.S2'.IN') + (S1.IN)

NXT S2 = (S1'.IN) + (S1.IN') = S1 ⊕ IN

OUT = S1

IMPLEMENTAZIONE CON FF-JK:

J1 = S2'.IN

K1 = IN

S2 = (S1'.IN) + (S1.IN') = S1 ⊕ IN

K2 = IN

OUT = S1