Elementi di Automazione - Appunti

Sistemi del primo ordine

Sistemi del primo ordine sono una classe di sistemi dinamici caratterizzati da una semplice equazione differenziale di primo grado. Essi sono comunemente utilizzati per modellare varie applicazioni ingegneristiche.

Equazioni del sistema

La forma generale delle equazioni per un sistema del primo ordine è la seguente:

\[ x(t) = h(t) \cdot k - x(t) \cdot u(t) \]

\[ y(t) = x(t) \]

Dove:

• x(t): Stato del sistema al tempo t
• h(t): Funzione di trasferimento
• k: Costante di sistema
• u(t): Ingresso al sistema
• y(t): Uscita del sistema

Risposta forzata al gradino

La risposta del sistema al gradino viene determinata come segue:

\[ k \cdot (x(t) + u(t)) \]

Soluzione generale e condizioni iniziali

La soluzione generale si ottiene imponendo la condizione iniziale:

\[ y(t) = x(t) \]

Evoluzione libera del sistema

L'evoluzione libera del sistema si risolve considerando l'equazione omogenea associata. Una volta risolta, si ottiene la risposta in funzione del tempo:

\[ \lambda \] è convergente se \(\lambda < 0\), costante se \(\lambda = 0\), divergente se \(\lambda > 0\).

Costante di tempo e parametri

I parametri G e Tau (\(\tau\)) sono fondamentali per analizzare il comportamento del sistema, spesso riportati in tabelle di riferimento.

Risposta in evoluzione libera con Tau

• Per \(\tau = 3\), la risposta in uscita raggiunge un valore al di sotto del 5% del valore iniziale.
• Per \(\tau = 4.6\), la risposta in uscita raggiunge un valore al di sotto dell'1% del valore iniziale.