Elaborazione di Segnali - Teoria

TEMPO-CONTINUO NEL DOMINIO

TEMPORALE

Considereremo due metodi di analisi dei sistemi lineari a tempo-invariante: quello nel dominio del tempo, e quello nel

dominio delle frequenze. Il nostro sistema sarà definito da un’equazione differenziale. Dalle equazioni differenziali

deriviamo delle costanti che prendono il nome di radici caratteristiche del sistema, cui sono associate delle funzioni

chiamate modi caratteristici del sistema. Questi ultimi descrivono come il sistema evolve. Vogliamo, quindi, derivare le

equazioni che regolano il sistema, ovvero che dato un certo input ci permettono di ricavarne l’output.

Linearità, convoluzione e risposta impulsiva sono i principali componenti che descrivono il comportamento di un sistema

lineare tempo-invariante. La risposta totale del sistema è data dalla risposta zero-input e dalla risposta zero-state. Questo è

possibile grazie alla proprietà di linearità che consente di considerare l'output di un sistema come la somma dei contributi

dovuti al segnale di ingresso (la risposta zero-state) e allo stato iniziale del sistema (cioè lo stato at = 0, quando l’input è

nullo).

Le risposte di input zero e di stato zero sono indipendenti l'una dall’altra. La risposta zero-state dipende solo dal segnale di

ingresso e si presuppone che le condizioni iniziali siano zero. La risposta zero-input dipende solo dallo stato del sistema.

Per ciascun componente, l'altro è totalmente irrilevante. Tuttavia, entrambi sono necessari per descrivere la risposta del

sistema a un dato input.

S I S T E M I L I N E A R I T E M P O - I N VA R I A N T E

Come detto prima, un sistema lineare tempo-continuo è descritto da un’equazione differenziale lineare:

dove tutti i coefficienti a e b sono costanti. Sostituendo il rapporto d/dt con D, si ottiene:

i i

o Q(D)y(t) = P(D)f(t), dove Q(D) e P(D) sono due polinomi e y(t) e f(t) indicano rispettivamente il segnale di uscita e

quello di ingresso. RISPOSTA ZERO-INPUT

La risposta zero-input costituisce la risposta del sistema a partire dalle sue condizioni interne, ovvero quando l’input è

n n−1

uguale a zero (Q(D)y (t) = 0 o (D +a D + ... +a D+a )y (t)=0).

n−1

0 1 0 0

L’ultima equazione ci mostra che una combinazione lineare di y (t) = 0 e i suoi n successivi è uguale a 0, valido ∀t.

0

λt

Assumiamo che y (t) = ce sia una soluzione. Allora:

0 n n−1 λt

Raccogliendo c, otteniamo l’equazione: c(λ +a λ +...+a λ+a )e =0. Questo polinomio è uguale a quello Q(D),

n−1 1 0

solo che la variabile D muta in λ.

Affinché la formula esponenziale vista sopra sia soluzione del polinomio, è necessario che λ sia radice del polinomio

Q(λ)=0, restituendo gli autovalori del mio sistema. Quindi, λ ha n possibili soluzioni λ , λ ,…λ . Allora, anche l’equazione

1 2 n

Q(D)y (t)=0 ha n possibili soluzioni (poichè la variabile λ è la medesima) e i valori di c sono costanti arbitrarie.

0

Osserviamo che il polinomio Q(λ), il quale è caratteristico del sistema, è completamente indipendente dall’input. Per

questa ragione, Q(λ) è detto il polinomio caratteristico del mio sistema. L’equazione Q(λ) = 0 è detta l’equazione

λ 1t λ 2t λ n

caratteristica del sistema e i valori λ , λ , ..., λ sono detti autovalori del sistema. Le esponenziali e , e , ..., e sono,

1 1 n

invece, dette modi caratteristici del sistema. Riassumendo, la risposta a zero-input è la combinazione lineare dei modi

caratteristici del sistema. I modi caratteristici, inoltre, determinano la risposta a zero-state, quindi sono il principale

oggetto di studio dei sistemi lineari a tempo invariante.

UNIT IMPULSE RESPONSE

Per calcolare la risposta di un sistema ad un generico segnale di input f(t) è necessario prima calcolare la risposta alla

funzione unitaria delta(t).

A partire dalla proprietà di linearità, la risposta a un segnale complesso sarà derivata come una combinazione lineare

(somma) delle risposte alle sue componenti istantanee. Il segnale di input può quindi esser visto come la somma di tanti

impulsi rettangolari di grandezza delta(t) di differente ampiezza e ritardati nel tempo (mano a mano che il segnale si

sviluppa). Il segnale di output è la somma delle risposte a tali impulsi. È importante ricordare che la risposta del sistema è

la stessa a causa dell’invarianza del tempo.

Se conosciamo la risposta del sistema ad un impulso in ingresso, possiamo determinare la risposta del sistema a qualsiasi

ingresso f(t). Questa risposta è la Unit Impulse Response h(t), ovvero la risposta del sistema alla funzione unitaria delta(t)

- impulso - applicata a t=0 e con tutte le condizioni iniziali uguali a zero per t=0 .

- -

La funzione impulsiva delta(t) crea condizioni iniziali diverse da zero a t=0 , e poi scompare. Tuttavia genera un

+

“accumulo” di energia nel sistema, il quale evolve a causa delle condizioni iniziali appena create (nonostante non sia

presente alcun input). Pertanto la risposta del sistema sarà del tipo zero-input (cioè quando f(t)=0) e quindi consiste in

una combinazione lineare dei modi caratteristici del sistema per t=0 (come visto nel paragrafo precedente).

+

RISPOSTA ZERO-STATE

La risposta zero-state costituisce la risposta del sistema a un input esterno assumendo che le condizioni iniziali del sistema

siano uguali a zero.

Anche in questo caso, a partire dalla proprietà di linearità, la risposta a un segnale complesso sarà derivata come una

combinazione lineare (somma) delle risposte alle sue componenti istantanee, ovvero come sovrapposizione di impulsi

rettangolari ritardati di diversa ampiezza. La risposta globale del sistema è uguale alla somma delle risposte a questi

impulsi. Nel limite in cui la durata dell’impulso delta(t) tende a zero, ogni impulso tende a un delta con una forza uguale

all’area sottesa all’impulso stesso.

Se la risposta impulsiva di un sistema a δ(t) è h(t), la sua risposta ad un impulso ritardato δ(t−n∆τ) è, intuitivamente, h(t

− n∆τ); ogni rettangolino dell’impulso ha come base ∆τ e come altezza f(n∆τ) (ampiezza del segnale). Ora, sostituendo,

posso trovare le singole risposte impulsive dei rettangolini: [f(n∆τ)∆τ]δ(t−n∆τ) [f(n∆τ)∆τ]h(t−n∆τ).

⇒

La risposta totale sarà dunque ottenuta sommando tutte le risposte indipendenti:

Queste ultime due formule possono essere scritte sotto forma di integrale:

I modi caratteristici modellano la risposta a zero-state attraverso la risposta impulsiva. Ad un ingresso f(t), corrisponde

un’uscita y(t), dipendente dall’ingresso mediante una funzione S caratterizzante il sistema. Un ingresso e una risposta sono

due funzioni variabili nel tempo, mentre S è un operatore che trasforma trasforma f(t) y(t). Ciò significa che la risposta

→

y(t) ad un istante particolare può dipendere da tutta la funzione input f, e non solo dal valore f(t). Supponendo il mio

sistema come lineare e tempo invariante, la risposta a qualunque ingresso f(t) può essere determinata mediante una

particolare operazione, la convoluzione, conoscendo la risposta all’input δ(t). Partiamo dal risultato del ragionamento

precedente, ossia che:

Questo integrale prende il nome di convoluzione di f ed h e si indica come f(t) h(t), quindi la risposta di un sistema

∗

lineare ad un qualunque ingresso f(t) si ottiene come convoluzione con la risposta impulsiva. Graficamente, la

convoluzione e la funzione che mi esprime l’area (integrale) sottesa dal prodotto delle due funzioni. Una resta ferma e

l’altra la scorre da −∞ a +∞.

P R O P R I E TÀ D E L L’ I N T E G R A L E D I C O N VO L U Z I O N E

f (t) * g(t) = g(t) * f (t)

Proprietà commutativa:

• f (t) * [g(t) + h(t)] = f (t) * g(t) + f (t) * h(t)

Proprietà distributiva:

• f (t) * [g(t) * h(t)] = [ f (t) * g(t)] * h(t)

Proprietà associativa:

• f (t) * g(t) = c(t) f (t) * g(t − T ) = c(t − T ) = f (t − T ) * g(t)

Proprietà di shift: se allora

• Convoluzione con un impulso: la convoluzione di un segnale f(t) con un impulso delta(t) è il segnale stesso

• f (t) * g(t)

Proprietà width: se le durate di f(t) e g(t) sono rispettivamente Tf e Tg, allora la durata sarà Tf + Tg

•

RISPOSTA ZERO-STATE E C AUSALITÀ

Poiché la maggior parte dei segnali è causale, ovvero è uguale a zero quando t è negativo, i limiti dell’integrale di

convoluzione vengono così semplificati.

h(t) sarà, quindi uguale a zero per t<0, e h(t-τ) = 0 per t-τ<0, cioè t<τ. La convoluzione tra le due funzioni è diversa da

zero solo quando 0≤τ≤t.

L’intervallo dell’integrale andrà da 0 a t, la cui soluzione sarà uguale a zero per ogni t≤0.

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

Le autofunzioni (funzione non nulla f tale che, se applicata ad un operatore A in uno spazio funzionale, ritorna se stessa a

meno di un fattore moltiplicativo) di un sistema LTI a tempo continuo sono le funzioni esponenziali Ae . Dato un ingresso

st

f(t) = Ae e la risposta impulsiva h(t), allora (viste le regole precedenti):

st

La funzione H(s) è chiamata funzione di trasferimento ed è la risposta del sistema nel dominio delle frequenze (Fourier),

ovvero la funzione inversa è uguale alla convoluzione tra il segnale in input e la risposta impulsiva nel dominio del tempo.

Essa permette così di ottenere gli autovalori a partire dalla risposta all'impulso di Dirac. Per ogni Ae in l'uscita è dunque

ℂ

st

il prodotto dell’ingresso Ae per una costante dipendente solo dal parametro s autovalore del sistema LTI relativo

st

all’autovettore Ae (elemento di uno spazio vettoriale funzionale). Di particolare interesse è il caso in cui l'ingresso è un

st

esponenziale complesso exp(jωt), con ω R. La funzione di trasferimento è data in tal caso dalla trasformata di Fourier:

∈

H(jω)=ℱ{h(t)}.

H(s) è in funzione della variabile complessa s = σ + jω ed è definita come il rapporto tra Y(s) e X(s).

Riassumendo, la funzione di trasferimento è la risposta del mio sistema quando in input si trova una funzione esponenziale

infinita.

La risposta totale di un sistema lineare può essere espressa come la somma delle sue componenti a zero-input e zero-state,

rispettivamente la somma dei modi caratteristici del sistema da 1 a n (vedi risposta zero-inp