Elaborazione di Segnali - Teoria

ELABORAZIONE DI

SEGNALI E IMMAGINI

PRIMA EDIZIONE

Introduzione ai segnali ...................................................................................

4

Classificazione dei Segnali .......................................................................................

4

Size di un Segnale ...................................................................................................

5

Operazioni Utili sui Segnali ......................................................................................

6

Modelli di Segnali Utili ............................................................................................. 7

Sistemi ....................................................................................................................

8

Classificazione dei Sistemi ........................................................................................

8

System Model ........................................................................................................

10

Analisi dei sistemi lineari a tempo-continuo nel dominio temporale .............

11

Sistemi lineari tempo-invariante ................................................................................

11

Risposta zero-input ....................................................................................... 12

Unit impulse response .................................................................................. 13

Risposta zero-state ....................................................................................... 14

Proprietà dell’integrale di convoluzione ....................................................................

15

Risposta zero-state e causalità ..................................................................................

15

Funzione di trasferimento ............................................................................. 16

Stabilità di un sistema ..................................................................................

17

Time constant ..........................................................................................................

17

Rappresentazione di segnali mediante la serie di Fourier ............................ 19

Coefficiente di correlazione ..................................................................................... 19

Spazio vettoriale ortogonale ...................................................................................

20

Serie di Fourier .............................................................................................

22

Serie trigonometrica di Fourier ................................................................................ 22

Gli effetti della simmetria ......................................................................................... 23

Serie esponenziale ..................................................................................................

24

Analisi dei segnali a tempo continuo

............................................................ 26

Risposta dei sistemi LTIC mediante la CTFT ................................................................

27

Proprietà della ctft ..................................................................................................

28

Analisi di Fourier di segnali a tempo discreto .............................................. 30

Segnali aperiodici ................................................................................................... 31

Trasformata discreta di Fourier ................................................................................ 32

Proprietà della dft ...................................................................................................

33

Convoluzione circolare ............................................................................................ 33

Trasformata discreta del coseno ...............................................................................

34

Relazione tra ctft, dtft e dft ...................................................................................... 34

Teorema del campionamento ....................................................................... 35

Teorema di Nyquist .................................................................................................

35

Fondamenti di immagine digitale ................................................................. 37

Rilevamento e acquisizione delle immagini

................................................................ 37

Campionamento dell’immagine e quantizzazione .....................................................

38

Ricampionamento ...................................................................................................

39

Quantizzazione ......................................................................................................

39

Trasformata di Fourier in 2D

......................................................................... 41

Separabilità ............................................................................................................ 42

Trasformata di Fourier a tempo discreto in 2D .......................................................... 43

Trasformata discreta di Fourier in 2D ........................................................................

43

Image filters .................................................................................................

45

High boost filter ......................................................................................................

46

Texture .........................................................................................................

47

Interpolazione di immagini ..........................................................................

48

Interpolazione lineare ............................................................................................. 48

Interpolazione cubica (third-order) ........................................................................... 49

Registrazione di immagini ........................................................................................

49

INTRODUZIONE AI SEGNALI

Un segnale è una grandezza fisica misurabile che evolve nel tempo (analogico/digitale), un esempio può essere il segnale

dell’ECG, nel quale la variabile indipendente è il tempo, mentre quella dipendente è l’ampiezza dell’onda. Può essere

definito anche come un insieme di informazioni che sono soggette a variazioni. Un segnale monodimensionale (1D) è

visualizzato come un vettore, mentre uno bidimensionale (2D), come per esempio un’immagine, è visualizzato da una

matrice. Un segnale può essere anche tridimensionale (3D), come per esempio le risonanze o gli esami TAC, i quali

restituiscono un segnale formato da pile di matrici. Nella maggior parte dei casi, la variabile indipendente è il tempo t, ma

non sempre è così.

Tra le immagini e i segnali cambia solo la dimensionalità, mentre le funzioni possono essere di tipo continuo, di tipo

discreto e di tipo discreto a variabili discrete.

L’elaborazione di segnali (vettore di numeri) e immagini (matrice di numeri) consiste nel prendere in ingresso questi primi

dati e rispondere con delle informazioni su di esse. Come li manipoliamo? Tramite operazioni su vettori e su matrici

(operazioni algebriche).

I segnali possono essere processati in seguito tramite i sistemi, che li potranno modificare o estrarre informazioni da loro.

Un sistema, dunque, è un’entità che processa un insieme di segnali (input) per produrre un altro set di segnali (output);

possono essere di natura fisica (hardware), esempio elettrica o meccanica, oppure può essere di natura computazionale

(software), come un algoritmo.

Riassumendo, i segnali sono un insieme di variabili, a seconda del loro dominio (tempo, spazio, 1D, 2D, ecc.) li posso

rappresentare in funzione del dominio, come per esempio una funzione f(t). Mentre il sistema è una “box”, posso vederlo

come una scatola che riceve il mio segnale d’ingresso I generando un’uscita O, questa uscita può essere ad anello aperto

quando si tratta di un semplice output, oppure può essere ad anello chiuso quando si tratta di un output che diventa un

feedback che contribuisce al mio sistema.

CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI

Tempo Continuo - Tempo Discreto

Un segnale a tempo continuo assume ogni valore dell’asse x, quindi non c’è nessuna pausa e nessun limite; un esempio

può essere l’onda sonora, quando acquisisco questo tipo di segnale, devo campionare tutto l’intervallo temporale che

prendo in considerazione, un intervallo di tempo può essere visto come un certo insieme di istanti, quantità finita. Lo

rappresento in scrittura come f = f(t), con t R. Un segnale a tempo discreto, invece, è una sequenza, generato nella

∈

maggior parte dei casi da campionamento, il dominio della funzione ha cardinalità dei numeri interi (Z), quindi f = f[n], n

Z.

∈

Analogico - Digitale

Un segnale analogico è un tipo di segnale la cui ampiezza può assumere qualunque valore su un range continuo del

codominio, cioè che il codominio f(t) o f(x) ha cardinalità dei numeri reali (R). Un segnale di tipo digitale discretizza i

valori che può assumere il codominio, quindi solo un numero finito di valori possibili (quantizzato); un esempio può essere

una sequenza binaria, dove f(t) = 0 oppure f(t) = 1 (gradini).

Periodico - Aperiodico

Un segnale f(t) è detto periodico quando esiste una costante T tale che f(t + T ) = f(t) Il più piccolo dei valori T è

∀t.

0 0 0

detto il periodo della funzione, rimane invariato quando viene shiftata. Mentre, un segnale periodico, non è caratterizzato

da un valore T tale che il mio segnale sia periodico.

0

Causale - Non Causale - Anticausale

Un segnale causale è uguale a zero per tutti i valori di t negativi ed evolve dopo t = 0, quindi f(t) = 0 < 0. Mentre quelli

∀t

non causali hanno dei valori non-zero in valori t sia negativi che positivi. Infine, i segnali anticausali valgono zero solo per

valori di t ≥ 0, quindi f(t) = 0 ≥ 0.

∀t

Pari - Dispari

Un segnale pari ha una simmetria speculare rispetto all’asse y, un esempio è la funzione coseno. Un segnale dispari è un

segnale con una simmetria rispetto all’origine degli assi, un esempio è la funzione seno. Ogni segnale può essere scritto

come la combinazione di un segnale pari ed uno dispari (vedi slide).

Deterministico - Probabilistico

In un segnale deterministico, so con certezza il valore che assume in ogni istante, ho la descrizione fisica completa, non ho

nessuna incertezza; è un modello quasi impossibile da trovare in natura, in quanto posso accedere ad ogni suo valore

tramite un’equazione od una regola; tramite i suoi valori passati, calcolo quello futuro. In un segnale probabilistico, o

aleatorio, non so quale sia il suo valore in ogni punto perché non riesco a modellare il fenomeno che genera il mio segnale

(imprevidibilità). La variabilità è intrinseca per natura, per esempio sappiamo più o meno l’andamento di un test ECG, ma

non sappiamo con precisione quali saranno i suoi valori.

Finito - Infinito

Un segnale finito è diverso da zero in un intervallo finito di valori della variabile indipendente t. Mentre un segnale infinito

è diverso da zero in un insieme infinito di valori della variabile indipendente.

SIZE DI UN SEGNALE

La taglia, o size, è la forza del segnale, è la norma, la misura della forza è legata da energia o potenza. Possiamo pensarla

come l’area sottesa dal segnale vero e proprio, anche se poi, non potrebbe rappresentare la vera realtà, come per esempio se

ho un segnale molto potente, ma le sue aree negative e positive si cancellano a vicenda, avrò come risultato un segnale

debole, quando non lo è. Dunque, l’energia di un segnale, detta anche size, è rappresentata dall’area sottesa dalla curva

+∞

∫ 2

| |

E = f (t) dt

elevata al quadrato: f −∞

L’energia di un segnale deve essere finita perchè l’equazione qui sopra abbia senso e mi permetta di trovare la size del

segnale. Quindi ho delle condizioni necessarie affinchè possa calcolare l’energia, ossia che l’ampiezza del segnale deve

tendere a zero con |t| che tende ad infinito. In alcuni casi, i segnali non soddisfano la mia condizione, quindi, l’energia di

un segnale diventa infinita. Una misura più significativa in quel caso diventa la potenza del segnale, ossia la media

T

+

1 ∫ 2 2

| |

P = lim f (t) dt

temporale dell’energia, definita come f T

T→+∞ T

− 2

La radice quadrata della potenza è il valore quadratico medio (RMS), sta alla base della definizione della formula Signal to

Noise Ratio (SNR).

Un segnale con energia finita è detto energy signal, lo diventa quando rispetta le condizioni e ha, dunque, potenza zero;

altrimenti, un segnale con potenza finita e diversa da zero è detto power signal, il segnale ha energia infinita; esistono dei

segnali che non sono né energia, né potenza, un esempio è il segnale rampa. Tutti i miei segnali pratici sono di tipo energia

perché sono definiti in un intervallo.

OPERAZIONI UTILI SUI SEGNALI

Time Shifting

Considerando un segnale f(t) e lo stesso segnale ritardato di T secondi, denotato da φ(t), ciò che accade in f(t) in un istante

ϕ(t + T ) = f (t) ϕ(t) = f (t − T )

t, accade anche in φ(t) dopo T secondi, quindi nell’istante t + T e .

Quindi, shiftando un segnale di un intervallo T significa rimpiazzare t con t − T . Quando T è negativo, lo shift viene fatto

verso sinistra, anticipandolo, e diventa f (t + T ); quando T è positivo, lo shift viene fatto verso destra, ritardandolo, e

diventa f (t − T ).

Time Scaling

La compressione o espansione di un segnale nel tempo è nota come time scaling. Considerando un segnale f(t), il segnale

φ(t) è f(t) compresso nel tempo di fattore 2, quindi ciò che succede ad un istante t in f(t) succede anche in φ(t) nell’istante

t

ϕ( ) = f (t)

t /2 ϕ(t) = f (2t)

, per cui e .

2 ϕ(t) = f (at)

Se f(t) è compresso nel tempo da un fattore a (con a > 1), il segnale risultante φ(t) sarà . Se, invece, il segnale

1

ϕ(t) = f ( )

f(t) risulta espanso nel tempo da un fattore a (con a > 1), il segnale risultante φ(t) sarà .

a

Time Inversion

Se considero un segnale f(t), per invertirlo nel tempo, dobbiamo fare il simmetrico del suo grafico rispetto all’asse verticale

y. L’inversione ci dà come risultato il segnale φ(t) e tutto ciò che accade nell’istante t in f(t), accade in φ(t) nell’istante −t

ϕ(t) = f (−t) ϕ(−t) = f (t)

e .

Dunque, per invertire temporalmente un segnale, basta sostituire t nella funzione con −t.

Operazioni Combinate

Alcune operazioni complesse richiedono l’uso simultaneo di qualcuna delle operazioni appena descritte, facciamo un

f (t) → f (at − b)

esempio: la posso ottenere in due modi simili, i quali differiscono soltanto per la sequenza delle

operazioni: f (t − b)

1. Shifto la funzione per b, ottenendo f (at − b)

2. Faccio il time-scale della funzione per a, ottenendo . Invertendo l’ordinde di queste, non cambia nulla ed il

risultato è uguale.

MODELLI DI SEGNALI UTILI

Unit Step Function

La funzione unit step u(t), è la funzione gradino, può rappresentare un segnale che arriva dalla console, esiste nella sua

{

1 se t ≥ 0

u(t) =

forma continua u(t) e nella sua forma discreta u[k]. La funzione è definita come 0 se t < 0

È una funzione utile in quanto se voglio rendere causale un mio segnale f(t), devo soltanto moltiplicarlo per la funzione

u(t).

Ramp Function 0 ≤ t ≤ t

La funzione rampa è di tipo causale, segue una rampa nell’intervallo ed è definita da queste equazioni

0

0 se t < 0

t se 0 ≤ t ≤ t

r (t) = 0

t 0

1 se t > t

0

Unit Impulse Function

La funzione impulsiva δ(t) è una delle più importanti funzioni nello studio dei segnali e dei sistemi. Fu definita in origine

+∞

∫ δ(t)dt = 1

da P. A. M. Dirac come ≠ 0 δ(t) = 0 e il suo integrale vale . In pratica è una funzione che vale sempre

∀t → −∞

zero, tranne che nell’origine. La utilizzo per campionare i valori di alcuni segnali: moltiplicando la funzione δ(t) per un

ϕ(t)δ(t) = ϕ(0)δ(t)

qualsiasi segnale f(t) continuo in zero, otteniamo . Lo stesso si può dire se moltiplichiamo φ(t) per δ(t

ϕ(t)δ(t − T ) = ϕ(T )δ(t − T )

− T ), quando l’impulso è localizzato in T . Partendo dalle formule appena descritte,

+∞ +∞

∫ ∫

ϕ(t)δ(t)dt = ϕ(0) δ(t)dt = ϕ(0)

deduciamo la sampling property della funzione δ(t), definita come . Ciò vuol

−∞ −∞

dire che l’area sottesa dal prodotto di un segnale per la funzione impulso δ(t) è uguale al valore della funzione nell’istante

du

in cui è localizzato l’impulso. Inoltre, dato che la funzione unit step u(t) è discontinua nell’istante t = 0, la sua derivata dt

non esiste a t = 0.

Exponential Function

SISTEMI

I sistemi, come detto prima, sono utilizzati per processare i segnali, modificando questi ultimi o estraendo alcune

informazioni. Un sistema è caratterizzato dai suoi input, output e dalle sue regole di operazione che descrivono il suo

comportamento. Usando queste leggi, deriviamo dei modelli matematici che legano l’input all’output. Possono essere visti

come delle “black box” con un set di segnali di input f (t), f (t), ..., f (t) e output y (t), y (t), ..., y (t). Studiare i sistemi

1 2