Elaborazione dei segnali

CONDIZIONI DI NON DISTORSIONE )

() → → () = ( −

() =

Se A>0 condizioni di non distorsione:

|()| =

arg () = −2

se ha caratteristica di ampiezza costante e caratteristica di fase lineare, la rete è

NON distorcente

NOTA: ricordando che le condizioni di non distorsione devono

() = ()()

valere almeno per i valori di f dove () ≠ 0

Quindi lo stesso potrebbe essere distorcente per alcuni segnali, non

()

distorcente per altri

FILTRO ELETTRICO IDEALE ||

, ∈ ( , )

() = 0,

 Filtro passabasso ideale

 Filtro passa-alto ideale

 Filtro passa-banda ideale

 Filtro elimina banda ideale

NOTA

Attraverso l’utilizzo di diversi filtri è possibile scomporre un segnale complesso nei

segnali più semplici di cui è somma (posso separare le diverse frequenze “bassi”,

“medi”, “alti” di un segnale audio)

Filtri reali

Osservazioni in RC e CR

 Circuito RC 1 1

()

= ≅ 1 || ≫

1 + 2 2

Ad alte frequenze, il circuito RC si comporta come un integratore con costante

di tempo a=RC (() )

=

 Circuito CR 2 1

() ||

= ≅ 2 ≪

1 + 2 2

A basse frequenze, il circuito CR si comporta come un derivatore con costante

di tempo a=RC (() = 2)

SISTEMI LTI INTERCONNESSI

FUNZIONI GENERALIZZATE

Definizioni

 Funzionale

Operatore che associa ad una funzione un numero

() ()

Esempio: energia

 Insieme delle funzioni di prova

= {(): }

 Funzionale lineare ] ]

[ + = [ + [ ]

 Funzionale lineare lim = → lim = []

→ →

Distribuzione

Funzionale lineare e continuo definito su

Esempio: []

= (0)

Modo per costruire una distribuzione

Sia f(t) localmente integrabile, ossia:

|()| < +∞ ∀(, )

Costruisco []

= ()()

Funzioni generalizzate

Entità che permette di scrivere una distribuzione nella forma

() ()()

Esempio: delta di Dirac []

= ()() = (0)

In cui rappresenta la funzione generalizzata

()

Limite di funzioni generalizzate

se ()()

lim = lim = ()()

∫ ∫

→ →

Esempio: ()

1 1

()() = () = ()

Δ Δ

()

∫

lim ()() = lim Δ

→ →

(Δ)

= lim = (0)

1

→

Quindi: nel senso delle funzioni generalizzate

()

lim = ()

→

Delta di Dirac

DEF: con continua almeno in 0

()() = (0) ()

∫

Proprietà:

 Traslazione )() )

( − = (

Dimostrazione:

)() )

( − = ()( − = ()() = (0) = ( )

 Simmetria (−) = ()

 Integrale della delta di Dirac 0, < 0

() = () = 1, ≥ 0

Osservazione () = 1

Dimostrazione

() = ()( − ) = ()() = (0) = ()

 Delta come limite

nel senso delle distribuzioni

lim = ()

→ nel senso delle distribuzioni

lim = ()

→  Convoluzione () ∗ () = ()

Infatti ()( − ) = ()

 Trasformata {()} = 1

dimostrazione

 () = = 1

∫

 ()}

lim { = lim = lim Δ (Δ)

∫

→ → →

()}

|{ = |(Δ)

 {1} = ()

 {} = ()

 )

= ( −

 ) )

{cos(2 )} = ( − + ( +

 ∑ ∑ )

= ( −

 {()} =

Approssimo > 0

() → +∞

− < 0

/ /

lim − + = lim +

∫ ∫

→ →

}= lim + }= =

→

( ) ( )

 {()} = = {()} + = +

 () = ()( − ) = ()() = () +

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + = +

Risposta impulsiva per sistemi LTI LTI

() → → ()

() → → ℎ() ≜ [()]

è la risposta impulsiva per sistemi LTI

ℎ() ≜ [()]

Proprietà () = () ∗ ℎ()

Dimostrazione

Ricordando che () = () ∗ () = ()( − )

∫

() → → ℎ() ≜ [()]

( − ) → → ℎ( − )

()( − ) → → ()ℎ( − )

()( − ) = ()ℎ( − )

() → → () ∗ ℎ() = ()

Osservazioni

→ Si possono evidenziare 3 modi per calcolare la risposta impulsiva:

1. ℎ() = [()]

2. ℎ() = lim [ ()]

→

3. ℎ() = [()]

→ ⟺ ℎ()

→ ⟺ ℎ()

Dimostrazione () = () ∗ ℎ() = ()ℎ( − ) =

→ ℎ( − ) = 0 > → ℎ() = 0 < 0

()ℎ( − ) = ()ℎ( − ) = ℎ()( − ) =

→ ∑

() = ℎ()( − ) ≈ ℎ(Δ)( − Δ)Δ, Δ

∫

Risposta impulsiva rete RC

Calcolo h(t) in due modi diversi:

→ ℎ() = [()] 1 − , ≥0

() = [()] = 0, <0

1

, ≥0

ℎ() = [()] =

0, <0

→ ()]

ℎ() = lim [

→ 1

⎧ ()

= 1− , 0<<Δ

⎪ Δ

() = [()] = ⎨

⎪ ()

= 1− , ≥Δ

Δ

⎩ 1

()] ()

ℎ() = lim [ = lim =

→ →

Quindi: ()

ℎ = ()

Relazione tra H(t) e h(t) () → → () = () ∗ ℎ()

() → → () = ()()

Dal momento che {()}

{()} = {()}{ℎ()} → () = {ℎ()}, ℎ() =

Quindi: ℎ()

⟺ ∗ (−)

() =

Esempio

Linea di ritardo: )

() → → () = ( − )

() → → ℎ() = ( −

() = {ℎ()} =

STABILITÀ ILUL (ingresso limitato uscita limitata)

Un segnale si dice |()|

() ≤ < +∞

Un sistema è LTI STABILE ILUL se

∀() , () è

() ≤ < +∞ → () ≤ < +∞

Condizione necessaria e sufficiente:

|ℎ()| < +∞ ⟺

Dimostrazione

 sufficienza (⇒)

|()| = ℎ()( − )

|ℎ()||( ( |ℎ()|

≤ − )| ≤ è )

|()|

< +∞ → < +∞

 necessità (⇐)

() = ℎ()( − ) → (0) = ℎ()(−)

| ( )|

Scelgo () = → 1 →

( ) |ℎ()|

(0) = ℎ() = |ℎ()|

ℎ()

Se () < +∞ → (0) < +∞ → |ℎ()| < +∞

∫

Cenni alla sintesi dei filtri

Si cerca un sistema LTI che abbia una risposta di un certo tipo

ℎ()

Si procede in questo modo:

() = () ∗ ℎ()

= ℎ()( − )

≈ ℎ(0)( − 0)Δ + ℎ(Δ)( − Δ)Δ + ℎ(2Δ)( − 2Δ)Δ + ⋯

Quindi si può schematizzare con un filtro FIR

Prodotto banda x durata

Definendo opportunamente D e B, si ha che:

∙ ≥

Caso limite: (): = 0 → ℑ{()}: = +∞

Il valore minimo di si trova per la campana di Gauss

Questo concetto è legato al principio di indeterminazione di Heisemberg

Trasformata di Four