Elaborazione dei segnali

Analisi dei segnali tempo-continui

Impulso rettangolare

1, <() = 0, >

Funzione segno

1, > 0() = -1, < 0

Gradino unitario

1, > 0() = 0, < 0

Seno cardinale

() =

Sinusoide

() = (2 + ) > 0, ∈ = e[] = Τ = 2 = = [] =

Fasore

() = [cos(2 + ) + (2 + )] > 0, ∈ = e[] = Τ = 2 = = [] =

Grafico |X(t)| = AArg(x(t)) = 2 + φ

Se > 0 →

Se < 0 →

Rappresentazione nel dominio della frequenza (spettri a righe)

Serie di Fourier

Definisco: : () |()| : () =|()| |()|: = Serie

Considero segnali tempo-continui e periodici, ossia tali che () = ( + Τ). Se sono soddisfatte le condizioni di Dirichlet:

• |()| < +∞∫
• Il numero di massimi e minimi di x(t) in un periodo è finito
• Il numero di discontinuità di I specie in un periodo è finito

Allora può essere rappresentato come combinazione delle funzioni esponenziali: / /()~ = è lo sviluppo in serie di Fourier in forma esponenziale con frequenza fondamentale f 0e dove 1 = ()

Verifica

/∑() = / / /∑ () = / / /∑ () = ∫ ∫/ ( ) /∑ () = ∫ ∫

Ora, si può dimostrare che = 0/ = 0 ≠ 0 Quindi = ( ) / = 0 ≠ 1/ / () = → = ()

Osservazioni

• Unicità dello sviluppo in serie: la rappresentazione in serie, quando esiste, è unica
• I coefficienti della serie sono numeri complessi: ∈
• Significa: converge /∑~ () a: ( ) ( )
• Altra condizione sufficiente per lo sviluppo in serie: se x(t) è a energia finita su un periodo, ossia |()| < +∞
• ( ))( ) (| | ∑ = → () = | | X(t) è interpretabile come una somma di fasori:
• Ampiezza |c |
• Frequenza : nf 0
• Fase iniziale: arg(C )
• Rappresenta il valor medio del segnale: = () = ()∫ ∫
• L'insieme dei coefficienti c viene detto spettro a righe e può essere rappresentato mediante due grafici in cui si riportano l’ampiezza e la fase in funzione della frequenza
• Se x(t) non è periodico: considero un intervallo di tempo tra t e t1 2

Serie di Fourier per segnali reali periodici

X(t)= x(t+T) ϵ R /() = 1 = ()

X(t) è REALE ∗↔ = Infatti: 1∗ ∗ () = Se è reale ∗ () = () 1∗ = () = Simmetria hermitiana ∗| | = | | = | |∗ = : )− arg( = arg ( )

Questo implica:

• Spettro delle ampiezze simmetrico
• Spettro delle fasi antisimmetrico

Sfrutto la simmetria hermitiana:

/ / /() = = + + =/ / + + / /= + ( +

Se x(t) è reale / ∗ /= + ( + )

( )= ∑ ∑ | | + 2 ∙ = + 2 ∙ ∙ =2 ) + 2 ∙ | | ∙ cos + ( Quindi: () = + 2 ∙ | | ∙ cos (2 + arg ( )) = ∑ + ∙ cos +φ

È lo sviluppo in serie di Fourier in soli coseni per segnali reali e periodici. L’espressione mette in evidenza che un segnale reale periodico può essere interpretato come somma di una componente continua ( ) e sinusoidi alla frequenza

Approssimazione della funzione onda quadra attraverso i primi quattro termini della corrispondente trasformata di Fourier

• C = componente continua0
• componente fondamentale/prima armonica) cos(2 + =
• componente fondamentale/prima armonica) cos(22 + = e così via...

Esempio: treno di impulsi rettangolari

= Τ = = = −

Il segnale è sviluppabile in serie (si può dimostrare), quindi:

/ / / = () = () = =∫ ∫ ∫=/ = = = =∫()

Osservazioni

• C rappresenta il valore medio ed è l’unica cosa che cambia se viene traslato il segnale
• Lo spettro delle frequenze ha valori discreti solo in corrispondenza di multipli di 1/T -> se aumenta T lo spettro ha righe sempre più vicine e valori di c n minori

Trasformata di Fourier

Sia x(t) un segnale aperiodico. Se x(t) soddisfa le condizioni di Dirichlet:

• |()| < +∞∫
• è
• à è

Allora esiste la trasformata di Fourier: () = ℑ{()} = ()

E x(t) si può ottenere mediante l’antitrasformata: {()}()~ℑ = ()

Osservazioni

• Unicità della trasformata: la trasformata, quando esiste, è unica
• La trasformata è una funzione complessa: X(f) ϵ C
• Le condizioni di Dirichlet sono sufficienti ma non necessarie
• Altra condizione sufficiente ma non necessaria: il segnale è ad energia finita, ossia |()|= < +∞
• ( ( ))|()|() = () = =∫ ∫( ( ( ))|()| ∫ ℎ à
• x(t) rappresenta una somma di fasori arg() |()|
• Spettro del segnale:

Altre definizioni

• () = () → ∫
• () = () → ∫
• Sia la pulsazione, = 2
• () = () ∫
• ()() = ∫

Trasformate di Fourier per segnali reali (aperiodici)

Sia , allora se x(t) è reale si ha: () = () ∫

∗ () = (−) → ℎ ℎ|()| = |(−)|∗ () = (−) = (−) = −arg X()

Si può dimostrare che: () = () = 2|()|cos (2 + ())

() = () = () + () =∗ () + ()

Osservazione

Analogamente alla serie, la trasformata di Fourier rappresenta un segnale aperiodico come somma infinita di fasori, di ampiezza infinitesima alla |()| frequenza f con fase iniziale. In questo caso, le frequenze variano con arg(). continuità mentre nel caso di segnali periodici avevamo un insieme ( ∈ ), discreto di frequenze = , ∈

Banda di segnali reali

Si definisce banda l’intervallo (f1, f2) sul semiasse positivo dove lo spettro è significativamente diverso da 0

• Larghezza di banda: = −
• Frequenza di centro banda: =
• Segnali passabasso: ≈2
• Segnali passabanda: ≪1

Nota la banda, si può definire l’antitrasformata come () = ()cos (2 + ())

Proprietà della trasformata

• Linearità: ℑ{() + ()} = ℑ{()} + ℑ{()}
• Valore in 0: (0) = ()
• Trasformata di segnali reali pari: () ⇔ ()
• Dimostrazione: () = () = ()[cos(2) − (2)] =()[cos(2)] − ()[(2)] = () cos(2) →
• Trasformata e coniugazione: ∗ ∗()}ℑ{ = (−)
• Dimostrazione: ∗∗ ∗ ∗()} () (−)ℑ{ = = () =
• Traslazione: )}ℑ{( − = ()|ℑ{( )}|− = |ℑ{()}| = |()|)}ℑ{( − = )}ℑ{( − = () − 2
• Dimostrazione: =)} )ℑ{( − = ℑ{()} = () ( − =∫ ∫( )() = ()∫
• Relazione di Parseval: ∗ ∗()() = () ()

Dimostrazione