Elaborazione di dati biomedici

BIOSTATISTICA

Tecniche numeriche per l’estrazione di informazione da dati

ed eventi

Disciplina

Matematica: base formale per rappresentare l’incertezza

Pratica: ci guida nelle fasi dello studio

raccolta dati

calcolo delle stime

interpretazione

critica dei risultati

Modello probabilistico

Rappresentazione matematica capace di separare le proprietà accientali dei dati da quelle sistematiche

Obiettivo

Analisi di un campione sperimentale “piccolo ma non troppo” da cui dedurre caratteristiche valide per l’intera popolazione

Fasi

Disegno sperimentale (programmazione dell’esperimento): per pianificare le osservazioni in natura e le ripetizioni in

laboratorio in funzione delle ipotesi

Campionamento: raccogliere i dati in funzione dello scopo della ricerca

❓ Come posso raccogliere un numero limitato di dati e prevenire a conclusioni generali?

Descrizione statistica: i dati raccolti possono essere descritti da pochi parametri per:

una facile sintesi

un agevole confronto tra diverse condizioni sperimentali

Inferenza statistica: capacità di trarre conclusioni generali sulla popolazione utilizzando solo un numero limitato di

dati variabili

Test d’ipotesi: processo logico-matematico che porta alla conclusione

di (non) poter respingere l'ipotesi della casualità; deve essere programmato in fase di disegno sperimentale

Ipotesi nulla (Ho): ipotesi che il risultato ottenuto con i dati sperimentali raccolti sia dovuto solo al caso

La variabilità dei dati è dovuta a:

errori di misurazione (strumentali e dei ricercatori)

operare su campioni (dati ricerca1 son diversi da dati ricerca2)

fattori contingenti di disturbo (tempo, località)

Statistica moderna

Statistica descrittiva: come i dati raccolti devono essere:

BIOSTATISTICA 1

riportati in tabella

rappresentati in grafici

sintetizzati in indici matematici

⚠ individuare le caratteristiche fondamentali del campione

Statistica matematica: calcolo delle probabilità

⚠ illustrare le caratteristiche fondamentali delle distribuzioni, le relazioni che esistono tra esse e gli usi

Inferenza statistica: dedurre leggi generali, disponendo di un campione di dati variabili

Prossimi capitoli:

STATISTICA DESCRITTIVA

STUDI STATISTICI

PROBABILITA’

STATISTICA MATEMATICA

STATISTICA INFERENZIALE

BIOSTATISTICA 2

STATISTICA DESCRITTIVA

Legenda emoji

✅ : si usa

⛔ : non si usa

: vantaggi

: svantaggi

➡ : esempi

⚠ : attenzione

✏ : proprietà

❓ : problema

Organizzare e sintetizzare le osservazioni evidenziandone le

caratteristiche

⚠ Dalle caratteristiche dei dati dipendono:

metodi di descrizione

test statistici

tecniche di inferenza

Tipi di dati

Variabile: grandezza (es: voto)

Dato: osservazione (es: 23)

Qualitativi

Categorici (Nominali) Ordinali & ordinali in ranghi

I valori rientrano in classi non ordinate L’ordine tra le categorie è importante

Vale la relazione di equivalenza Relazione di equivalenza e di precedenza

➡ sesso → variabile dicotomica (binaria) Si associa a ciascuna osservazione la sua

➡ posizione

gruppo sanguigno → variabile politomica ➡

⛔ classifica del torneo di calcio

media ➡

✅ temperatura (alta o bassa)

conteggi assoluti e relativi ⛔ media

Quantitativi

STATISTICA DESCRITTIVA 1

Possono essere:

Continui: variabili che assumono un insieme infinito di valori

Discreti: variabili che assumono un insieme finito o infinito numerabile di valori

Ad intervalli Di rapporti

Relazione di equivalenza, di precedenza e di Relazione di equivalenza, di precedenza e di

rapporto tra differenze (si possono effettuare rapporto tra coppie di valori (si possono effettuare

operazioni SOLO sulle differenze) tutte le operazioni)

Lo zero ha valore arbitrario Lo zero ha significato fisico

➡ ➡

temperatura in °C o °F → non ha senso dire che 80 temperatura in K

°C è il doppio di 40 °C, gli elettroni non si muovono il

doppio!

Tecniche per riassumere i dati

Matrici di dati (tabelle)

Sintesi quantitativa

Sintesi qualitativa

⁉ Dati anomali, errati, mancanti

Funzioni MATLAB

STATISTICA DESCRITTIVA 2

Matrici di dati (tabelle)

Seriazione: distribuzione ordinata di valori

Intervallo di variazione (range): valore minimo e massimo

Distribuzione di frequenza: divisione in classi per vedere quanti soggetti appartengono a una categoria:

Frequenza assoluta: numero di volte con la quale compare ogni valore

f requenza assoluta

=

Frequenza relativa

✅ tot

confronto tra distribuzioni con diverso numero di osservazioni

Frequenza cumulata: si ottiene sommando le frequenze minori e uguali a quella di interesse; deve essere

definito un ordinamento

riassunto più comprensibile → fornisce in modo chiaro le indicazioni elementari contenute (tendenza

centrale e dispersione)

perdita di informazione → non si conosce come sono distribuiti i dati in ogni classe

Quante classi?

Dipende dal numero di osservazioni (n) e dalla variabilità:

Non meno di 4-5 classi (10-15 soggetti); non più di 15-20 classi (>100 soggetti)

10

=1+ ∗ log ( )

C N

10

3

=

C N

N: #osservazioni

C: #classi ottimali

Di quale ampiezza?

3,5∗S

=

h N

N: #osservazioni

C: #classi

h: ampiezza ottimale classi

S: stdev

⚠ In presenza di outliers → classi di diversa ampiezza

f requenza relativa

=

→ calcolare densità

⚠ h

Mai avere classi aperte

Matrici di dati (tabelle) 1

Sintesi quantitativa

Statistiche: calcolate su un campione (lettere latine)

Parametri: calcolate sulla popolazone (lettere greche)

Misure di tendenza centrale

✳ Misure di dispersione

ℹ Indici di forma

Sintesi quantitativa 1

Misure di tendenza centrale

Servono per individuare il valore attorno al quale sono raggruppati i dati

La scelta dipende dalle caratteristiche della distribuzione e dal tipo di scala

Media

Baricentro

Aritmetica Pesata

∑ ∑

x x n

ˉ = ˉ =

i i i

x x

n n

i

baricentro della distribuzione per dati raggruppati in classi

in una divisione in classi si assumono i dati distribuiti ogni classi pesa in base a quanti elementi possiede

➡

uniformemente voto di laurea

effettua la correzione degli errori accidentali

d'osservazione

✅ errori di tipo additivo

➡ misurare la lunghezza del tavolo → si fanno 3 misure e

si prende la media

Geometrica Armonica

1 n

ˉ =

x

ˉ = (∏ )

x x n h 1

∑

g i

✏ ✅ xi

il logaritmo della media geometrica = media aritmetica errori in cui c’è additività sui reciproci

➡

dei logaritmi dei dati

✅ tempi di reazione

errori di tipo moltiplicativo

➡ confronto di superfici e volumi

Quadratica Media tronca al p%

p% p%

2

∑ viene tolto il da una parte e il dall’altra

x

ˉ =

x 2 2

i

q n p={5, 10, 20}

⛔

media aritmetica dei quadrati

➡ in presenza di ouliers

✅

analisi di superfici variaibili quantitative

Mediana

Valore che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati

✅ dalla scala ordinale

✅ outliers

✅ dati distribuiti in modo non simmetrico

⚠ se i dati sono pari si calcola la media dei due valori centrali

✏ in una distribuzione o serie di dati, ogni valore estratto a caso ha la stessa probabilità di essere inferiore o

superiore alla mediana

Moda

Valore più frequente di una distribuzione

Misure di tendenza centrale 1

✅ outliers

✅ tutte le scale

Intervallo medio

Media aritmetica tra valore massimo e minimo

✅ variabili quantitative

⛔ outliers

Quantili

servono per conoscere esattamente dove si colloca un dato

[serie ordinata crescente] q

Quartile: il q-esimo quartile ha alla sua sx dei dati

4

q=1, 2, 3

1°Q: mediana della prima metà dei dati

2°Q: mediana

3°Q: mediana della seconda metà dei dati

d

Decile: il d-esimo decile ha alla sua sx dei dati

10

d=1,...,9 p

Percentile: il p-esimo percentile ha alla sua sx dei dati

100

25°P=1°Q

10°P=1°D

Misure di tendenza centrale 2

✳

Misure di dispersione

Come sono distribuiti i dati attorno alla tendenza centrale

Campo di variazione

= −

range valore massimo valore minimo

⛔ outliers

Differenza interquartile

IQR = 3°Q - 1°Q

✅ outliers (li elimina)

Scarti dalla media/mediana

✏ scarto medio assoluto dalla mediana < scarto medio assoluto dalla media

✏ scarto medio assoluto dalla mediana = scarto medio assoluto dalla media quando la distribuzione è simmetrica

Scarto medio assoluto dalla media(na)

∣x − ˉ ∣

∑ x

= i

Sm n

∣x − ˉ ∣n

∑ x

= i i (classi)

Sm n

Indice semplice di dissomiglianza

∣f −f ∣

∑ 1 2

=

D i i

2

= 0 quando le due distribuzioni di frequenza relativa sono identiche

= 1 quando la prima distribuzione è tutta concentrata in una classe e la seconda nell’altra

per valutare la diversità tra due distribuzioni di frequenze relative

i: classi

1,2: gruppi

Devianza 2

= ( − ˉ)

∑ (formula euristica)

SQ x x

i 2

(∑ )

x

2

= −

∑ i (formula empirica)

SQ x

i n

2

ˉ

= (x

ˉ − )

∑ (classe)

SQ x n

i i

⛔ campioni con diverso numero di dati

Varianza

2

( −μ

)

∑ x

2 = i (popolazione)

σ n 2

( − ˉ)

∑

2 x x

= (campione)

i

S n−1 2

ˉ

(x

ˉ − )

∑ x n

2 = i i (classi)

S

✅ n−1

campioni con diverso numero di dati

Misure di dispersione 1

⚠ (n-1) sono i gradi di libertà → poiché la somma degli scarti dalla media è nulla, l’ultimo valore della serie è

conosciuto a priori (non è quindi libero di assumere qualsiasi valore)

Deviazone standard

= ( )

2 (popolazione)

σ σ

= ( )

2 (campione)

S S

Coefficiente di variazione

misura relativa di dispersione

= σ (popolazione)

CV μ

= S (campione)

CV ˉ

x 1

’ = 1 +

( ) → quando il numero di dati è limitato, CV deve essere corretto

CV CV 4n

✅ confronto variabilità di gruppi con medie molto diverse

✅ confronto variabilità di gruppi con dati espressi in scale diverse

✏ invariante per trasformazioni lineari (fenomeno misurato con scale differenti)

➡ valutare la qualità dei reagenti

Momenti di ordine k rispetto a un punto c

k

( −c )

x

=

kc i

M n k

( −c )

x n

=

kc (classe)

i i

M n =

kc

c=0 → → momento (rispetto all’origine)

M μ

k

= media

μ

1 = valore quadratico medio

μ

2 =

kc

c=media → → momento centrale

M m k

= 0

m 1 = varianza

m 2

Misure di dispersione 2

Media e stdev bastano?

Se ho media, stdev e forma conosco tutto

Altrimenti si può derivare l’intervallo in cui sta sicuramente una prefissata porzione di dati:

Disuguaglianza di Markov

media

1 −

Almeno dei dati è <a

✅ a

per valori non negativi

Disuguaglianza di Chebychev

1

≥ 1 1 −

per , almeno delle misure sono all’interno di k stdev dalla media

k 2

k

[ ˉ − ˉ +

x ks, x ks]

Disuguaglianza di Cramer

Se la distribuzione è:

unimodale, simmetrica 4 1

≥ 1 1 −

per , almeno delle misure sono all’interno di k stdev dalla media

k 2

9 k

[ ˉ − ˉ +

x ks, x ks]

unimodale, simmetrica, normale

[ ˉ − ˉ + ci sta il 68% dei dati

x s, x s]

[ ˉ − 2s, ˉ + 2s] ci sta il 95% dei dati

x x

[ ˉ − 3s, ˉ + 3s] ci sta il 99,7% dei dati

x x

Misure di dispersione 3

ℹ

Indici di forma

Descrizione della forma della distribuzione → non rientrano nei test d’inferenza

Simmetria

Valutazione della simmetria

Distribuzioni unimodali → se si ha simmetria, media=mediana=moda (CNNS)

Distribuzioni bimodali → se si ha simmetria media = mediana (CNNS)

Tutte le distribuzioni → una distribuzione è simmetrica se i valori che sono equidistanti dalla mediana hanno la stessa

frequenza

Tipologie di asimmetria

a dx (+): i valori che si allontanano maggiormente dalla media sono quelli più elevati

moda → media → mediana

a sx (-): i valori che si allontanano maggiormente dalla media sono quelli minori

media → mediana → moda

Indici di asimmetria

Assoluti

Esprimono la distanza tra media e moda o mediana

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

= − = 0 → (CNNS)

⎩

d media moda simmetrica

< 0 → −

asimmetrica

Si può valutare il grado di assimmetria

∣d∣ < 3∣media − →

mediana∣ moderata

∣d∣ >> 3∣media − →

mediana∣ forte

Relativi

Per misurare il grado di asimmetria indipendentemente alle dimensioni delle misure

Indice di skewness di Pearson

d

= (popolazione)

sk σ

d

= (campione)

sk S

Coefficiente di Bowley

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

+Q −2Q

Q

= = 0 → (CNNS)

⎩

3 1 2

sk simmetrica

−Q

Q 3 1 < 0 → −

asimmetrica

Gli indici più diffusi sono derivati dai momenti centrali di ordine dispari → dipendono dalla scala utilizzata quindi si usano

normalizzati

Coefficiente di skewness di Fisher

[−∞, ∞]

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

m

= = 0 → (CNNS)

⎩

3 (popolazione)

γ simmetrica

1 3

σ < 0 → −

asimmetrica

Indici di forma 1

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

m

= = 0 → (CNNS)

⎩

3 (campione)

g simmetrica

1 3

σ < 0 → −

asimmetrica

∣g ∣ ≤ n

1

Per valutare il grado

⎧ ∣γ ∣ > 1 forte

1

⎨ 1 < ∣γ ∣ < 1

⎩ moderata

1

2 1

0 < ∣γ ∣ < trascurabile

1 2

Coefficiente di skewness di Person

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

2

m

= ( ) = 0 → (CNNS)

⎩

3 (popolazione)

β simmetrica

1 3

σ < 0 → −

asimmetrica

⎧ > 0 → +

asimmetrica

⎨

2

m

= ( ) = 0 → (CNNS)

⎩

3 (campione)

b simmetrica

1 3

σ < 0 → −

asimmetrica

Curtosi

Per curve unimodali simmetriche, si intende il grado di appiattimento rispetto alla curva normale

Tipologie di curtosi

Mesocurtica: ha forma uguale a quella normale

Leptocurtica: più alta al centro e e agli estremi e più bassa ai fianchi

Platicurtica: più bassa al centro e agli estremi e più alta ai fianchi

Indici di curtosi

Misura adimensionale

Indice di Fisher

[−2, ∞] ⎧ > 0 → leptocurtica

⎨

m

= − 3 = 0 →

⎩

4 (popolazione)

γ normale

2 4

σ < 0 → platicurtica

⎧ > 0 → leptocurtica

⎨

m

= − 3 = 0 →

⎩

4 (campione)

g normale

2 4

σ < 0 → platicurtica

Indice di Pearson

Indici di forma 2

⎧ > 3 → leptocurtica

⎨

m

= = 3 → (CNNS)

⎩

4 (popolazione)

β normale

2 4

σ < 3 → platicurtica

⎧ > 3 → leptocurtica

⎨

m

= = 3 → (CNNS)

⎩

4 (campione)

b normale

2 4

σ < 3 → platicurtica

Indici di forma 3

Sintesi qualitativa

Legenda emoji

☑ evidenzia

➡ utilizzati per

Strumento per evidenziare le quattro caratteristiche fondamentali:

tendenza centrale

variabilità

simmetria

curtosi

Mancano però di precisione → strumento per aiutare la comprensione dell’analisi statistica

Quantitativi

Istogrammi asse x → variabili, asse y → frequenza

area pari alla frequenza, larghezza pari all’ampiezza della classe

barrette dello stesso colore

☑ moda, simmetria

Cumulati Evidenziano quante sono le misure inferiori o superiori a un certo valore

☑ mediana (valore dell’asse orizzontale che corrisponde al 50% dei valori)

☑ percentili

Poligoni asse x → variabili, asse y → frequenza

ottenuto dal relativo istogramma unendo i punti centrali di ogni casse e

raccordando all’asse x

non evidenziano la divisione in classi

➡ rappresentazione di valori relativi o percentuali

Sintesi qualitativa 1

Cumulati Evidenziano quante sono le misure inferiori o superiori a un certo valore

☑ mediana (valore dell’asse orizzontale che corrisponde al 50% dei valori)

☑ percentili

Diagramma polare Usato per espiremere una ciclicità

Dotplot ogni dato è un punto in corrispondenza di un valore

utile quando ho pochi dati

utile per confrontare diversi gruppi

non vedo se ho valori sovrapposti

Boxplot ☑ tendenza centrale (media, mediana)

☑ grado di dispersione rispetto alla tendenza centrale

☑ simmetria

☑ outliers

Variante

media al posto della mediana

stdev al posto dell&rs