Elaborato metodi quantitativi per il Marketing Mercatorum

1)

DATE LE FUNZIONI f(x) = 1 - ln(x+2) e g(x) = e^x

a) DETERMINARE L'INSIEME DI DEFINIZIONE

ESSENDO f(x) UNA FUNZIONE LOGARITMICA È DEFINITA SOLO SE IL SUO ARGOMENTO È STRETTAMENTE MAGGIORE DI 0.

f(x) = 1 - ln(x+2)

• x+2 > 0
• x > -2

CE (-2, +∞)

ESSENDO g(x) UNA FUNZIONE ESPONENZIALE È DEFINITA SOLO SE LA BASE È POSITIVA E DIVERSA DA 1.L'ESPONENTE INOLTRE È DEFINITO PER x ≠ 0

g(x) = e^1/x

• BASE > 0
• BASE ≠ 1
• x ≠ 0

CE: OGNI VALORE REALE ≠ 0

TRATTANDO DEL NUMERO DI NEPER SO CHE 2 < e < 3

b) COSTRUIRE L'ESPRESSIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI COMPOSTE f○g(x) E g○f(x) E DETERMINARE I RELATIVI INSIEMI DI DEFINIZIONE.

f○g(x) = f(gx) =

• 1 - ln(e^1/x + 2)
• [e^1/x + 2 > 0
• x ≠ 0]
• [e^1/x > -2
• x ≠ 0]
• x ≠ 0]

R (-∞, 0) U (0, +∞)

L'ESPRESSIONE f○g(x) È UNA FUNZIONE POSITIVA QUINDI SEMPRE MAGGIORE DI UN NUMERO NEGATIVO PERÒ DOBBIAMO TENERE CONTO ANCHE DELL'INSIEME DI DEFINIZIONE DELL'ESPONENTE CHE È x ≠ 0.LA FUNZIONE SARÀ QUINDI DEFINITA PER OGNI R-{0}

g○f(x) = g(fx) =

e^{1/(1 - ln(x+2))}

• 1 - ln(x+2) ≠ 0
• -ln(x+2) ≠ -1
• x+2 ≠ e
• x ≠ -2

1) Date le funzioni f(x) = 1-ln(x+2) e g(x) = e^x

1. a) Determinare l'insieme di definizione

Essendo f(x) una funzione logaritmica è definita solo se il suo argomento è strettamente maggiore di 0.

f(x) = 1-ln(x+2)

• x + 2 > 0
• x > -2

CE (-2, +∞)

Essendo g(x) una funzione esponenziale è definita solo se la base è positiva e diversa da 1. L'esponente inoltre è definito per x ≠ 0.

g(x) = e^x

• base > 0
• base ≠ 1
• x ≠ 0

CE: ogni valore reale ≠ 0

Trattando del numero di Nepero so che 2 < e < 3

2. b)

Costruire l'espressione analitica delle funzioni composte f∘g(x) e g∘f(x) e determinarne i relativi insiemi di definizione.

f∘g(x) = f(gx) =

1-ln(e^x + 2)

• e^x + 2 > 0
• x ≠ 0
• e^x ≠ -2
• x ≠ 0
• R
• x ≠ 0

(-∞, 0) U (0, +∞)

L'espressione f∘g(x) è una funzione positiva quindi sempre maggiore di un numero negativo però dobbiamo tenere conto anche dell'insieme di definizione dell'esponente che è x ≠ 0.

La funzione sarà quindi definita per ogni R-{0}

g∘f(x) = g(f(x)) =

e^{1⁄_1-ln(x+2)}

• 1-ln(x+2) ≠ 0
• 1-ln(x+2) ≠ -1
• ln(x+2) ≠ 1 →
• x > -2

Der Def. il logaritmo di 2 è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento quindi:

x+2 ∈ℛ₁   x ≠ -2

L'insieme di def. di g∘f(x) è (-2, ∈-2) ∪ (∈-2, +∞)

2) Determinare il massimo e il minimo assoluti per x appartenente all'intervallo [-1,2] della funzione f(x) = ln(x₂ +1)

Dominio: x₂ +1 > 0

x₂ -1 > 0   ∀ℝ per x ∈ [-1,2]

La funzione è definita per ogni x ∈ℝ perchè l'argomento del logaritmo è una somma di due quadratic è dunque è sempre positivo

Per trovare i massimi e i minimi si studia il segno della derivata prima, cioè si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente (c(x) è una funzione composta del tipo y=ln[f(x)], la sua derivata è:)

f^'(x) = ^(2x)/_(x2+1)

f^'(x) >0   x>0

^(2x)/_(x2+1) >0   x>0

dove la derivata è negativa la funzione decresce. dove la derivata è positiva la funzione cresce. per determinare il massimo assoluto nell'intervallo [-1,2] calcolo f(-1) e f(2)

f(-1) = ln (1+1) ≅ 0,69f(2) = ln (2+1) = ln (3) ≅ 1,10f(2) = ln (4+1) = ln (5) ≅ 1,60

Il punto di massimo assoluto nell'intervallo [-1,2] sarà' l'as'in corrispondenza del punto x=2. Il punto di minimo assoluto sarà' invece x=0 perchè' f(x) è crescente per x>0 e decrescente per x 0

x² + x - 6 > 0

−3 2

• +
• −
• +

f(x) > 0 PER x < −3 ∨ x > 2

f(x) < 0 PER −3 < x < 2

DOVE LA DERIVATA PRIMA E' POSITIVA F E' CRESCENTE, DOVE E' NEGATIVA F E' DECRESCENTE