Economia monetaria, corso avanzato

Modelli di consumo e lavoro

QÉ Ñ ÖDove è il tasso di sconto, è il consumo (utilità positiva) e è il lavoro 2 2ä 2Q Q 0(disutilità). Quindi in ogni periodo si massimizza il valore atteso scontato dell’utilitàdel consumo e del lavoro. La prima grande differenza con i modelli RBC è nella Ciò si risolve attraverso un problema di Lagrange:formula del consumo visto che in questo caso i beni sono differenziati. Ci sono iimprese che producono i beni ed il consumo è: ?# 1 1?−1?−1#$%* & V WV + Φ ` − 6 (V)& (V) WV#$% max ?& = & (V) WVX ( )2 2 2 2cioè il consumo aggregato di Dixit-Stiglitz, in cui ogni# mä ä 2n m nT∫" " = >! & ( ) 0 0= (I)famiglia può consumare di quantità di beni i prodotti dalle imprese al tempo t.2Ü ΦIl parametro rappresenta l’elasticità di sostituzione tra i beni; adesso con Dove è il

("Adesso dobbiamo determinare la domanda del bene i e per farlo innanzitutto $= −f 1 − - 1 + gh& (V)inseriamo nell’aggregatore CES:" 9* 9.*9.* i j".9.9 Ricordiamo che è il coefficiente di avversione relativa al rischio, è l’inverso& = & 6 V Φ 9( ( ) )" " "^Y _ dell’elasticità di Frisch; inoltre sappiamo che l’utilità dipende dal consumo che ha! ⇓ utilità positiva e dal lavoro con utilità negativa (o disutilità).9* 9.* Il problema che affronteremo consiste nel massimizzare la funzione di utilità, sotto le"9 *.9Φ = 6 (V) WV" 3 variabili di scelta, e tenendo presente che c’è un vincolo (otteniamo la stessa^Y _! situazione già vista nel modello di tipo RBC). Questo problema viene risolto⇓ attraverso le lagrangiane, dove λ rappresenta il moltiplicatore di Lagrange che mit* dice come varia marginalmente

la mia funzione obiettivo, al variare di una variabile* *.9".* *.9Φ = 6 (V) WV (C , N , B ).t t t"^Y _!% max $( & , ( ) + m ([ + 5 ( + ] − 6 & − Z [ )* " " " ".* " " " " " " "%$# ".**.96 = 6 (V) WV ⇒ Φ = 6 D ,F ,G

Perciò e otteniamo la domanda del bene i ! ! !T∫ X" "!che dipende dal consumo e dal prezzo relativo: Adesso calcoliamo le cosiddette FOCs (= First Order Conditions):!$'HI *.) )D(=0→ = m 6•.96 (V) " "HD (*.)" )!& (V) = &" "Q R6" (* /+)FHI ( !=0→ = m 5• " "HF (* / +)Questa curva di domanda ci dice che quando l’impresa aumenta il livello del !↑),(&consumo aggregato allora aumentano i consumi delle famiglie del bene i" HI = 0 → ! m # m Z• - = 0 (EQUAZIONE DI EULERO)(V) ↑)(& ; questo effetto viene definito come effetto aggregato. "

/ * " " HG!- (B)! > 1Quando invece il rapporto tra prezzi relativi il prezzo del bene i è più caro-! Dalle prime 2 otteniamo che:−O (rispetto all’indice dei prezzi e viceversa. Inoltre, eleviamo tutto alla elasticità di(sostituzione tra i beni) e questo ci fa capire che se un bene diventa più caro cioè J, , +")),!! !=− ⟹ = & ( (CONDIZIONE INTRA-MARGINALE)- (B) "- J -! ↑) allora andrò a sostituire il bene con un altro perché è diventato più caro (e ! +,! !-!viceversa); questo viene chiamato effetto dei prezzi relativi. Inoltre, otteniamo anche la seguente EQUAZIONE DI EULERO dalla terza e dalla5 → ∞Quando allora si tende al caso di concorrenza perfetta (c’è perfetta prima FOCs:sostituibilità) e una piccola variazione nei prezzi relativi ha un forte impatto sul5livello dei consumi aggregati. Se invece è piccolo

c'è poca sostituibilità tra beni, un incremento del prezzo dei beni fa sì che la domanda del bene diminuisce ma di poco.

51 52-?.) *! m # & 6 6" " / * "/* " 2Z = = #! p = &ãå" " 2+M|2 2+MQ R 6^ _m & 6 é è2+M" " "/*5. IMPRESE Quindi abbiamo un problema di ottimo intertemporale e questa volta considereremo%0. :Z T &)$ &( = ; :come tasso di sconto stocastico la funzione di Eulero )êëí ì22,2+MLa situazione, rispetto al modello RBC, cambia quando guardiamo alla situazione . :& &)$perché mi dice la scelta tra consumo di oggi e domani ed è una buona proxy del tassoV ∈ [0,1]delle imprese. Come sappiamo c'è un continuum di imprese indicizzate da KNdi sconto utilizzato in precedenza. rappresenta la probabilità che in futuro nonperché sono imprese che producono beni differenziati; le

labor-share t" ","/K "/K "/K "/K|" Q Rv w6*- "/K!(monte salari). La funzione di domanda del bene i è il vincolo di bilancio di ciascuna K$!impresa; inoltre le imprese considerano C e P come dati. Otteniamo dunque la seguente condizione del 1°ordine:t tA differenza di un modello RBC, l'impresa ha potere di fissare il prezzo (perché #price-maker) e tiene conto del lento aggiustamento dei prezzi che è dovuto alla .9 .9.*"* *6 &"/K*Kpresenza di rigidità nominali seguendo il meccanismo di Calvo (1983). Così, solo una N ! Z & - O6", "/K "/K "" vQ R Q R6 6 6(1 - s)frazione delle imprese può settare il prezzo in ogni periodo. "/K "/K "/KK$!Secondo Calvo (1983), il livello medio dei prezzi evolve in questo modo: yp∂Ψ "/K|""/K- =0"* wyp y6*

"/K|"*.9 "∗*.96 = [N6 + (1 − N)6 *.9]" ".* Inoltre, vista la difficolta nel derivare la funzione di costo rispetto al prezzo*.9O N6 VWDove è l’elasticità di sostituzione tra i beni, è la quota delle imprese che è &)4Ψ =".* consideriamo la derivazione incrociata e denoteremo con la costo24T|2"∗*.9 ,#(1 − N)6costretta a caricare lo stesso prezzo, invece è la quota delle rimanenti &)4|&marginale nominale di un’azienda il cui ultimo reset del prezzo è avvenuto al periodoimprese che può settare il prezzo ottimale. t. .9!∗-6. OTTIMIZZAZIONE DEL PREZZO PER LE IMPRESE :Otteniamo dividendo i membri nella parentesi per e considero4 7-!,-p = & :(1 − N) "/K|" "/KAl tempo t, ciascuna impresa che deve ottimizzare (cioè la frazione delle # .9.*2∗ "∗8 6 &imprese) sceglie il prezzo ottimale al fine di

massimizzare il flusso atteso dei "/KKN ! Z vp − Op + O Ψ =0profitti futuri tenendo conto delle probabilità che verrà fissato in futuro: " ","/K "/K|" "/K|" "/K|"" Q R w6 6"/K "/KK$!# 2∗8Moltiplichiamo per e otteniamo:#"∗Kmax N ! Z r6 p − Ψ sp tu" ","/K "/K|" "/K "/K|""!∗- ∗ ∗KN ! Z p r6 − O6 + O Ψ = 0u" ","/K "/K|" " " "/K|""K$! K$! 1 – 5:Dopo di che divido tutto per53 54# # #∗ ∗K K K K KN ! Z p r6 − Ψ = 0 N # (: − : = N # ! s•H + : − :) Äu t" ","/K "/K|" " "/K|" " ".* " "/K|" "/K ".*" " "K$! K$! K$!? Possiamo anche sfruttare una proprietà matematica