Economia manageriale

Teoria dei giochi

Studio delle interazioni strategiche tra agenti (imprese, individui, nazioni…). Un esempio tipico è la scelta di entrare in un mercato dove opera un monopolista (incumbent): si entra o no? L’incumbent può decidere di tollerare l’entrata o fare una guerra sui prezzi od opporsi in qualunque modo. Il risultato di un’azione dipende anche da ciò che fanno gli altri. Altri esempi possono essere siglare un accordo per il disarmo o sulla riduzione dei gas serra, un portiere contro un rigorista, strategie di accoppiamento in natura.

Elementi della teoria dei giochi

• Giocatori: n ≥ 2 → i ∈ N = {1, 2, 3, …. n}
• Insieme delle azioni disponibili dal giocatore i = {i1, i2, iki}. È interessante quando k ≥ 2 (cioè ogni giocatore ha almeno due azioni disponibili. Se avesse solo una strategia sarebbe banale)
• Payoffs: i risultati derivanti dalle combinazioni di azioni possibili. È una funzione di utilità del generico giocatore i: l’utilità deriva dalla scelta a del giocatore i (a) e dalla scelta di tutti gli altri diversi da i.

Ci sono diversi tipi di giochi caratterizzati da differenze nel:

• Timing: Sequenziali (scacchi, si muove uno per volta e l’altro osserva) VS simultanei (calcio di rigore, portiere si butta in contemporanea al tiro dell’attaccante)
• Qualità di informazione disponibile al giocatore: Perfetta (il giocatore conosce le strategie disponibili e le possibilità dei rivali) VS Imperfetta (non sono sicuro delle mosse che farà un’impresa concorrente)
• Ripetuti (ad esempio le relazioni col proprio partner, ci sono gli stessi giocatori che si trovano nella stessa situazione) VS One-shot (interazione con uno sconosciuto per strada).

Il dilemma del prigioniero

Due ladri vengono convocati in questura perché sospettati di aver rapinato una banca. Il commissario parla con ognuno dei due separatamente offrendo la soluzione di confessare o non confessare, azioni a cui si associano tot anni di prigione. Il dilemma ha due giocatori che hanno due azioni possibili ciascuno, confessare o non confessare. Se entrambi non confessano si faranno due anni di carcere ciascuno; se uno dei due confessa e l’altro no il primo si fa solo un anno e il secondo sette, mentre se entrambi confessano si fanno quattro anni di carcere ciascuno. Dal punto di vista formale questo gioco può essere rappresentato così:

• N = {1, 2}
• A = {C, NC}

I payoff sono rappresentati da una matrice 2x2 (due giocatori e due azioni disponibili).

Entrambi i giocatori hanno una strategia dominante (cioè una strategia che produce un outcome migliore rispetto all’alternativa indipendentemente dalla scelta dell’altro). Per entrambi la BR (cioè la “best response”) è confessare sia che l’altro confessi sia che non lo faccia. Si può formalizzare così (vediamo la best response del Giocatore 1 nell’ipotesi che Giocatore 2 confessi e non confessi):

BR₁(a₂ = C) = C → -4 > -7 (sono gli anni di prigione, cioè i payoff)
BR₁(a₂ = NC) = C → -1 > -2

Si può facilmente dimostrare che ciò che vale per il Giocatore 1 vale anche per il Giocatore 2. Abbiamo trovato un equilibrio in strategie dominanti: (C, C), cioè (-4, -4) [ricordati che l’equilibrio si formalizza con le strategie utilizzate, mentre i numeri sono i payoff associati].

Discussione sul dilemma del prigioniero

Parliamo del dilemma del prigioniero, che avevamo visto con la matrice dei pay-off. Abbiamo scoperto che in realtà il dilemma del prigioniero è abbastanza semplice: per entrambi i giocatori c’è una strategia dominante, che è giocare C, ovvero decidere di confessare.

Abbiamo così definito il nostro primo equilibrio, che abbiamo chiamato equilibrio in strategie dominanti, che in questo caso è dato dalla combinazione (C, C). Se guardiamo la matrice dei pay-off, notiamo qualcosa di singolare, ovvero che in corrispondenza di C, C i due prigionieri passano ciascuno 4 anni in prigione. C’era però un outcome migliore: (NC, NC), che avrebbe condotto a un payoff migliore per entrambi, solo 2 anni di prigione.

Perché non arriviamo a (NC, NC) allora? Questo è proprio l’insegnamento del dilemma del prigioniero: gli incentivi individuali minano la possibilità di stipulare accordi che sarebbero ottimali per la comunità, che però non sono sostenibili a livello individuale. Il giocatore 1, di fronte al commissario, sa che se nessuno dei due confessa, allora entrambi otterranno 2 anni di prigione, ma il giocatore 1 si chiederà: sono davvero sicuro che il mio socio mantenga la parola data? Che non ceda alla tentazione di tradirmi? Con la speranza di passare solo 1 anno in carcere?

Se sono in una situazione del genere e resto fedele, ma G2 mi tradisce, passerò io 7 anni in carcere. Che incentivi ho a mantenere la parola data? Mi conviene comunque tradirlo, perché in ogni caso passerei da -2 a -1. Ci sono incentivi a deviare dall’outcome (NC, NC), che non è credibile a livello collettivo. Entrambi i giocatori hanno incentivo a deviare. Risultato: entrambi i giocatori confessano e finiscono 4 anni in prigione, laddove esisteva una combinazione di strategie che avrebbe garantito un payoff migliore a livello sociale.

Queste stesse dinamiche si verificano anche in situazioni più generali, nei rapporti interpersonali. Immaginiamo che invece che avere confessare/non confessare, i due giocatori siano Russia e USA e le strategie siano “corsa agli armamenti”, “interrompere corsa agli armamenti”. Dal punto di vista dei cittadini, l’outcome migliore sarebbe interrompere la corsa agli armamenti, ma non è credibile che ciò succeda; ciascuno dei due paesi potrebbe sospettare che l’altro paese, nonostante la firma del trattato di disarmo, continui a costruire testate nucleari di nascosto, allora a entrambi conviene continuare a costruire testate nucleari. Lo stesso si può dire per gli accordi climatici, per le riduzioni di emissioni: il free-riding è incentivato.

Questo è l’insegnamento principale del dilemma del prigioniero, accordi benefici per la collettività possono essere minati da incentivi individuali. Il dilemma del prigioniero fa l’esempio di anni di carcere, quindi usa numeri negativi, ma potremmo fare un esempio anche con numeri positivi:

• 2 giocatori
• 2 strategie a testa (in questo caso senza significato)
• 4 outcome

Qual è in questo caso l’equilibrio? L’equilibrio sarà (2, 2). La best response del G1 di fronte al G2 che gioca left è 10, quindi giocherà down. La best response del G1 all’ipotesi che il G2 giochi right, è sempre down (2 contro 1). Quindi down è la strategia dominante per G1.

Mettiamoci nei panni di G2: se il G1 gioca up, la risposta migliore di G2 è right (10 contro 8); nel caso in cui G1 gioca down, G2 giocherà right. Right è la strategia dominante del G2. Quindi l’equilibrio in strategie dominanti sarà (D, R) ovvero down, right (2, 2).

In realtà esisterebbe un outcome molto più favorevole a entrambi! Proviamo a ragionare sui concetti di equilibrio. Per ora ne abbiamo uno molto semplice: l’equilibrio in strategie dominanti. Nel contesto della teoria dei giochi, equilibrio è laddove non esistono incentivi a spostarsi per i giocatori, non esistono deviazioni profittevoli.

L’equilibrio (D, R), segue questa logica? Esiste per G1 un incentivo a muoversi? No, l’unica deviazione è decidere di giocare A, ma il cambio passerebbe da 2 a 1 se G2 gioca R. Per il giocatore 2 l’unica deviazione possibile è passare da R a L, ma peggiorerebbe la propria condizione. Dato il comportamento dell’avversario nessuno dei due ha incentivo a cambiare la situazione, è stabile (stiamo parlando di deviazione unilaterale!).

Supponiamo che si stia giocando up-left. Tutti e due i giocatori avrebbero convenienza a deviare, perché prenderebbero 10 invece che 8. Però finiscono per ottenere (2, 2). (8, 8) per quanto apparentemente soddisfacente, non resiste al test di esistenza di deviazioni profittevoli da parte dei giocatori. Ci segnala un meccanismo di risoluzione dei giochi: metodo di eliminazione iterata delle strategie dominate.

Metodo di eliminazione iterata delle strategie dominate

Questo è un possibile metodo di risoluzione dei giochi. Cercheremo di provare a trovare metodi di risoluzione sempre più efficienti. Cosa è una strategia strettamente dominata? È l’opposto della strategia dominante, è una strategia che porta a un payoff più basso rispetto a un’alternativa, indipendentemente da cosa possa fare l’avversario. Nel nostro esempio, la strategia ‘up’ è una strategia strettamente dominata, perché 8<10 e 1<2. L’eliminazione iterata delle strategie dominate ci direbbe nel nostro caso che possiamo eliminare ‘up’, perché non c’è modo che G1 la giochi! Stesso discorso lo possiamo fare per il G2: la strategia ‘left’ è dominata, non c’è motivo per cui G2 giochi ‘left’. Questo metodo di risoluzione ci porta al risultato che già avevamo trovato (D, R).

Quanto è potente questo metodo? Un po’, non troppo, in alcuni casi funziona, in altri no. Facciamo un paio di altri esempi leggermente più elaborati e ricchi. Nel titolo appare la parola “iterata”, perché? Lo capiamo con questo gioco, in cui ogni giocatore ha 3 strategie: top, bottom e medium per G1 e left, center e right per G2. Se applichiamo il metodo di eliminazione iterata delle strategie dominate, cosa mi rimane?

Per il giocatore 1 la strategia bottom è strettamente dominata dalla strategia T, perché 4>1, 1>0 e 4>3; non c’è motivo per cui il giocatore 1 possa giocare la strategia bottom. La eliminiamo. G2 si rende conto che la strategia B è dominata per G1, sa che G1 non giocherà mai bottom, essendo razionale. Quindi G2 ignora l’ultima riga della matrice. Quali sono allora le mie possibilità? La strategia Center è strettamente dominata dalla strategia R, perché 2>1 e 3>2, indipendentemente da cosa decide G1, non c’è motivo per cui G2 debba giocare C. Può fare questo ragionamento solo perché ha eliminato la strategia bottom, perché altrimenti non ci sarebbe questo pattern di dominanza tra R e C. Allora posso eliminare C.

Cosa pensa G1? Sa che G2 è razionale e non giocherà mai center, la palla è di nuovo al giocatore 1. Abbiamo 4 outcome possibili adesso. Per il G1 la strategia M è dominata dalla strategia T. Eliminiamo anche la parte residua di M. Ricordiamo che il gioco è simultaneo: accade tutto simultaneamente. Alla fine tutto si riduce al G2 che deve decidere se giocare L e prendere un payoff di 0 o giocare R e prendere 2. L è strettamente dominata, l’unico outcome che sopravvive al metodo delle strategie dominate sarà EQ = (T, R).

C’era un payoff apparentemente migliore: M, L (3, 4), ma non avviene, perché l’equilibrio dipende dagli incentivi strategici presenti nel gioco. In questo caso abbiamo man mano sbrancato questo gioco e da 9 outcome siamo collassati a 2 e poi a 1 unica possibilità. Sia che siamo giocatori, che osservatori, ci fidiamo dell’ipotesi di razionalità degli agenti e allora possiamo scommettere che G1 giocherà Top e G2 giocherà Right. Equilibrio anche come metodo di previsione.

Funziona sempre il metodo delle strategie strettamente dominate? Non sempre, facciamo un esempio:

• 2 giocatori
• 3 strategie a testa (le stesse di prima)
• 9 outcome

La strategia B è di nuovo strettamente dominata (1<2, 0<1, 3<4). Se continuiamo, vediamo che, dal punto di vista di 2, non c’è un pattern di dominanza tra L e C; c’è però un pattern di dominanza tra R e C (2>1, 3>2). Possiamo eliminare C. Abbiamo ridotto il gioco a 4 output. Sembra di essere sulla strada giusta, ma qui ci blocchiamo, perché nessuno dei due giocatori ha più una strategia dominata. Il nostro metodo di risoluzione dei giochi qui non funziona, si blocca. Ci serve uno strumento più potente, che ha il nome di Equilibrio di Nash.

Equilibrio di Nash

Dato un gioco con:

• Un set di giocatori N = {1, 2…n}
• Ogni giocatore ha a disposizione un certo numero di mosse possibili: A = {a_i1, a_i2, …, a_ik}
• Funzione di utilità: u_i = (a_i, a_-i)

Allora il profilo è un equilibrio di Nash se:

u_i(a_i, a_-i) ≥ u_i(a_i', a_-i) ∀ a_i ∈ A_i e i ∈ N

Si dice quindi che un certo profilo (a_i, a_-i) fa ottenere al nostro giocatore di più di quanto otterrebbe con l’altra strategia, tenendo implicito il comportamento degli altri. Assenza delle deviazioni profittevoli. L’ultima riga di definizione ci dice che questa disuguaglianza deve valere per ogni azione il giocatore sta giocando la strategia migliore possibile!

Il comportamento degli avversari è dato, il giocatore non ha incentivo a cambiare e questa disuguaglianza vale per tutti i giocatori. Tutti i giocatori simultaneamente sono in questa situazione. Tutti i giocatori stanno rispondendo al meglio al comportamento degli avversari, nessuno ha incentivo a deviare. Equilibrio.

Proviamo a vederlo: come si può procedere? Mettiamoci nei panni del G1. G1 sa che G2 ha 3 strategie a disposizione (informazione perfetta); G1 comincia a fare delle ipotesi: supponiamo che G2 decida di giocare L, sotto quest’ipotesi cosa mi converrebbe giocare? Mi conviene giocare M perché prendo 4 (maggiore di 0 e di 3), faccio un segno in alto a sinistra nella casella.

Supponiamo ora che G2 giochi C: conviene giocare T. Se giocasse R: conviene giocare B. Ora ci mettiamo nei panni del G2. Cosa mi conviene fare se G1 giocasse T? Mi conviene giocare L, metto un pallino sulla destra. Sotto l’ipotesi che G1 giochi M, mi conviene giocare C. Se G1 gioca B, mi conviene giocare R. Vediamo che c’è un’unica combinazione di azioni con 2 pallini: è la combinazione (B, R). L’equilibrio di questo gioco è proprio (B, R).

Riprendendo la definizione, è vero per (B, R) che l’utilità di entrambi i giocatori è maggiore di quella che otterrebbero da un’altra strategia? È vero che l’utilità del G1 di (B, R) è maggiore uguale dell’utilità che il G1 avrebbe potuto ottenere mantenendo fisso il comportamento dell’avversario R ma giocando M? Sì è vero, perché 6>5, situazione verificata. Stesso discorso per T: 6>5.

Dobbiamo verificare (secondo la definizione) anche per G2. È vero che l’utilità di G2 in (B, R) è maggiore di quella che avrebbe potuto ottenere deviando a L? Sì, è vero perché 6>5. Stesso discorso per C: 6>5. Abbiamo provato il nostro primo Equilibrio di Nash: NE = (B, R). Da (B, R) non ci sono deviazioni profittevoli. L’equilibrio di Nash è un teorema di esistenza, non di unicità: potremmo trovare più outcome in equilibrio di Nash.

Vediamo un’ultima cosa: proviamo ad applicare il teorema di Nash al gioco che era rimasto irrisolto. In questo caso abbiamo 2 equilibri di Nash: (M, L) e (T, R).

Battaglia dei sessi: gioco 2x2 con molteplicità di equilibri

Due giocatori, Lucia (L) e Marco (M). Sono una coppia e volevano trascorrere la serata insieme: purtroppo hanno entrambi il cellulare scarico e non riescono a comunicare. Erano però rimasti con due opzioni, andare a vedere una partita di calcio (C) oppure andare a teatro (T). Lucia preferirebbe andare a vedere la partita, mentre Marco ha una preferenza per lo spettacolo teatrale. Questa è la matrice 2x2:

Cerchiamo di calcolare l’equilibrio di Nash: per Lucia se Marco sceglie la partita di calcio la best response è C (perché se andasse a teatro lui non ci sarebbe e non passerebbero tempo insieme); se Marco sceglie il teatro per lei la best response è T (con outcome positivo e non nullo). Per Marco vale la stessa cosa. In questo caso avremo due equilibri: NE = {(C, C), (T, T)}.

Ampliando potremmo avere: Manager 1 e 2 devono decidere se investire nel prodotto x o nel prodotto y per espandere l’azienda e fare ricerca & sviluppo. Il progetto viene approvato solo se entrambi concordano. Chi vince? Dipende da altre dinamiche come flessibilità o reputazione.

Matching pennies

Due giocatori (Gioc 1 e Gioc 2) giocano a testa (H) o croce (T) con i seguenti outcome. In questo caso non c’è un equilibrio di Nash (ogni pallino rosso è spaiato). Non esiste una mutual best response, cioè una risposta ottimale simultanea: c’è un incentivo a deviare. In ogni outcome esiste...