Economia finanziaria - la scelta di portafoglio

o ancora 0 ( ) R R

U y 1 22 12

1 =

0 R R

( )

U y 11 21

2 2

Sostituendo 1 3

y 2 = = = 2

y y

) 2 1

2 3

y 1

Date le de…nizioni di e e la precedente condizione può essere

= 1

y y ;

1 2 2 1

scritta come

= = 2 = 2 (

( ) + ( ) + )

y R y R

R R R R

2 1 12 22 22 1 1 11 21 21

da cui 1 2

( 3) + 3 = 2 ( (3)) = = ; =

)

1 1 1 2

3 3

Il titolo non rischioso

Accanto agli titoli considerati, ve ne sia un altro privo di rischio con

N

rendimento = 1 +

R r :

0 0 15

titoli sicché il vincolo di bilancio è

+ 1

N N

X =1

i

0

Il problema di ottimo rimane immutato e alle FOC va aggiunta

S

X 0 =0

( )

U y W R

s s 0

1

Sottraendo questa equazione da tutte le altre condizioni del primo ordine

N

S

P 0 =

)

( ) ( ) = 0 = 1

U R

y R ; i ; : : : ; N

s s 0

is

1 h i

0 = 0 = 1

( ) ( )

E U y R R ; i ; : : : ; N

s 0

is

Ricordando la de…nizione di covarianza

( ) = ( = ( ) =

)

) (

cov X; Y E X Y E XY )

X Y X Y

( ) = ( ) +

E XY cov X; Y X Y 16

si ha i

h 0 = 0 =

)

( ) ( R

E U y R )

s 0

is i

h 0

0 + ( ) = 0 =

( )

( ) R

E

E U

cov U R

y

y ; R )

s

s 0

is

is

La precedente condizione di ottimo a¤erma in sostanza che l’eccesso di rendi-

mento ovvero il premio al rischio, valutato in termini di utilità marginale attesa,

deve essere uguale per tutti i titoli. Se si è neutrali al rischio, l’utilità marginale

è costante e la precedente condizione implica che il premio al rischio deve essere

uguale per tutti i titoli. 17

Esercizio

Supponete che vi siano tre stati con la stessa probabilità di veri…carsi. Gli R is

sono titolo 0 1 2

1 1 3 0

stato 1 0 6

2 1 0 0

3

Posto che la funzione di utilità sia logaritmica, determinare le

( ) = ln ( )

u y y ;

quote di portafoglio

Risposta. La condizione del primo ordine è

0 0

0 = 0 = 1 2 3

)

) ( )+ ( ) (

)+ (

( ) ( ; i ; ;

R R

U y R R U y

R R

U y 0

2 2 0 3 3

0

1 1 i3

i1 i2

ovvero 0 0 0

( ) (3 1) + ( ) (0 1) + ( ) (0 1) = 0

U y U y U y

1 2 3

0 0 0

( ) (0 1) + ( ) (6 1) + ( ) (0 1) = 0

U y U y U y

1 2 3 18

cioè 0 0 0

2 = 0

( ) ( ) ( )

U y U y U y

1 2 3

0 0 0

( ) + 5 ( ) ( ) = 0

U y U y U y

1 2 3

che riscriviamo come 0 0

2 23

( ) = ( ) = =

U y U y y y

)

1 3 3 1

3

0 0 13

1 =

( ) = ( ) =

U U y

y y y

)

2 3 3 2

3

Utilizzando le de…nizioni degli y

2 + 3 = 6

= ( ) =

)

0 1 0 1

0 3

1

= ( + 6 ) = = 3

)

0 0 2 0 2

3

cioè Sostituendo nella de…nizione di otteniamo

= 2 : ;

2 1 0 1

1 0

0

3 + = 1 = = =2

;

)

1 0 1 2

3 3

In…ne, utilizzando le precedenti equazioni, determiniamo le quote di portafoglio

1 2 1 1 2

0 0

=6 =6 = = = = =

; ;

)

0 1 0 1 2

3 3 3 9 9 19

Si noti che le quote non dipendono dalla ricchezza perché la funzione di utilità è

una CRRA.

Asset pricing 0 ( )

cov U y ; R

s is

h i

( ) =

E R R 0

is 0 ( )

E U y s

Il rendimento (atteso) di un titolo è pari al rendimento del titolo privo di rischio

più un premio per il rischio.

Il premio per il rischio è positivo (negativo) se il rendimento del titolo covaria

positivamente (negativamente) con il consumo 20

Esercizio

Supponete che vi siano soltanto tre stati equiprobabili le cui realizzazioni del

consumo e del tasso di rendimento del titolo rischioso, e sono indicate

y R ;

s s

nella seguente tabella. y R

s s

1 1 1

:

3 1 2

:

6 1 3

:

Posto che la probabilità congiunta sia uguale nei tre stati che il tasso di rendimento

privo di rischio sia determinate il tasso atteso di rendimento del titolo

= 1

R ;

0

nell’ipotesi che la funzione di utilità sia logaritmica, ( = ln (

) ).

u y y

s s 1

0

Risposta. L’utilità marginale è nel caso di funzione logaritmica Il

=

( )

u y :

s y s

1 13 16 1

0

valor medio delle due variabili è e

= 1 + + = ( =

)

( )

E u y E R

s s

3 2 21

La covarianza tra l’utilità marginale e il tasso di rendimento è

1 2

: : 1 1 1 5

1

0 1 1 1 2) + 3 1 2) = 0 1

= (1 (1

( ) : : : : :

cov U y ; R

s is 3 2 6 2 18

Perciò, il tasso atteso di rendimento è

0 5

( )

cov U y ; R 0 1

:

s is 18

h i

( ) = =1+ = 1 056

E R R :

0

is 1

0 ( )

E U y s 2

Il teorema di separazione

In presenza di un numero elevato di titoli, la ricerca del portafoglio ottimale

(dei valori ottimali degli ) è drasticamente sempli…cata.

Sotto certe condizioni, il portafoglio ottimale è composto soltanto di due

attività: il titolo privo di rischio e un’attività rischiosa composita data dalla

combinazione ottimale di tutti i titoli rischiosi (fondo comune)= proprietà

)

di separazione. 22

La proprietà di separazione: le proporzioni con cui i titoli rischiosi entrano

nel fondo comune non dipendono dal livello della ricchezza.

Esempio, i titoli rischiosi sono due e la loro proporzione ottimale all’interno

del fondo comune è questa proporzione con il livello della ricchezza:

= ;

1 2

la scelta dell’investitore concerne soltanto l’allocazione della ricchezza tra il

titolo privo di rischio e il fondo comune.

Condizioni: Restrizioni sulla

1. distribuzione di probabilità dei rendimenti (distribuzione Normale), op-

pure

2. funzione di utilità dell’investitore. Dalla de…nizione di coe¢ ciente di

avversione assoluta al rischio 00 ( )

U y s

= 0 ( )

U y s 23

A¢ nché si abbia separazione, deve essere una funzione iperbolica di

deve cioè assumere la forma

y ;

s 1

= ( + )

c dy

s

dove e sono delle costanti. Tutte le funzioni di utilità di questo

c d

tipo appartengono alla classe HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion)

perché hanno un coe¢ ciente di avversione assoluta al rischio iperbolico.

Il reciproco di coe¢ ciente di tolleranza verso il rischio,

; 0 ( )

U y s

= = +

c dy

s

00 ( )

U y s 24

Funzione di utilità Tolleranza al rischio

1

a 2

Quadratica y y y

s s

s

2 a

Esponenziale exp ( )

=a a

y s

Logaritmica ln ( + ) +

a y a y

s s

1 b

y y s

s

Di potenza 1 b b

Teorema di separazione. Indipendentemente dalla distribuzione di probabil-

ità dei rendimenti, il portafoglio ottimale presenta la proprietà di separazione

se e solo se la tolleranza al rischio è lineare, ovvero se e solo se la funzione

di utilità appartiene alla classe HARA.

Esempio. Gli : tre stati con la stessa probabilità

R is titolo 0 1 2

1 1 3 0

stato 2 1 0 6

3 1 0 0 25

h i

0

Applicando la condizione di massimo, o in

= 0

( ) ( )

E U y R R ;

s 0

is

forma estesa in questo caso 0

0

0 = 0

)

)+ ( ) (

)+ ( ) (

( ) ( R

R U

R U

U y R

y R

y R 0

0 3 3

0 2 2

1 1 i3

i2

i1

secondo cui l’utilità marginale attesa dell’eccesso di rendimento deve essere

nulla otteniamo 0 0 0

2 ( ) ( ) ( ) = 0

U y U y U y

1 2 3

0 0 0

( ) + 5 ( ) ( ) = 0

U y U y U y

1 2 3

N

P

perché e dove gli sono dati da

= = = 1 3 =

= y W R

s

1 2 3 i is

0 =

+ 6

=

+ 3

= ) ;

(

) ;

( W

W

y W y

y 2 3 0

0

1 2

0

1

Dalle ultime due 0 0

2

( ) = ( )

U U

y y

1 3

3

0 0

1

( ) = ( )

U U

y y

2 3

3

0

Se la funzione di utilità è quadratica, ( ) = 1

U :

y ay

s s

2

1 ( + 3 ) = (1 )

aW a W

0 1 0

3

1

1 ( + 6 = )

) (1

aW a W

0 2 0

3 26

Risolvendo 1 1 = = 1

= = =

)

0 1 2

1 2 9 aW

I titoli rischiosi hanno perciò la stessa quota nel fondo comune.

2 1

P 0

e

Poiché Ricaviamo

= 1 = =

; :

1 2 1 0

i 2

0 9 2 1

=

0 7 7 aW

Se e si ha

= 1 4 = 1,

a = W e

= 1 7 = = 3 7

= =

0 1 2

Se la ricchezza raddoppia, si ha

= 2

W ;

e

= 5 7 = = 1 7

= =

0 1 2

Al variare della ricchezza le proporzioni con cui i titoli rischiosi entrano nel

fondo comune rimangono invariate

Cambia l’allocazione della ricchezza tra il titolo non rischioso e il fondo

comune perché e dipendono da

1 W:

0 0 27

La completezza del mercato dei titoli

Quali condizioni debbono essere soddisfatte a¢ nché il mercato dei titoli con-

senta di spostare redditi da uno stato all’altro come se ci si trovasse in un

mercato completo per beni contingenti?

Intanto: vendite allo scoperto ed esclusione della possibilità di fallimento.

Ma altre due condizioni debbono essere soddisfatte.

Due stadi

1. Attività …nanziarie dette elementari o primitive o anche attività Arrow-

Debreu; se certe condizioni sono soddisfatte, tutte le attività …nanziarie

possono essere ricavate dalle attività AD. In questo caso si dice che il

mercato dei titoli è completo. 28

2. Utilizziamo i titoli AD per mostrare che i mercati dei titoli, se coadiuvati

da un dato insieme di mercati a pronti e da un’ipotesi sulle aspettative,

o¤rono le stesse opportunità dei mercati completi per beni contingenti.

Aspettative razionali

Conclusione: riguarda il numero dei mercati da attivare nei due casi. La

completezza dei mercati per beni contingenti richiede un totale di N S

mercati; per ottenere gli stessi risultati nel caso dei mercati dei titoli sono

necessari solo mercati.

+

S N

I titoli Arrow-Debreu

Il rendimento del titolo 1 è quello del titolo 2 è

( (

); ).

z ; z z ; z

11 12 21 22 29

I titoli AD sono attività elementari: il loro rendimento è pari a 1 se si realizza

un dato stato di natura, zero in tutti gli altri stati. Con solo due stati, due

attività AD: la prima ha un rendimento pari a la seconda attività

(1 0);

;

(0 1).

;

Un portafoglio in cui siano presenti un numero della prima attività AD e

z 11

della seconda attività AD. Il rendimento è

z 12 (1 0) + (0 1) = ( )

z ; z

; z ; z

11 12 11 12

ovvero il rendimento di una attività del titolo 1.

Se formiamo un portafoglio composto di unità della prima attività AD e

z 21

della seconda attività AD, il suo rendimento è

z 22 1) = (

0) + )

(0

(1 ; z ; z

; z

z 21 22

22

21 A AD AD

= +

P z P z P

11 12

1 1 2

A AD AD

= +

P z P z P

21 22

2 1 2 30

Condizione di non arbitraggio

I portafogli hanno gli stessi rendimenti dei due titoli, dovranno avere gli stessi

AD AD

prezzi. Il prezzo della prima attività AD è e quello della seconda .

P P

1 2

Qual è il signi…cato economico? Tre interpretazioni.

1. Assenza di arbitraggio

Un’opportunità di arbitraggio consiste in una strategia di investimento che

non comporta costi ma che garantisce un rendimento positivo in taluni stati

e nullo negli altri. Poiché i titoli AD o¤rono un rendimento positivo in uno

stato e nullo nell’altro, per la condizione di non arbitraggio il loro prezzo deve

essere positivo 31

2. Assenza di dominanza A A

Dividiamo i due lati della prima equazione e quelli della seconda per ,

P P

1 2

AD AD

1 = +

R P R P

11 12

1 2

AD AD

1 = +

R P R P

21 22

1 2

Sottraendo la seconda equazione dalla prima

AD AD

+ = 0

( ) ( )

P R R P R R

11 21 12 22

1 2

Poiché per la condizione di non arbitraggio i prezzi dei titoli AD sono positivi,

le espressioni in parentesi tonde debbono avere segni opposti. Se ,

R > R

11 21

allora deve valere l’opposto nel secondo stato. Nessun titolo deve risultare

dominante rispetto all’altro in tutti e due gli stati. Se così non fosse, tutti gli

investitori domanderebbero l’attività che rende di più vendendo quella che

rende di meno. Ciò causerebbe una variazione dei prezzi dei titoli …no a

ristabilire l’uguaglianza 32

3. Fattori di sconto contingenti

Tra l’acquisto di un titolo e la maturazione del reddito trascorre un certo

lasso di tempo. L’acquisto dei titoli avviene oggi, mentre i rendimenti si

realizzano domani. Ma la scelta di portafoglio avviene oggi, mentre i titoli

sono combinazioni di redditi contingenti che si ottengono domani. I prezzi

dei titoli rappresentano il valore che hanno oggi questi redditi contingenti,

ne rappresentano il valore attuale. Poiché il primo titolo AD o¤re un rendi-

AD

mento pari a uno nello stato 1 e zero nello stato 2, rappresenta il valore

P

1 AD

attuale oggi di una unità di reddito se si veri…ca lo stato 1 domani. P

1

AD

e hanno la natura di fattori di sconto contingenti (stocastici).

P

2 33

1

AD

P 1 0

domani

oggi

In condizioni di certezza, il valore di un’attività è dato dal valore attuale della

somma dei rendimenti futuri.

In condizioni di incertezza il valore di un’attività può essere calcolato in modo

analogo con l’avvertenza che i rendimenti sono contingenti, dipendono dallo 34

stato di natura. Essi vanno scontati utilizzando un fattore di sconto che

dipende a sua volta dallo stato di natura. Questi fattori di sconto sono i

prezzi dei titoli AD.

L’ipotesi di completezza del mercato dei titoli

Le tre interpretazioni poggiano sull’ipotesi che sia possibile de…nire i prezzi

dei titoli AD. Riscriviamo in forma matriciale

! ! !

A AD

P z z P

11 12

1 1

= =

)

A AD

z z

P P

21 22

2 2

A AD

=

P ZP

De…nire i prezzi dei titoli AD signi…ca che è possibile trovare l’inversa di ,

Z

1

cioè Z 1

AD A

=

P Z P 35

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sulla scelta di portafoglio. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il vincolo di bilancio, la posizione di ottimo, il titolo non rischioso, l'asset pricing, il teorema di separazione, i titoli arrow-debreu, la condizione di non arbitraggio, l'ipotesi di completezza del mercato dei titoli, il ruolo delle aspettative.