Economia finanziaria - la scelta di portafoglio

La scelta di portafoglio

Enrico Saltari 1

La scelta di portafoglio

La scelta di portafoglio: il modo in cui un individuo decide di allocare la

propria ricchezza tra più titoli

Il mercato dei titoli è un’istituzione che consente all’individuo attraverso lo

scambio di trasferire risorse da uno stato all’altro e di fronteggiare il rischio.

Un titolo ha un rendimento incerto, variabile a seconda dello stato del mondo;

“paniere”o combinazione di redditi contingenti: un dato reddito se si veri…ca

lo stato 1, un altro reddito se si veri…ca lo stato 2. 2

Il vincolo di bilancio

Soltanto due titoli. Il vincolo di bilancio come vincolo sul valore dei titoli,

sulla scelta di portafoglio A

A A A + =

+ = A P A W

P A P A P 1 2

1 2 2

1 2 1

A A

+ =

P A P A W

1 2

1 2

A

Con = A =W

P i

i i A A

P A P A

1 2

1 2

+ = + =1

1 2

W W

Soltanto due stati: è il rendimento del titolo , nello stato ,

= 1 2,

z i i ; s

is

= 1 2.

s ;

I redditi contingenti che una data allocazione della ricchezza produce

= +

y A z A z

1 1 11 2 21

= +

y A z A z

2 1 12 2 22 3

A

A e quindi

Poiché =

= A =W A W=P

P i i i

i i

i z z

11 21

= +

y W W

1 1 2

A A

P P

1 2

z z

12 22

= +

y W W

2 1 2

A A

P P

1 2

Il tasso di rendimento r is

A

z P z

is is

i = 1 + =

r r R

)

is is is

A A

P P

i i

dove rappresenta il rendimento totale del titolo nello stato

R i s:

is = [ + ]

y R R W

1 1 11 2 21

= [ + ]

y R R W

2 1 12 2 22 4

ß àW

= J + J

y R R

1 1 11 2 21

+ =

A A

P A P A W

1 2

1 2 ß àW

= J + J

y R R

2 1 12 2 22

I rendimenti dei due titoli nei due stati

L’individuo avrà un reddito che dipende dall’ammontare acquistato dei

y s

due titoli e dal loro tasso di rendimento in quello stato. 5

y 2 D α < 0

2 α =1

1

WR 12 A α =1

2

WR α < 0

22 B 1 C y

WR WR 1

11 21

Il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti 6

Se le quantità acquistate dei due titoli debbono essere non negative, il vincolo

di bilancio individuale è limitato al tratto AB

Il vincolo ha una pendenza negativa; in particolare, abbiamo supposto che

se si veri…ca lo stato 1, il titolo 2 ha un rendimento più elevato del titolo 1

( ), mentre l’opposto è vero se si veri…ca lo stato 2 ( ).

R > R R > R

21 11 12 22

Se così non fosse, se uno dei due titoli avesse un rendimento più elevato in

tutti e due gli stati e risultasse perciò dominante sull’altro, non si porrebbe

nemmeno un problema di scelta: verrebbe acquistato soltanto il titolo più

redditizio. Vedremo più avanti che questa situazione non può veri…carsi se è

soddisfatta la condizione di non arbitraggio.

Le vendite allo scoperto implicano che gli possano assumere valori nega-

i

tivi: si vende un titolo che non si possiede prendendolo a prestito da qualcuno

con l’impegno di restituirlo alla scadenza una volta che lo stato del mondo

si sia rivelato; con il ricavato della vendita si acquista l’altro titolo. 7

Un’espressione formale per il vincolo di bilancio in termini di redditi contin-

genti = [ +

( ) ]

y R R R W

1 1 11 21 21

= [ +

( ) ]

y R R R W

2 1 12 22 22

Ricaviamo dalla prima equazione

1 )

( =W R

y 1 21

=

1 R R

11 21

e sostituendo nella seconda equazione

R R

12 22

= [ ] +

W R

y y W R

2 1 21 22

R R

11 21

Non è consentito di trovarsi in uno stato del mondo con un reddito negativo.

Il signi…cato economico di questa condizione è che escludiamo il fallimento 8

La posizione di ottimo

La scelta ottima di portafoglio. Un modo molto semplice è uguagliare la

pendenza delle curve di indi¤erenza a quella del vincolo

0 ( )

U R R

dy y

1 12 22

2 1

= = =

)

0

dy R R

( )

U y

1 11 21

2 2

0 ( )

U R R

y

1 22 12

1 =

0 R R

( )

U y 11 21

2 2

L’individuo massimizza la propria utilità attesa dato il vincolo di bilancio

max ( ) = ( ) + ( )

E U U y U y

1 1 2 2

;

1 2

dove gli sono

y s = [ + = 1 2

]

y R R W; s ;

s 1 1s 2 2s

e la massimizzazione è soggetta al vincolo + = 1 :

1 2

= ( ) + [1 ( + )] =

E U

L )

1 2 9

@L 0 0

= + =0

( ) ( )

U y W R U y W R

1 1 11 2 2 12

@ 1

@L 0 0

= + =0

( ) ( )

U y W R U y W R

1 1 21 2 2 22

@ 2

@L = 1 ( + = 0

)

1 2

@

Si ricava 0 0 0 0

+ = +

( ) ( ) ( ) ( )

U y R U y R U y R U y R

1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 22

2

Dalla de…nizione di rendimento R is z is

= =

R )

is A

P

i

h i h i

0 0

( ) = ( ) =

E U y R E U y R )

s s

1s 2s

0 0

0 0 ( ) + ( )

+

( ) ( ) U y z U y z

U y z U y z 1 1 21 2 2 22

1 1 11 2 2 12 =

A A

P P

1 2 10

L’individuo nella posizione di ottimo ripartisce la propria ricchezza tra i due

titoli in modo tale che l’ultimo euro impiegato nell’acquisto del titolo 1 for-

nisca la stessa utilità marginale attesa dell’ultimo euro impiegato nell’acquisto

del titolo 2.

La scelta di portafoglio: il caso generale

titoli, con La ricchezza viene allocata tra questi titoli in modo

2.

N N W

da rispettare il vincolo di bilancio

N

X A =

P A W

i

i

1

Il vincolo di bilancio come vincolo sulle quote di ricchezza investite in ciascun 11

titolo N

N A X

X A

P i

i = =1

i

W 1

1

Il valore …nale della ricchezza derivante da una data allocazione dipende dai

tassi di rendimento (contingenti) dei titoli acquistati.

Nel caso di titoli il reddito contingente che deriva da una data allocazione

N

della ricchezza è N

N

X X

(1 + ) =

= R

r W

y W

s i is i is

1

1

Il problema di ottimo consiste nel massimizzare l’utilità attesa del reddito

contingente y s S

X

max ( ) = ( )

E U U y

s s

i 1 12

nel rispetto del vincolo di bilancio

N

X =1

i

1

Formando il lagrangiano L 0 1

N

X

@ A

= ( ) + 1

E U

L i

1

derivando rispetto a e ,

i

S

@L P 0

= ( ) = 0 = 1

U y W R ; i ; : : : ; N

s s is

@ 1

i N

@L P

=1 =0

i

@ 1

h i h i

0 0

= = =

( ) ( )

E U E U ; i j

y R y R

) 6

s s

is js 13

Esercizio

Due stati con probabilità e Vi sono soltanto due titoli. Gli

= 1 3 = 2 3

= = :

1 2

sono indicati qui di seguito

R is titolo 1 2

1 3 0

stato 2 0 3

Posto che la funzione di utlità sia logaritmica, determinare le

( ) = ln ( )

u y y ;

quote di portafoglio investite nei due titoli.

Risposta. Scriviamo la condizione di ottimo in questo caso

S

P 0 = 0 = 1 2

( )

U y W R ; i ;

s s is

1

cioè 0 0 0 0

+ = +

( ) ( ) ( ) ( )

U U U U y R

y R y R y R

1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 22

2 14

o ancora 0 ( ) R R

U y 1 22 12

1 =

0 R R

( )

U y 11 21

2 2

Sostituendo 1 3

y 2 = = = 2

y y

) 2 1

2 3

y 1

Date le de…nizioni di e e la precedente condizione può essere

= 1

y y ;

1 2 2 1

scritta come

= = 2 = 2 (

( ) + ( ) + )

y R y R

R R R R

2 1 12 22 22 1 1 11 21 21

da cui 1 2

( 3) + 3 = 2 ( (3)) = = ; =

)

1 1 1 2

3 3

Il titolo non rischioso

Accanto agli titoli considerati, ve ne sia un altro privo di rischio con

N

rendimento = 1 +

R r :

0 0 15

titoli sicché il vincolo di bilancio è

+ 1

N N

X =1

i

0

Il problema di ottimo rimane immutato e alle FOC va aggiunta

S

X 0 =0

( )

U y W R

s s 0

1

Sottraendo questa equazione da tutte le altre condizioni del primo ordine

N