Economia finanziaria - la scelta di portafoglio

Analisi del rendimento del titolo

A A+ =P A P A W1 21 2ACon = A =WP ii i A AP A P A1 21 2+ = + =11 2W WSoltanto due stati: è il rendimento del titolo , nello stato ,= 1 2,z i i ; sis= 1 2.s ;I redditi contingenti che una data allocazione della ricchezza produce= +y A z A z1 1 11 2 21= +y A z A z2 1 12 2 22 3AA e quindiPoiché == A =W A W=PP i i ii ii z z11 21= +y W W1 1 2A AP P1 2z z12 22= +y W W2 1 2A AP P1 2Il tasso di rendimento r isAz P zis isi = 1 + =r r R)is is isA AP Pi idove rappresenta il rendimento totale del titolo nello statoR i s:is = [ + ]y R R W1 1 11 2 21= [ + ]y R R W2 1 12 2 22 4ß àW= J + Jy R R1 1 11 2 21+ =A AP A P A W1 21 2 ß àW= J + Jy R R2 1 12 2 22I rendimenti dei due titoli nei due statiL’individuo avrà un reddito che dipende dall’ammontare acquistato deiy sdue titoli e dal loro tasso di rendimento in quello stato. 5y 2 D α < 02 α =11WR 12 A α =12WR α < 022 B 1 C yWR WR 111 21Il vincolo di bilancio in

termini di redditi contingenti 6

Se le quantità acquistate dei due titoli debbono essere non negative, il vincolo di bilancio individuale è limitato al tratto AB

Il vincolo ha una pendenza negativa; in particolare, abbiamo supposto che se si verifica lo stato 1, il titolo 2 ha un rendimento più elevato del titolo 1 ( ), mentre l'opposto è vero se si verifica lo stato 2 ( ).

R > R R > R

21 11 12 22

Se così non fosse, se uno dei due titoli avesse un rendimento più elevato in tutti e due gli stati e risultasse perciò dominante sull'altro, non si porrebbe nemmeno un problema di scelta: verrebbe acquistato soltanto il titolo più redditizio. Vedremo più avanti che questa situazione non può verificarsi se è soddisfatta la condizione di non arbitraggio.

Le vendite allo scoperto implicano che gli possano assumere valori negativi: si vende un titolo che non si possiede prendendolo a prestito da

qualcuno con l'impegno di restituirlo alla scadenza una volta che lo stato del mondo si sia rivelato; con il ricavato della vendita si acquista l'altro titolo.

Un'espressione formale per il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti:

[+( )]y R R R W1 1 11 21 21 = [+( )]y R R R W2 1 12 22 22

Ricaviamo dalla prima equazione:

1 )( =W Ry 1 21 = 1 R R11 21

e sostituendo nella seconda equazione:

R R12 22 = [ ] +W Ry y W R2 1 21 22

R R11 21

Non è consentito di trovarsi in uno stato del mondo con un reddito negativo. Il significato economico di questa condizione è che escludiamo il fallimento.

La posizione di ottimo:

La scelta ottima di portafoglio. Un modo molto semplice è uguagliare la pendenza delle curve di indifferenza a quella del vincolo:

0 ( )U R Rdy y1 12 222 1 = = =)0dy R R( )U y1 11 212 20 ( )U R Ry1 22 121 =0 R R( )U y 11 212 2

L'individuo massimizza la propria utilità attesa dato il vincolo di bilancio:

max ( ) = ( ) + (

)E U U y U y1 1 2 2;1 2dove gli sonoy s = [ + = 1 2]y R R W; s ;s 1 1s 2 2se la massimizzazione è soggetta al vincolo + = 1 :1 2= ( ) + [1 ( + )] =E UL )1 2 9@L 0 0= + =0( ) ( )U y W R U y W R1 1 11 2 2 12@ 1@L 0 0= + =0( ) ( )U y W R U y W R1 1 21 2 2 22@ 2@L = 1 ( + = 0)1 2@Si ricava 0 0 0 0+ = +( ) ( ) ( ) ( )U y R U y R U y R U y R1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 222Dalla definizione di rendimento R is z is= =R )is APih i h i0 0( ) = ( ) =E U y R E U y R )s s1s 2s0 00 0 ( ) + ( )+( ) ( ) U y z U y zU y z U y z 1 1 21 2 2 221 1 11 2 2 12 =A AP P1 2 10L’individuo nella posizione di ottimo ripartisce la propria ricchezza tra i duetitoli in modo tale che l’ultimo euro impiegato nell’acquisto del titolo 1 for-nisca la stessa utilità marginale attesa dell’ultimo euro impiegato nell’acquistodel titolo 2.La scelta di portafoglio: il caso generaletitoli, con La ricchezza viene allocata tra questi titoli in modo2.N N Wda rispettare il vincolo di

determinare le quote di portafoglio investite nei due titoli.

Risposta. Scriviamo la condizione di ottimo in questo caso

SP₀ = 0 = 1/2( )U_yW_R ; i ; s s is1

cioè 0 = +( ) ( ) ( ) ( )U_UU_Uy_Ry_Ry_R1 1 11 2 2 12 1 1 21 2 2 222 14

o ancora 0 ( ) R R_Uy₁2 121 =0 R R( )U_y11 212 2

Sostituendo 1 3y₂ = = = 2y_y) 2 12 3y₁

Date le de…nizioni di e e la precedente condizione può essere

= 1y_y ;1 2 2 1

scritta come

= = 2 = 2 (( ) + ( ) + )y_Ry_RR_RR_R2 1 12 22 22 1 1 11 21 21

da cui 1 2( 3) + 3 = 2 ( (3)) = = ; =)1 1 1 23 3

Il titolo non rischioso

Accanto agli titoli considerati, ve ne sia un altro privo di rischio conNrendimento = 1 +R r :0 0 15titoli sicché il vincolo di bilancio è+ 1N NX =1i0

Il problema di ottimo rimane immutato e alle FOC va aggiuntaSX₀ =0( )U_yW_Rs s 01

Sottraendo questa equazione da tutte le altre condizioni del primo ordineNSP₀ =)( ) ( ) = 0 = 1U_Ry_R ; i ; : : : ; Ns s 0is1 h i0 = 0 = 1( ) ( )E U_yR R ;

i ; : : : ; Ns 0isRicordando la de…nizione di covarianza( ) = ( = ( ) =)) (cov X; Y E X Y E XY )X Y X Y( ) = ( ) +E XY cov X; Y X Y 16si ha ih 0 = 0 =)( ) ( RE U y R )s 0is ih 00 + ( ) = 0 =( )( ) REE Ucov U Ryy ; R )ss 0isisLa precedente condizione di ottimo a¤erma in sostanza che l’eccesso di rendi-mento ovvero il premio al rischio, valutato in termini di utilità marginale attesa,deve essere uguale per tutti i titoli. Se si è neutrali al rischio, l’utilità marginaleè costante e la precedente condizione implica che il premio al rischio deve essereuguale per tutti i titoli. 17EsercizioSupponete che vi siano tre stati con la stessa probabilità di veri…carsi. Gli R issono titolo 0 1 21 1 3 0stato 1 0 62 1 0 03Posto che la funzione di utilità sia logaritmica, determinare le( ) = ln ( )u y y ;quote di portafoglioRisposta. La condizione del primo ordine è0 00 = 0 = 1 2 3)) ( )+ ( ) ()+ (( ) ( ; i ; ;R RU y R