Economia finanziaria - il consumatore

La funzione di utilità e le preferenze del consumatore

U U ; Q QQ ; U QA B A BSi noti che se dico che preferisco un paniere a un altro, allora l'utilità è maggiore.Non è vero però il contrario, nel senso che non è vero che le preferenze discendonodall'utilità. Questo perché non possiamo dare alcuna particolare interpretazione ai9valori della funzione di utilità in termini di soddisfazione. Non possiamo dire chese l'utilità raddoppia, allora anche la nostra soddisfazione raddoppia. Non servecomunque a de…nire il paniere migliore.Siccome la funzione di utilità non fa che rappresentare l'ordinamento stabilito dallepreferenze del consumatore, essa viene spesso de…nita ordinale.Utilizzando l'indice di utilità, ricaviamo un'espressione per le curve di indi¤erenza.1. Poiché le curve di indi¤erenza costituiscono il luogo dei punti dove l'indice diutilità è costante,

L'espressione per le curve di indifferenza si ottiene ponendo l'indice uguale a una costante (un dato numero), diciamo k, per esempio, = ( =) = =U U Q ; Q Q kk U QA B A B2. Ricaviamo poi l'espressione della quantità di un bene, diciamo in funzione dell'altro, . Utilizzando l'esempio precedente, si ottiene A k= = =Q Q k Q)A B B QA 10

Esercizio: Se le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità =U, qual è la forma delle curve di indifferenza? +Q Q ;a b

Esercizio p: Come sono fatte le curve di indifferenza se la funzione di utilità ha la forma = Q Q ;U A B? 11

La scelta del consumatore: Il consumatore è razionale e sceglie perciò l'alternativa migliore tra tutte quelle disponibili. Graficamente, l'alternativa migliore, l'ottimo, corrisponde al punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza che giace più in alto. Per descrivere

più in dettaglio l’esito di questa scelta, introduciamo il concetto di utilità marginale. Essa è l’utilità addizionale che si ottiene consumando una unità aggiuntiva del bene ma mantenendo invariato il consumo di A BU=U M A QA

Il saggio marginale di sostituzione

Il saggio marginale di sostituzione tra due beni come e rappresenta quanto il consumatore è disposto a cedere di un bene per avere una unità dell’altro bene 12 tenendo costante l’utilità. In formula, esso è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni Q U M AB ==SM S Q U MA B

Se questo rapporto fosse uguale a 2, per il consumatore il bene varrebbe il doppio in termini di utilità del bene vorrebbe perciò 2 unità di per rinunciare a 1:B B unità di A

Gra…camente, esso è rappresentato dalla pendenza in un punto della curva di indifferenza.

Per ottenere l’espressione del procediamo

utilizzando di nuovo la definizione di curva di indifferenza come luogo dei punti dove l'utilità è costante.

1. Quando facciamo variare la quantità di e e la variazione dell'utilità è data dalla somma delle due utilità marginali per le rispettive variazioni di quantità:

   ΔU = ΔU_MQ + ΔU_MA

2. Poiché lungo una curva di indifferenza possiamo ricavare il rapporto tra le variazioni delle due quantità. Il risultato è il seguente:

   ΔU/ΔQ = ΔU/ΔA

Esempio: L'utilità marginale Calcoliamo l'utilità marginale del bene quando la funzione di utilità ha la forma U = A√Q. Supponiamo che il consumatore consumi 10 unità di e e 5 unità di A. La sua utilità è quindi pari a:

U = 10√5

Se aumenta il consumo di A di una unità, cosicché l'utilità totale passerà a:

U = 11√5

L'incremento di utilità sarà quindi:

ΔU = 11√5 - 10√5

55Q ; U ;1Autilità sarà L’utilità marginale è quindi= = 5U U U :1 0 5U = =5=U M A 1QADetto a parole, questo risultato signi…ca che l’utilità marginale di coincide per questaAfunzione di utilità con la quantità consumata di che nell’esempio era pari a 5. Più inB; 14generale, poniamo che, quando il consumatore consuma le quantità e l’utilitàQ Q ;A0 B0sia Quando consuma una quantità addizionale del bene pari a=U Q Q : A Q0 A0 B0 A(ma una quantità invariata del bene ), la sua utilità sarà .= ( + )B U Q Q Q1 A0 A B0Se calcoliamo la di¤erenza, otteniamo=U U U1 0= ( + )Q Q Q QQA0 A B0 A0 B0= Q QA B0e perciò l’utilità marginale di è uguale in generale alla quantità di inizialmenteA Bconsumata. U == QU M B0A QAPoiché questi valori sono dati, possiamo sostituirli nella funzione di domanda. Ripetendogli stessi passi per

calcolare l'utilità marginale di otteniamoB;U == QU M A0B QBcome d'altra parte ci si doveva aspettare, visto che e "pesano" allo stesso modoA Bnell'utilità del consumatore: scambiando infatti la quantità consumata di con quella diAl'utilità del consumatore rimane invariata.B; 15

EsercizioScrivete la condizione che definisce il saggio marginale di sostituzione in termini di utilitàmarginali e datene una rappresentazione grafica attraverso la curva di indifferenza. See l'utilità marginale di è 30, a quanto deve ammontare l'utilità marginale= 3SM aS adi ?b 30U M aU M aRisposta. Poiché = = = 10= ; U M :SM aS b 3UMb SM aSEsercizioSe le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità =Uqual è l'utilità marginale di e ? E il+ ?Q Q ; A B SM Sa b 16La scelta ottimaSe mettiamo assieme l'insieme di bilancio con

Le preferenze del consumatore, siamo ora in grado di precisare quale sarà la scelta del consumatore. Prima di tutto, per l'assioma di non sazietà il consumatore sceglierà solo i paniere che si trovano sul vincolo di bilancio. In secondo luogo, il paniere scelto deve trovarsi sulla curva di indifferenza più in alto fra quelle raggiungibili. La scelta ottima deve quindi rendere massima l'utilità. Deve perciò esserci tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza. Se così non fosse e vi fosse intersezione, un tratto del vincolo di bilancio si troverebbe al di sopra della curva di indifferenza su cui si trova il paniere scelto, e sarebbe così possibile raggiungere una curva di indifferenza che si trova più in alto. (Vi sono casi particolari - curve di indifferenza con spigoli, ottimi d'angolo - in cui non vi è intersezione ma nemmeno tangenza. Inoltre, la

tangenza è certamente un ottimo solo se assumiamo, come abbiamo fatto, che le curve di indifferenza siano convesse.)17 Se vi deve essere tangenza, la pendenza del vincolo di bilancio deve essere uguale a Pa. Ciò può essere interpretato in due modi: 1. Nel punto di ottimo la valutazione soggettiva del consumatore deve coincidere con quella oggettiva del mercato. Se così non fosse, il consumatore migliorerebbe la propria situazione cedendo il bene che valuta di meno e ottenendo in cambio quello che valuta di più. Ciascun di questi rapporti rappresenta l’utilità marginale ponderata, ovvero quanto contribuisce all’utilità un euro speso in più nell’acquisto del bene o via b: 2. Possiamo riscrivere la condizione di tangenza come = :P Pa b. Se non vi fosse uguaglianza, al consumatore converrebbe spostare i propri acquisti dal bene che rende di

meno in termini di utilità a quello che rende di più. Assumeremo che l'utilità marginale sia sempre positiva, ovvero che il consumo aggiuntivo aumenti comunque l'utilità.

La scelta ottima può quindi essere caratterizzata nel seguente modo:

U_MA = U_MB = P_A/P_B

Il rapporto tra l'utilità marginale di un bene e il suo prezzo viene definito utilità marginale ponderata: esso esprime l'utilità marginale di un euro speso nell'acquisto di quel bene.

Semplicemente riscrivendo la condizione di ottimo come:

P * U_MA = U_MB * B

si vede che la condizione di ottimo si può esprimere anche come uguaglianza tra il tasso marginale di sostituzione e il prezzo relativo. Graficamente, questa condizione corrisponde all'uguaglianza tra la curva di indifferenza e il vincolo di bilancio.

La condizione di ottimo ci dice che le utilità marginali ponderate debbono essere tra loro uguali. Se così non fosse,

l'utilità non sarebbe massima. 19U MU M BA , sarebbe conveniente spostare un euro dall'acquistoEsempio: se fosse >P PA Bdi (dove rende di meno in termini di utilità marginale) all'acquisto di .B ASupponiamo che = 10 = 1 2 = 12 = 1U M ; P = ; U M ; PA A B BU M U MA B= 20 12 =>P PA BRinunciando a comprare una unità di , il consumatore può acquistare due unità diB. In tal modo la sua utilità aumenta di 8.AEsercizioLe preferenze di un consumatore sono rappresentate da una famiglia di curve di indifferenza, con la quantità del bene sulle ordinate e quello del bene sulle ascisse, il cui saggio marginale di sostituzione è pari a Il prezzo del bene è pari a 4 mentreQ =Q : aabquello del bene è 1; il reddito del consumatore è 100. Quali sono le quantità domandatebdei due beni? 20QbRisposta. Il saggio marginale di sostituzione è in questo caso mentre=