Che materia stai cercando?

Economia finanziaria - il rischio economico

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul rischio economico. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l' avversione al rischio, il premio per il rischio, il costo delle fluttuazioni cicliche, la trasformazione concava, il criterio media-varianza, il MPS, la dominanza stocastica del primo... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Propensione al rischio 6

Un approfondimento. Avversione al rischio e concavità

Avversione al rischio e concavità coincidono nella de…nizione appena data

[ ( )] [ ( )]

U E w > E U w

Il motivo è dovuto alla cosiddetta disuguaglianza di Jensen. Questa sta-

bilisce che, data una funzione dove è una variabile casuale,

( ) ( ( ))

f x x f E x >

se e solo se è una funzione concava.

[ ( )] ( )

E f x f x 7

l(x)

f(x) x

E(x)

Poiché la funzione è concava, cioè la retta tangente

( ) = + ( ),

l x a bx f x

giace sempre sopra la Solo nel punto le due funzioni hanno lo stesso

( ). ( ),

f x E x

valore. Vale a dire, nel punto si ha inoltre, poiché

( ) ( ( )) = ( ( )) ;

E x l E x f E x

è una funzione lineare Perciò,

( ( )) = ( ( )) ( ( )) = ( ( )) =

l l E x E l x : f E x l E x

La disuguaglianza segue dal fatto che

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 0

E l x E f x : l x f x :

Prendendo l’aspettativa, e quindi

[ ( ) ( )] 0 ( ( )) ( ( ))

E l x f x ; E l x E f x : 8

Misure dell’avversione al rischio

Il premio per il rischio, (w).

R

Costituisce la somma certa che un individuo avverso al rischio è disposto a pagare

per risultare indi¤erente tra l’avere con certezza e la distribuzione di

+ ( )

w E w

0

probabilità :

+

w w

0 ( + ( ) ( )) = [ ( + )]

U w E w R w E U w w

0 0

Esempio. Il premio al rischio

Supponiamo che: 9

p

a. la funzione di utilità sia , e che la ricchezza iniziale sia

( ) = =

U w w w 0

1000

b. il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere

o con la stessa probabilità sicché Allora

0 200 ( ) = 5 0+ 5 200 = 100

E w : : :

p

+ 1100 = 33 16

( )) =

( E :

U w

w 0

e p p

( ( + )) = 0 5 1000 + 1200 = 33 13

E U w w : :

0

Il premio per il rischio è dato da quel valore che uguaglia le precedenti

espressioni ( + ( ) ( )) = ( ( + )) = ( )

U w E w R w E U w w E U

0 0

Esso è dato dalla seguente espressione

1 1

+ ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = + ( ) ( ( ))

w E w R w U E U R w w E w U E U

!

0 0

2

( ) = 1000 + 100 33 13 = 2 4

R w : : 10

mentre l’equivalente di certezza è

( ) = ( ) ( ) = 100 2 4 = 97 6

C w E w R w : :

Si noti che ( + ( )) = ( ) = 33 13

U w C w E U :

0 11

+Dw)

U( w

0

U(E( w)) U(w)

E(U( w))

-Dw)

w

U( 0 R(w) w

-Dw +Dw

w +C(w)

w w +E(w) w

0

0 0 0 12

Esempio. Il rischio puro

Il rischio è de…nito puro quando il suo valore atteso è nullo. Supponiamo che per

prender parte al gioco de…nito prima occorra pagare una posta di 100

1 1

2 2

200 100

! !

100 + =

0 100

! !

1 1

2 2

La forma …nale del gioco mostra che il rischio è puro. Il premio al rischio è de…nito

da +

( ( )) = [ ( )]

U R w

w w E U w

0 0

Se la funzione di utilità è logaritmica e il gioco è quello rappresentato

= 1000,

w 0

nel diagramma 1 (ln (900) + ln (1100))

ln (1000 ) =

R !

2

p

1000 = 900 1100 = 1000 995 = 5

R R

! 13

Si preferisce cioè pagare 5 (o meno di 5) piuttosto che sopportare il rischio

connesso al gioco. A quanto ammonta l’equivalente di certezza?

Il coe¢ ciente di avversione al rischio

1. È una misura della concavità della funzione di utilità tale da renderla indipen-

dente da trasformazioni lineari: 00 ( )

U w 0

( =

)

w 0 0 )

(

U w 0

In questo caso si parla di avversione assoluta al rischio perché il rischio entra

in forma additiva, +

w w:

0 14

Esempio. Avversione assoluta al rischio

p 1

1

0 00

Allora, e

a. la funzione di utilità sia ( ) = ( ) = ( ) =

w: U w U

U w w w

2

2

32

1 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w :

4 3

1

00 w 1

( )

U w 2

0 1

4

= =

( ) = w

w 0 1

0 2

( )

U w 1

0 w 2

2 1

0 00

b. la funzione di utilità sia e

Allora,

( ) = ln ( ). ( ) = ( ) =

U U

w w U w w w

2 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w : 2

00 )

(

U w w

0 1

( = = =

)

w w

0 1

0 ( )

U w w

0 0

c. la funzione di utilità sia Allora,

( ) = exp ( ). ( ) = exp ( )

U w aw U w a aw

2

00

e Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

exp

( ) = ( )

U w a w : 2

00 exp ( )

( )

U a w

w 0

( = =

) =

w a

0 0 exp ( )

( )

U w a w

0 15

In questo caso l’avversione al rischio è costante e pari ad a:

()

2

e

0

1

w

3

xp

.8

.6

.4

.2 16

Esempio. Premio al rischio e coe¢ ciente di avversione al rischio

Il premio al rischio e il coe¢ ciente di avversione al rischio sono legati dalla seguente

relazione (denominata approssimazione di Arrow-Pratt)

2

w ( )

( ) w

R w ' 2

2

con che rappresenta la varianza del rischio.

w

Un approfondimento. La relazione tra premio al rischio e avversione al

rischio

Per ottenere questa relazione, facciamo uso dell’espansione in serie di Taylor di

una funzione nell’intorno di :

( )

f x x 0 1 2

00

0 ( ) ( )

( ) ( ) + ( ) ( ) + f

f x x x

x f x f x x x

' 0 0 0 0 0

2 17

Partiamo dalla de…nizione di premio al rischio in presenza di un rischio puro

( ( )) = [ ( + )]

U w R w E U w w

0 0

Espandiamo in serie di Taylor i due lati di questa de…nizione nell’intorno di w :

0

Il lato a sinistra diviene 0

( ( )) = ( + ( )

) ( ) ( )

U w R w U w U w w R w w

0 0 0 0 0

0

= ( ) ( ) ( )

U w R w U w

0 0

Il lato di destra entro parentesi quadre diviene 1 2

0 00 ( ) ( + )

( + ) = ( ) + ( ) ( + ) + U w w w w

U w w U w U w w w w 0 0 0

0 0 0 0 0 2

1 2

0 00

+

+

= ( ) )

) ( (

w w

U w U w

U w 0 0

0 2

E prendendo l’aspettativa 1 2

00

[ ( + )] = ( +

) ( )

E U w w U w U w

0 0 0 w

2 18

perché siamo in presenza di un rischio puro con Uguagliando i due lati

= 0

Ew :

appena calcolati, si ha 2

1 w

2

0 00 ( ) = ( )

( ) ( ) = ( )

U R w w

R w U w w )

0 0 w

2 2

Esempio

Nell’esempio con il rischio puro 1

2 100

! 100

!

1

2

con funzione di utilità logaritmica e In questo esempio

= 1000 ( ) = 5

w ; R w :

0 4 1

10

2 4 1

e Applicando l’espressione precedente, si ha

= 10 = = =

w : R

w 3

2 10

5 : 19

2. Se invece il rischio compare in forma moltiplicativa, si parla di

+ ),

(1

w w

0

avversione relativa al rischio e il coe¢ ciente di avversione al rischio è:

00 ( )

U w 0

( ) =

w w

0 0 0 ( )

U w 0

Tutti e due i coe¢ cienti variano al variare del livello della ricchezza, potendo

risultare crescenti, costanti o decrescenti.

Esempio. Avversione relativa al rischio

p 12

1 00

0

Allora, e

a. La funzione di utilità sia ) = ) =

( ) = (

(

w: U w w U w

U w 2

32

1 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

:

w

4 3

1

00 w 1

( )

U w 2

0 4

= =

( ) = w w

w 0 0 1

0 2

( )

U w 1

0 w 2

2 20

1

0 00

b. La funzione di utilità sia Allora, e

( ) = ln ( ). ) = ) =

( (

U w w U w w U w

2 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w : 2

00 ( )

U w

w 0 = =1

( ) = w w

w 0 0 1

0 ( )

U w

w 0

c. Una forma generale di funzione di utilità che presenta un coe¢ ciente di

avversione relativa al rischio costante (denominata ) è

CRRA

1

w se = 1 ( ) = ln ( )

( ) = ; ; U w w

U w 1

dove rappresenta il coe¢ ciente di avversione relativa al rischio

1

00 ( )

U w

w 0 = =

( ) = w w

w 0 0

0 ( )

U w

w 0 21

Gamma minore o uguale a 1

10

6.325

1

1 5

2

x 1

2

ln ( x

) 0 2 4 6 8 10

− 4.605 5 0 x 10

La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante minore o uguale

a1 22

Gamma maggiore di 1

0 2 4 6 8 10

− 3

− ×

5 10 0.1

1 2

x −

1 2 0.2

1 3

x −

1 3 0.3

− 0.36 0.4

La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante maggiore di 1

0 x 10

d. Nel caso di avversione relativa al rischio e rischio moltiplicativo, si parla di

premio relativo al rischio – di premio per unità di ricchezza. È la quota della

ricchezza cui saremmo disposti a rinunciare per non sopportare il rischio.

Supponiamo che la ricchezza iniziale sia soggetta a un rischio per cui

w w

0 23

può aumentare o diminuire di una stessa percentuale con uguale probabilità.

g

Allora il premio relativo al rischio è de…nito da

( )

R w

1 1

( ) = ( (

(1 + )) + (1 )) = ( [ (1 + ) ])

E U U w U w

g g U w E w R

0 0 0

2 2

Se la funzione di utilità è logaritmica, la ricchezza iniziale è normalizzata a

1 e la quota di ricchezza cui siamo disposti a rinunciare è

= 10%,

g 1 1

ln (1 + 1) + ln (1 1) = ln (1 = 0 5%

)

: : R :

R

!

2 2

Anche in questo caso vale l’approssimazione Arrow-Pratt

2

R w

= =

R 2

w

Supponiamo che possiamo perdere o guadagnare con uguale probabilità il

20% della nostra ricchezza. A quale quota della ricchezza siamo disposti a

rinunciare per non sopportare questo rischio? Se la risposta è il 2%, allora il

coe¢ ciente di avversione al rischio è

2 2 2%

R

= = =1

2 4%

w 24

Esempio. Il costo delle ‡uttuazioni cicliche

Il gra…co che segue mostra l’andamento del reddito pro capite, espresso in tassi

di crescita, dagli anni 60 a oggi. La linea tratteggiata indica il tasso medio di

crescita, pari a circa il 2.7%. Qual è il costo economico di queste ‡uttuazioni?

Quanto saremmo di sposti a pagare per eliminare completamente? Rispondiamo

facendo uso del premio relativo al rischio e della funzione di utilità CRRA:

1 1

+

+ ) (1

(1 )

g

g C

=

E 1 1 25


PAGINE

46

PESO

222.31 KB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul rischio economico. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l' avversione al rischio, il premio per il rischio, il costo delle fluttuazioni cicliche, la trasformazione concava, il criterio media-varianza, il MPS, la dominanza stocastica del primo ordine e del secondo ordine.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Economia finanziaria

Economia finanziaria - modello reddito-spesa
Appunto
Economia finanziaria - la teoria dell’'utilità attesa
Appunto
Economia finanziaria - la contabilità nazionale
Appunto
Economia finanziaria - la scelta di portafoglio
Appunto