Economia finanziaria - il rischio economico

Premio al rischio e coe¢ ciente di avversione al rischio

Il premio al rischio e il coe¢ ciente di avversione al rischio sono legati dalla seguente relazione (denominata approssimazione di Arrow-Pratt):

2w ( )( ) wR w ' 22

con w che rappresenta la varianza del rischio.

Un approfondimento. La relazione tra premio al rischio e avversione al rischio

Per ottenere questa relazione, facciamo uso dell’espansione in serie di Taylor di una funzione nell’intorno di :

( )f x x 0 1 2000 ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( ) + ff x x xx f x f x x

x' 0 0 0 0 02 17Partiamo dalla definizione di premio al rischio in presenza di un rischio puro( ( )) = [ ( + )]U w R w E U w w0 0Espandiamo in serie di Taylor i due lati di questa definizione nell'intorno di w :0Il lato a sinistra diviene 0( ( )) = ( + ( )) ( ) ( )U w R w U w U w w R w w0 0 0 0 00= ( ) ( ) ( )U w R w U w0 0Il lato di destra entro parentesi quadre diviene 1 20 00 ( ) ( + )( + ) = ( ) + ( ) ( + ) + U w w w wU w w U w U w w w w 0 0 00 0 0 0 0 21 20 00++= ( ) )) ( (w wU w U wU w 0 00 2E prendendo l'aspettativa 1 200[ ( + )] = ( +) ( )E U w w U w U w0 0 0 w2 18perché siamo in presenza di un rischio puro con Uguagliando i due lati= 0Ew :appena calcolati, si ha 21 w20 00 ( ) = ( )( ) ( ) = ( )U R w wR w U w w )0 0 w2 2EsempioNell'esempio con il rischio puro 12 100! 100!12con funzione di utilità logaritmica e In questo esempio= 1000 ( ) = 5w ; R w :0 4 1102 4 1e Applicando l'espressione precedente, si ha= 10 = = =w : Rw

coe¢ ciente di avversione relativa al rischio100 ( )U ww 0 = =( ) = w ww 0 00 ( )U ww 0 21Gamma minore o uguale a 1106.3251−1 52x 12ln ( x) 0 2 4 6 8 10− 4.605 5 0 x 10La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante minore o ugualea1 22Gamma maggiore di 10 2 4 6 8 10− 3− ×5 10 0.1−1 2x −1 2 0.2−1 3x −1 3 0.3− 0.36 0.4La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante maggiore di 10 x 10d. Nel caso di avversione relativa al rischio e rischio moltiplicativo, si parla dipremio relativo al rischio – di premio per unità di ricchezza. È la quota dellaricchezza cui saremmo disposti a rinunciare per non sopportare il rischio.Supponiamo che la ricchezza iniziale sia soggetta a un rischio per cuiw w0 23può aumentare o diminuire di una stessa percentuale con uguale probabilità.gAllora il premio relativo al rischio è de…nito da( )R w1 1

) = ( ((1 + )) + (1 )) = ( [ (1 + ) ])

E U U w U wg g U w E w R0 0 02 2

Se la funzione di utilità è logaritmica, la ricchezza iniziale è normalizzata a1 e la quota di ricchezza cui siamo disposti a rinunciare è= 10%,g 1 1ln (1 + 1) + ln (1 1) = ln (1 = 0 5%): : R :R!2 2

Anche in questo caso vale l'approssimazione Arrow-Pratt2R w= =R 2w

Supponiamo che possiamo perdere o guadagnare con uguale probabilità il20% della nostra ricchezza. A quale quota della ricchezza siamo disposti arinunciare per non sopportare questo rischio? Se la risposta è il 2%, allora ilcoefficiente di avversione al rischio è2 2 2%R= = =12 4%w 24

Esempio. Il costo delle fluttuazioni ciclicheIl grafico che segue mostra l'andamento del reddito pro capite, espresso in tassi di crescita, dagli anni 60 a oggi. La linea tratteggiata indica il tasso medio di crescita, pari a circa il 2.7%. Qual è il costo economico di queste

‡uttuazioni? Quanto saremmo di sposti a pagare per eliminare completamente? Rispondiamofacendo uso del premio relativo al rischio e della funzione di utilità CRRA:

1 1++ ) (1(1 )gg C=E 1 1 25Tass−Reddito pro capite in Italia - Tassi di crescita (1961-2006)

Anni

dove il tasso di crescita rappresentato nel gra…co che si è realizzato nei diversiganni e è il suo equivalente di certezza. Prendiamo ad esempio L’utilità= 4.gC 26attesa è 461 1X(1 + ) 1 (1 + )g gi= = 0 309E :1 46 1i=1sicché l’equivalente di certezza è dato dalla soluzione della seguente equazione ingC 11 ++ ) (1 )(1 gg C= 0 309 =:E 1 11che dà = 1 2 6%( 0 309 ( 3))g : :: '3CUna volta calcolato l’equivalente di certezza del tasso di crescita il premio alg ;Crischio è per de…nizione= = 2 7% 2 6% = 0 1%( )g E : : :g gR CLa tabella riporta il calcolo del

secondo individuo( ) =U :w w 22 28a quella del primo la trasformazione da applicare è2=3= ( ) = ( )U g U U1 2 2Poiché è concava, il primo individuo è più avverso al rischio del secondo.( )g 64.642 423U2 20 0 5 100 U2 10La trasformazione concava 29Esercizio 1=2Supponete che la funzione di utilità di un individuo sia dove è=u w ; wla ricchezza. La sua ricchezza iniziale è pari a 10. Egli è inoltre soggettow 0al seguente rischio: con uguale probabilità la sua ricchezza può aumentare odiminuire di 6. Determinate: l’equivalente di certezza e il premio al rischio(1)che egli è disposto a pagare; il coe¢ ciente di avversione assoluta al rischio(2)con l’approssimazione di Arrow-Pratt; il coe¢ ciente di avversione assoluta e(3)relativa al rischio per questo individuo. Se un altro individuo ha una funzione di1=4utilità è più o meno avverso al rischio del secondo? Come