Economia finanziaria - il rischio economico

Il rischio e l’atteggiamento verso il rischio

Enrico Saltari 1

L’atteggiamento verso il rischio

Un individuo è neutrale al rischio se per lui è indi¤erente ottenere con certezza

una somma oppure come valore atteso di una distribuzione:

( )

E w [ ( )] = [ ( )]

U E w E U w

È invece avverso al rischio se preferisce la somma certa alla distribuzione di

probabilità: [ ( )] [ ( )]

U E w > E U w

È in…ne propenso al rischio se preferisce la distribuzione di probabilità alla

somma certa: [ ( )] [ ( )]

U E w < E U w

Nel caso di neutralità al rischio la funzione di utilità è una retta ( ( ) =

U w

) e il criterio dell’utilità attesa coincide con quello del valore atteso

+

a bw

( La de…nizione di avversione al rischio implica che

( ) = [ ( )]).

E w E U w

la funzione di utilità è concava, mentre nel caso di propensione al rischio è

convessa. 2

Esempio. Avversione al rischio

Supponiamo che: p , e che

1. la funzione di utilità sia ( ) = w

U w

2. il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere

o con la stessa probabilità sicché

0 200 ( ) = 5 0 + 5 200 = 100

E w : : :

Allora p p

p 100 = 10 0 + 200 = 7 07

( ( )) = ( ( )) = 0 5

U > E :

E w U w :

L’individuo cioè preferisce ottenere 100 con certezza piuttosto che partecipare

al gioco. 3

Avversione al rischio 4

Esempio. Propensione al rischio

Supponiamo che: 2

1. la funzione di utilità sia , e che

( ) =

U w w

2. il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere

o con la stessa probabilità sicché Allora

0 200 ( ) = 5 0+ 5 200 = 100

E w : : :

2

2 4 4

( ( )) = 100 = 10 ( ( )) = 0 5 (200) = 2 10

U E w < E U w :

L’individuo cioè preferisce il gioco alla certezza di ottenere il suo valore atteso. 5

Propensione al rischio 6

Un approfondimento. Avversione al rischio e concavità

Avversione al rischio e concavità coincidono nella de…nizione appena data

[ ( )] [ ( )]

U E w > E U w

Il motivo è dovuto alla cosiddetta disuguaglianza di Jensen. Questa sta-

bilisce che, data una funzione dove è una variabile casuale,

( ) ( ( ))

f x x f E x >

se e solo se è una funzione concava.

[ ( )] ( )

E f x f x 7

l(x)

f(x) x

E(x)

Poiché la funzione è concava, cioè la retta tangente

( ) = + ( ),

l x a bx f x

giace sempre sopra la Solo nel punto le due funzioni hanno lo stesso

( ). ( ),

f x E x

valore. Vale a dire, nel punto si ha inoltre, poiché

( ) ( ( )) = ( ( )) ;

E x l E x f E x

è una funzione lineare Perciò,

( ( )) = ( ( )) ( ( )) = ( ( )) =

l l E x E l x : f E x l E x

La disuguaglianza segue dal fatto che

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 0

E l x E f x : l x f x :

Prendendo l’aspettativa, e quindi

[ ( ) ( )] 0 ( ( )) ( ( ))

E l x f x ; E l x E f x : 8

Misure dell’avversione al rischio

Il premio per il rischio, (w).

R

Costituisce la somma certa che un individuo avverso al rischio è disposto a pagare

per risultare indi¤erente tra l’avere con certezza e la distribuzione di

+ ( )

w E w

0

probabilità :

+

w w

0 ( + ( ) ( )) = [ ( + )]

U w E w R w E U w w

0 0

Esempio. Il premio al rischio

Supponiamo che: 9

p

a. la funzione di utilità sia , e che la ricchezza iniziale sia

( ) = =

U w w w 0

1000

b. il rischio consista in una distribuzione di probabilità che consente di ottenere

o con la stessa probabilità sicché Allora

0 200 ( ) = 5 0+ 5 200 = 100

E w : : :

p

+ 1100 = 33 16

( )) =

( E :

U w

w 0

e p p

( ( + )) = 0 5 1000 + 1200 = 33 13

E U w w : :

0

Il premio per il rischio è dato da quel valore che uguaglia le precedenti

espressioni ( + ( ) ( )) = ( ( + )) = ( )

U w E w R w E U w w E U

0 0

Esso è dato dalla seguente espressione

1 1

+ ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = + ( ) ( ( ))

w E w R w U E U R w w E w U E U

!

0 0

2

( ) = 1000 + 100 33 13 = 2 4

R w : : 10

mentre l’equivalente di certezza è

( ) = ( ) ( ) = 100 2 4 = 97 6

C w E w R w : :

Si noti che ( + ( )) = ( ) = 33 13

U w C w E U :

0 11

+Dw)

U( w

0

U(E( w)) U(w)

E(U( w))

-Dw)

w

U( 0 R(w) w

-Dw +Dw

w +C(w)

w w +E(w) w

0

0 0 0 12

Esempio. Il rischio puro

Il rischio è de…nito puro quando il suo valore atteso è nullo. Supponiamo che per

prender parte al gioco de…nito prima occorra pagare una posta di 100

1 1

2 2

200 100

! !

100 + =

0 100

! !

1 1

2 2

La forma …nale del gioco mostra che il rischio è puro. Il premio al rischio è de…nito

da +

( ( )) = [ ( )]

U R w

w w E U w

0 0

Se la funzione di utilità è logaritmica e il gioco è quello rappresentato

= 1000,

w 0

nel diagramma 1 (ln (900) + ln (1100))

ln (1000 ) =

R !

2

p

1000 = 900 1100 = 1000 995 = 5

R R

! 13

Si preferisce cioè pagare 5 (o meno di 5) piuttosto che sopportare il rischio

connesso al gioco. A quanto ammonta l’equivalente di certezza?

Il coe¢ ciente di avversione al rischio

1. È una misura della concavità della funzione di utilità tale da renderla indipen-

dente da trasformazioni lineari: 00 ( )

U w 0

( =

)

w 0 0 )

(

U w 0

In questo caso si parla di avversione assoluta al rischio perché il rischio entra

in forma additiva, +

w w:

0 14

Esempio. Avversione assoluta al rischio

p 1

1

0 00

Allora, e

a. la funzione di utilità sia ( ) = ( ) = ( ) =

w: U w U

U w w w

2

2

32

1 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w :

4 3

1

00 w 1

( )

U w 2

0 1

4

= =

( ) = w

w 0 1

0 2

( )

U w 1

0 w 2

2 1

0 00

b. la funzione di utilità sia e

Allora,

( ) = ln ( ). ( ) = ( ) =

U U

w w U w w w

2 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w : 2

00 )

(

U w w