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Economia finanziaria - il rischio economico Appunti scolastici Premium

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul rischio economico. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l' avversione al rischio, il premio per il rischio, il costo delle fluttuazioni cicliche, la trasformazione concava, il criterio media-varianza, il MPS, la dominanza stocastica del primo... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

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ESTRATTO DOCUMENTO

Esempio. Il rischio puro

Il rischio è de…nito puro quando il suo valore atteso è nullo. Supponiamo che per

prender parte al gioco de…nito prima occorra pagare una posta di 100

1 1

2 2

200 100

! !

100 + =

0 100

! !

1 1

2 2

La forma …nale del gioco mostra che il rischio è puro. Il premio al rischio è de…nito

da +

( ( )) = [ ( )]

U R w

w w E U w

0 0

Se la funzione di utilità è logaritmica e il gioco è quello rappresentato

= 1000,

w 0

nel diagramma 1 (ln (900) + ln (1100))

ln (1000 ) =

R !

2

p

1000 = 900 1100 = 1000 995 = 5

R R

! 13

Si preferisce cioè pagare 5 (o meno di 5) piuttosto che sopportare il rischio

connesso al gioco. A quanto ammonta l’equivalente di certezza?

Il coe¢ ciente di avversione al rischio

1. È una misura della concavità della funzione di utilità tale da renderla indipen-

dente da trasformazioni lineari: 00 ( )

U w 0

( =

)

w 0 0 )

(

U w 0

In questo caso si parla di avversione assoluta al rischio perché il rischio entra

in forma additiva, +

w w:

0 14

Esempio. Avversione assoluta al rischio

p 1

1

0 00

Allora, e

a. la funzione di utilità sia ( ) = ( ) = ( ) =

w: U w U

U w w w

2

2

32

1 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w :

4 3

1

00 w 1

( )

U w 2

0 1

4

= =

( ) = w

w 0 1

0 2

( )

U w 1

0 w 2

2 1

0 00

b. la funzione di utilità sia e

Allora,

( ) = ln ( ). ( ) = ( ) =

U U

w w U w w w

2 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w : 2

00 )

(

U w w

0 1

( = = =

)

w w

0 1

0 ( )

U w w

0 0

c. la funzione di utilità sia Allora,

( ) = exp ( ). ( ) = exp ( )

U w aw U w a aw

2

00

e Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

exp

( ) = ( )

U w a w : 2

00 exp ( )

( )

U a w

w 0

( = =

) =

w a

0 0 exp ( )

( )

U w a w

0 15

In questo caso l’avversione al rischio è costante e pari ad a:

()

2

e

0

1

w

3

xp

.8

.6

.4

.2 16

Esempio. Premio al rischio e coe¢ ciente di avversione al rischio

Il premio al rischio e il coe¢ ciente di avversione al rischio sono legati dalla seguente

relazione (denominata approssimazione di Arrow-Pratt)

2

w ( )

( ) w

R w ' 2

2

con che rappresenta la varianza del rischio.

w

Un approfondimento. La relazione tra premio al rischio e avversione al

rischio

Per ottenere questa relazione, facciamo uso dell’espansione in serie di Taylor di

una funzione nell’intorno di :

( )

f x x 0 1 2

00

0 ( ) ( )

( ) ( ) + ( ) ( ) + f

f x x x

x f x f x x x

' 0 0 0 0 0

2 17

Partiamo dalla de…nizione di premio al rischio in presenza di un rischio puro

( ( )) = [ ( + )]

U w R w E U w w

0 0

Espandiamo in serie di Taylor i due lati di questa de…nizione nell’intorno di w :

0

Il lato a sinistra diviene 0

( ( )) = ( + ( )

) ( ) ( )

U w R w U w U w w R w w

0 0 0 0 0

0

= ( ) ( ) ( )

U w R w U w

0 0

Il lato di destra entro parentesi quadre diviene 1 2

0 00 ( ) ( + )

( + ) = ( ) + ( ) ( + ) + U w w w w

U w w U w U w w w w 0 0 0

0 0 0 0 0 2

1 2

0 00

+

+

= ( ) )

) ( (

w w

U w U w

U w 0 0

0 2

E prendendo l’aspettativa 1 2

00

[ ( + )] = ( +

) ( )

E U w w U w U w

0 0 0 w

2 18

perché siamo in presenza di un rischio puro con Uguagliando i due lati

= 0

Ew :

appena calcolati, si ha 2

1 w

2

0 00 ( ) = ( )

( ) ( ) = ( )

U R w w

R w U w w )

0 0 w

2 2

Esempio

Nell’esempio con il rischio puro 1

2 100

! 100

!

1

2

con funzione di utilità logaritmica e In questo esempio

= 1000 ( ) = 5

w ; R w :

0 4 1

10

2 4 1

e Applicando l’espressione precedente, si ha

= 10 = = =

w : R

w 3

2 10

5 : 19

2. Se invece il rischio compare in forma moltiplicativa, si parla di

+ ),

(1

w w

0

avversione relativa al rischio e il coe¢ ciente di avversione al rischio è:

00 ( )

U w 0

( ) =

w w

0 0 0 ( )

U w 0

Tutti e due i coe¢ cienti variano al variare del livello della ricchezza, potendo

risultare crescenti, costanti o decrescenti.

Esempio. Avversione relativa al rischio

p 12

1 00

0

Allora, e

a. La funzione di utilità sia ) = ) =

( ) = (

(

w: U w w U w

U w 2

32

1 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

:

w

4 3

1

00 w 1

( )

U w 2

0 4

= =

( ) = w w

w 0 0 1

0 2

( )

U w 1

0 w 2

2 20

1

0 00

b. La funzione di utilità sia Allora, e

( ) = ln ( ). ) = ) =

( (

U w w U w w U w

2 Il coe¢ ciente di avversione al rischio è

w : 2

00 ( )

U w

w 0 = =1

( ) = w w

w 0 0 1

0 ( )

U w

w 0

c. Una forma generale di funzione di utilità che presenta un coe¢ ciente di

avversione relativa al rischio costante (denominata ) è

CRRA

1

w se = 1 ( ) = ln ( )

( ) = ; ; U w w

U w 1

dove rappresenta il coe¢ ciente di avversione relativa al rischio

1

00 ( )

U w

w 0 = =

( ) = w w

w 0 0

0 ( )

U w

w 0 21

Gamma minore o uguale a 1

10

6.325

1

1 5

2

x 1

2

ln ( x

) 0 2 4 6 8 10

− 4.605 5 0 x 10

La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante minore o uguale

a1 22

Gamma maggiore di 1

0 2 4 6 8 10

− 3

− ×

5 10 0.1

1 2

x −

1 2 0.2

1 3

x −

1 3 0.3

− 0.36 0.4

La funzione di utilità con avversione relativa al rischio costante maggiore di 1

0 x 10

d. Nel caso di avversione relativa al rischio e rischio moltiplicativo, si parla di

premio relativo al rischio – di premio per unità di ricchezza. È la quota della

ricchezza cui saremmo disposti a rinunciare per non sopportare il rischio.

Supponiamo che la ricchezza iniziale sia soggetta a un rischio per cui

w w

0 23

può aumentare o diminuire di una stessa percentuale con uguale probabilità.

g

Allora il premio relativo al rischio è de…nito da

( )

R w

1 1

( ) = ( (

(1 + )) + (1 )) = ( [ (1 + ) ])

E U U w U w

g g U w E w R

0 0 0

2 2

Se la funzione di utilità è logaritmica, la ricchezza iniziale è normalizzata a

1 e la quota di ricchezza cui siamo disposti a rinunciare è

= 10%,

g 1 1

ln (1 + 1) + ln (1 1) = ln (1 = 0 5%

)

: : R :

R

!

2 2

Anche in questo caso vale l’approssimazione Arrow-Pratt

2

R w

= =

R 2

w

Supponiamo che possiamo perdere o guadagnare con uguale probabilità il

20% della nostra ricchezza. A quale quota della ricchezza siamo disposti a

rinunciare per non sopportare questo rischio? Se la risposta è il 2%, allora il

coe¢ ciente di avversione al rischio è

2 2 2%

R

= = =1

2 4%

w 24

Esempio. Il costo delle ‡uttuazioni cicliche

Il gra…co che segue mostra l’andamento del reddito pro capite, espresso in tassi

di crescita, dagli anni 60 a oggi. La linea tratteggiata indica il tasso medio di

crescita, pari a circa il 2.7%. Qual è il costo economico di queste ‡uttuazioni?

Quanto saremmo di sposti a pagare per eliminare completamente? Rispondiamo

facendo uso del premio relativo al rischio e della funzione di utilità CRRA:

1 1

+

+ ) (1

(1 )

g

g C

=

E 1 1 25

Tass

Reddito pro capite in Italia - Tassi di crescita (1961-2006)

Anni

0.05

2010

2005

2000

1995

1990

1985

1980

1975

1970

1965

1960

0

0.1

0.07

0.04

.02

.01

dove il tasso di crescita rappresentato nel gra…co che si è realizzato nei diversi

g

anni e è il suo equivalente di certezza. Prendiamo ad esempio L’utilità

= 4.

g

C 26

attesa è 46

1 1

X

(1 + ) 1 (1 + )

g g

i

= = 0 309

E :

1 46 1

i=1

sicché l’equivalente di certezza è dato dalla soluzione della seguente equazione in

g

C 1

1 +

+ ) (1 )

(1 g

g C

= 0 309 =

:

E 1 1

1

che dà = 1 2 6%

( 0 309 ( 3))

g : :

: '

3

C

Una volta calcolato l’equivalente di certezza del tasso di crescita il premio al

g ;

C

rischio è per de…nizione

= = 2 7% 2 6% = 0 1%

( )

g E : : :

g g

R C

La tabella riporta il calcolo del premio al rischio per diversi valori di :

3. Le due precedenti misure dell’avversione al rischio sono equivalenti. Se dici-

amo che un individuo è più avverso al rischio di un altro, ciò equivale a dire 27

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.025% 0.05% 0.07% 0.1% 0.12% 0.15% 0.17% 0.2% 0.22%

g

R Il costo delle ‡uttuazioni

che è disposto a pagare un premio per il rischio più elevato ovvero che ha

un coe¢ ciente di avversione al rischio maggiore. Si può inoltre mostrare che

questi due modi di confrontare l’avversione al rischio sono equivalenti ad un

terzo che a¤erma che un individuo è più avverso al rischio di un altro se la

sua funzione di utilità è una trasformazione concava della funzione di utilità

dell’altro individuo.

La trasformazione concava 1

La funzione di utilità di un individuo sia e quella di un altro individuo

( ) =

U w w 3

1

1

sia Allora per passare dalla funzione di utilità del secondo individuo

( ) =

U :

w w 2

2 28

a quella del primo la trasformazione da applicare è

2=3

= ( ) = ( )

U g U U

1 2 2

Poiché è concava, il primo individuo è più avverso al rischio del secondo.

( )

g 6

4.642 4

2

3

U2 2

0 0 5 10

0 U2 10

La trasformazione concava 29

Esercizio 1=2

Supponete che la funzione di utilità di un individuo sia dove è

=

u w ; w

la ricchezza. La sua ricchezza iniziale è pari a 10. Egli è inoltre soggetto

w 0

al seguente rischio: con uguale probabilità la sua ricchezza può aumentare o

diminuire di 6. Determinate: l’equivalente di certezza e il premio al rischio

(1)

che egli è disposto a pagare; il coe¢ ciente di avversione assoluta al rischio

(2)

con l’approssimazione di Arrow-Pratt; il coe¢ ciente di avversione assoluta e

(3)

relativa al rischio per questo individuo. Se un altro individuo ha una funzione di

1=4

utilità è più o meno avverso al rischio del secondo? Come potreste

=

u w

stabilirlo rigorosamente?

Risposta. 30

1. Dato che il premio al rischio è determinato dalla seguente

( ) = 0

E w ;

equazione ( )) = ( )

( R

U w E U ;

w 0 1

1=2 1=2 1=2

(10 ) = 4 + 16 = 3

R 2

Il premio al rischio è = 10 9=1

R

e l’equivalente di certezza = =9

C w R

0

2. L’approssimazione di Arrow-Pratt è 2

w

=

R 2

Poiché la varianza del rischio è 1

2 2

= 2 6 = 36

w 2 31

il coe¢ ciente di avversione assoluta è 1

2 R =

= 2 18

w

3. Il coe¢ ciente di avversione assoluta è 3

1

00 w 1 1

1

U 4

4

= =

= =

1

0 2 20

U w

1 w 2

2

mentre quello relativo è 00 1

U

= =

w

0 2

U 32


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul rischio economico. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l' avversione al rischio, il premio per il rischio, il costo delle fluttuazioni cicliche, la trasformazione concava, il criterio media-varianza, il MPS, la dominanza stocastica del primo ordine e del secondo ordine.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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