Economia finanziaria - il modello media-varianza con titoli rischiosi

Formattazione del testo

T T T∗ −1 −1αu u Σ u u Σ m= +1 = λ γT T T∗ −1 −1μ α m Σ u m Σ m= = +m λ γ

Definiamo ora i seguenti scalari:

T T T−1 −1 −1u Σ u u Σ m m Σ m= == , B , C .A

Allora, il precedente sistema si può riscrivere come

+ = 1λA γB+ =λB γC μo in forma matriciale come " #" # " #1A B λ =B C γ μ

8MoltiplicatoriI valori dei moltiplicatori e sonoλ γ1 1 2con= (C = (Aμλ μB) , γ B) , D AC B− − ≡ −D DL’equazione della frontiera efficiente∗αSostituendo gli ottimali e i valori dei moltiplicatori nell’equazione della varianza eutilizzando le due equazioni dei vincoli, si ha2 ∗T ∗ ∗Tα α μΣα u= = (λ + )σ γ³ ´1 2= + = 2Bμ +λ γμ Aμ

C−DQuesta è l’equazione della frontiera quando sono presenti solo titoli rischiosi. 9Esempio " #1.3Supponiamo che e che=m 1.1" # " # " #12 0 10−1 2. Allora Ponendo otteniamoΣ = =Σ = . u ,1 10 0 22 T T−1 −1u u u Σ mΣ = 2. 5, = = 2. 85,= BA 2T −1m m= Σ = 3. 265, = = 0.04C D AC B−Perciò, l’equazione della frontiera efficiente ès s³ ´ ³ ´1 12 22Bμ + = 2.5μ 2 2.85μ + 3. 265= Aμ Cσ(μ) − − ·0.04Dil cui grafico è riportato qui di seguito. 10attesoRendimento Deviazione standardFigura 1: 11La frontiera efficiente con un titolo non rischiosoSupponiamo ora che accanto ai titoli rischiosi esista un titolo privo di rischio. Indichiamoe con il suo rendimento. Poiché la somma dellela relativa quota di portafoglio con Rα0 0T αu Il rendimento del portafoglio può allora esserequote è comunque pari a 1, = 1 .α −0espresso come ³ ´T T Tα α αm u m+ = 1 += R Rμ α −0 0 0VincoloIl vincolo per questo problema è perciò T αm u= ( )μ R R− −0 0 12Il lagrangiano diviene allora h i1 TTα αΣα m u+ ( )= γ μ R RL − − −0 02e la minimizzazione comporta∂L Σα m u 0= ( ) =γ R− − 0α∂ovvero Σα m u= ( )γ R− 0Portafoglio ottimaleLe quote ottimali di portafoglio sono perciò T∗ −1 ∗ ∗α αΣ m u u= ( ) = 1γ R , α− −0 0 13Utilizziamo il vincolo per determinare il valore del moltiplicatoreT T∗ −1αm u m u Σ m u= ( ) = ( ) ( )μ R R R γ R− − − −0 0 0 0³ ´2= 2BR +γ AR C− 00Dalladefinizione della varianza e dal vincolo otteniamo così ² *T * *Tα αΣα m u= = ( )σ R γ- 0= (μ )γ R- 0e sostituendo il valore del moltiplicatore prima ricavato, otteniamo infineμ R- 02 (μ= )Rσ - 02 2BR +AR C- 00 14L'equazione della frontiera efficiente in questo caso è una retta tangente alla frontiera efficiente quando vi sono solo titoli rischiosi.q 2= 2BR +μ R σ AR C± -0 00EsempioSupponiamo Dati i valori precedenti di e otteniamo l'equazione della= 1.05.R A, B C,0frontiera q 2= 2BR +μ R σ AR C± -0 00= 1.05 0.19 σ± · 15Il portafoglio di tangenzaNel portafoglio di tangenza il titolo privo di rischio non viene detenuto e perciò = 0.α0α dei titoli rischiosi èIn altre parole, la somma delle quote di portafoglio di tangenza, Tpari a 1: T αu1 = TSe sostituiamo in

questa equazione le quote ottimali prima ricavate,∗ −1α Σ m u= ( )R γ− 0determiniamo il valore del moltiplicatore per il portafoglio di tangenzaT T −1αu u Σ m u= 1 = ( ) = (B )R γ AR γ− −0 0T 16MoltiplicatorePerciò, il valore del moltiplicatore (che è a sua volta, come gli una variabile) per ilα,portafoglio di tangenza è 1=γ T B AR− 0Portafoglio di tangenzaLe quote del portafoglio di tangenza sono quindi1 −1α Σ m u= ( )R− 0T B AR− 0αAvendo ricavato possiamo determinare media e varianza del portafoglio di tangenza.,T 17Dal vincolo determiniamo l’eccesso di rendimento atteso, μ R− 0t m u( )R− 0T T −1αm u m u Σ= ( ) = ( )μ R R R− − −0 0 0TT B AR− 02 2BR +AR C− 00= B AR− 0Dalla definizione di varianza, otteniamo12 TT −1α Σα m u Σ m

= = ( ) ( )σ R R− −0 0TT T 2(B )AR− 02 2BR +AR C− 00= 2(B )AR− 0Se costruiamo il rapporto tra l’eccesso di rendimento del portafoglio di tangenza, ,μ −R0Te la relativa varianza, otteniamo qRμ − 0T 2= 2BR +AR C− 00σ Tche verifica che l’equazione della frontiera prima ottenuta è tangente alla frontiera consoli portafogli rischiosi nel portafoglio di tangenza. 18EsempioCon i valori precedenti per i parametri e e ponendo otteniamo= 1.05,A, B, C D, R0 √22 da cui2BR + = 2.5· (1.05) 2 2.85 1.05 + 3. 265 = 0.036 0.036 =C ,AR − − · ·00 q 2 Il grafico èPerciò, = + 2BR + = 1.05 + 0.190.19. R σ AR C σ .μ − ·0 0T TT 0riportato qui di seguito. 191.251.2attesoRendimento 1.151.11.051 Deviazione standard 20Una derivazione alternativa della frontiera in presenza disoli titoli rischiosiUn modo alternativo e più semplice dal punto divista del calcolo numerico di ottenerela frontiera efficiente è il seguente. Invece di determinare esplicitamente il valore delmoltiplicatore di Lagrange per calcolare le quote di portafoglio, possiamo procedere nelseguente modo. Procediamo in tre passi.

1. Calcoliamo le quote ottimali del portafoglio di tangenza relativo ad un dato tassodell'interesse privo di rischio;
2. Calcoliamo le quote ottimali del portafoglio di tangenza relativo ad un altro tassodell'interesse privo di rischio;
3. Combiniamo linearmente i due portafogli di tangenza per ottenere l'intera frontiera.

Partiamo dalla condizione per la determinazione delle quote ottimali di portafoglio: ∂L Σα m u 0= ( ) =γ R- - 0α∂ sicché * -1α Σ m u=γ ( )R- 0y Definiamo adesso una nuova variabile αy = γ Sostituendo, avremo perciò -1y Σ m u= ( )R- 0 Per ottenere le quote ottimali del

portafoglio di tangenza, è sufficiente ora normalizzarele nuove variabili, vale a dire gli elementi del vettore, in modo tale che la loro somma siapari a 1 y yi i= α Pi Tu y yi 22Per verificare l'uguaglianza appena scritta, è sufficiente qualche passaggio algebrico1 1 -1³ α Σ m uy= = ( ) =R- 0T Tu y T -1u Σ m u( )R- 01 -1Σ m u= ( )R- 0B AR- 0Inoltre, sono sufficienti due portafogli di tangenza per generare l'intera frontiera. Il motivo è che la combinazione lineare convessa di due portafogli dà luogo a un portafoglio efficiente.α αSupponiamo infatti che e siano due portafogli che giacciono sulla frontiera. AlloraX Yper questi portafogli deve essere vero che x xi i-1x Σ m u= ( ) ; = =R α- PX Xi Tu x xiy yi i-1y Σ m u= ( ) ; = =R α- PY Y i Tu y yidove per indica il tasso di interesse lordo privo di rischio

relativo ai due=R i X, Yiportafogli di tangenza e Moltiplicando la prima equazione per (una costante), laX Y. a 23seconda per e sommando, otteniamo1 a− −1x y Σ m u+ (1 = [ (aR + (1 ) ]a a) a) R− − −X Yz x y — dato che la somma dei pesi è uguale a 1 — ePonendo = + (1 +a a) aR− X, possiamo scrivere=(1 Ra) R− Y Z z zi i−1z Σ m u= [ ] ; = =R α− PZ Zi Tu z ziche è un’equazione relativa a un portafoglio che ha la stessa forma di e ed è perciòx y,un portafoglio che giace sulla frontiera.EsempioUtilizzando sempre i valori precedenti dei parametri, poniamo e= 1 = 1.05.