Economia finanziaria - il modello media-varianza con titoli rischiosi

Il modello media-varianza con titoli rischiosi

Una derivazione formale semplificata

Enrico Saltari

La frontiera efficiente

Dal punto di vista formale è più semplice risolvere il problema della determinazione del portafoglio ottimale utilizzando l'algebra lineare (o delle matrici). Il problema va allora formulato nei seguenti termini.

Funzione obiettivo

Minimizzare la varianza: σ² Tα Σα = min σ

La minimizzazione è soggetta a due vincoli.

Vincolo 1

In primo luogo, la somma delle quote di portafoglio deve essere pari a 1: T αu = 1

Vincolo 2

In secondo luogo, è dato il rendimento atteso del portafoglio, di cui si intende minimizzare la varianza: T αm = μ

I simboli hanno il seguente significato. Tutte le lettere in grassetto rappresentano vettori colonna. L’apice (T) sta ad indicare che si tratta di un vettore riga.

• α è il vettore delle quote di portafoglio. Nel caso di 2 titoli esso è α₁, α₂.
• m è il vettore dei rendimenti attesi dei titoli. Nel caso di 2 titoli esso è m₁, m₂.
• u è il vettore composto soltanto da 1. Nel caso di 2 elementi esso è 1, 1.
• Σ è la matrice delle varianze-covarianze. Nel caso di 2 titoli essa è:

Lagrangiano

Formiamo il lagrangiano che è formato dalla funzione obiettivo (qui scalata di 1/2) e dai due vincoli scritti in forma implicita:

L = 1/2 TαΣα - λ(Tαu - 1) - γ(Tαm - μ)

Ciascuno dei due vincoli è moltiplicato per una variabile: il primo vincolo per λ e il secondo per γ.

Differenziamo rispetto a α e otteniamo:

∂L/∂α = Σα - λu - γm = 0

Ovvero Σα = λu + γm

Regole di derivazione

Scriviamo per esteso la funzione obiettivo, la varianza del portafoglio divisa per 2:

(1/2)(α₁²σ₁² + 2α₁α₂ρσ₁σ₂ + α₂²σ₂²)

Quando deriviamo rispetto a α, otteniamo:

• ∂σ₁²/∂α₁ = α₁σ₁² + α₂ρσ₁σ₂
• ∂σ₂²/∂α₂ = ρσ₁σ₂α₁ + α₂σ₂²

Portafoglio ottimale

Le quote ottimali di portafoglio sono:

α^* = Σ^-1uλ + Σ^-1mγ

Per ottenere i valori dei moltiplicatori λ e γ, utilizziamo i due vincoli sostituendovi le quote ottimali α^* appena determinate.

Poiché la somma delle quote di portafoglio deve essere pari a 1 e il rendimento atteso del portafoglio è μ, otteniamo:

Tα^*u = 1 = u^TΣ^-1uλ + u^TΣ^-1mγ

Tα^*m = μ = m^TΣ^-1uλ + m^TΣ^-1mγ

Definiamo ora i seguenti scalari:

• A = u^TΣ^-1u
• B = u^TΣ^-1m
• C = m^TΣ^-1m

Allora, il precedente sistema si può riscrivere come:

Aλ + Bγ = 1

Bλ + Cγ = μ

O in forma matriciale come:

Moltiplicatori

I valori dei moltiplicatori λ e γ sono:

λ = (C - Bμ) / D

γ = (Aμ - B) / D

Dove D = AC - B².

L'equazione della frontiera efficiente

Sostituendo gli α ottimali e i valori dei moltiplicatori nell'equazione della varianza e utilizzando le due equazioni dei vincoli, si ha:

σ² = Tα^*Σα^* = (λu + γm)^TΣ(λu + γm)