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Economia finanziaria - il modello media-varianza con titoli rischiosi

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul modello media-varianza con titoli rischiosi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la derivazione formale semplificata, la frontiera efficiente, Lagrangiano, le regole di derivazione, il portafoglio ottimale, il portafoglio di tangenza, la determinazione dei coefficienti... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

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ESTRATTO DOCUMENTO

La frontiera efficiente

Dal punto di vista formale è più semplice risolvere il problema della determinazione del

portafoglio ottimale utilizzando l’algebra lineare (o delle matrici). Il problema va allora

formulato nei seguenti termini.

Funzione obiettivo 2

Minimizzare la varianza, :

σ 2 T

α Σα

=

min σ

La minimizzazione è soggetta a due vincoli. 2

Vincolo 1

In primo luogo, la somma delle quote di portafoglio deve essere pari ad 1:

T α

u = 1

Vincolo 2

In secondo luogo, è dato il rendimento atteso del portafoglio, di cui si intende minimiz-

μ,

zare la varianza: T α

m = μ

I simboli hanno il seguente significato. T ) sta ad indicare che

Tutte le lettere in grassetto rappresentano vettori colonna. L’apice (

si tratta di un vettore riga. 3

α è il vettore delle quote di portafoglio.

" #

α

1

Nel caso di 2 titoli esso è .

α

2

m è il vettore dei rendimenti attesi dei titoli.

" # " #

R μ

1s 1 R m

Nel caso di 2 titoli esso è Cioè,

= ( ) =

E . E S

R μ

2s 2

u è il vettore composto soltanto da 1.

" #

1

Nel caso di 2 elementi esso è .

1

h i

T

Σ R m R m è la matrice delle varianze-covarianze.

=E ( ) ( )

− −

S S 4

Nel caso di 2 titoli essa è #

"Ã ! " #

´

³ 21

R μ σ ρσ σ

1s 1 2

1 =

E R μ R μ .

− −

1s 2s

1 2 22

R μ

− ρσ σ σ

2s 2 1 2

Lagrangiano 12

Formiamo il lagrangiano che è formato dalla funzione obiettivo (qui scalata di ) e dai

L, T T

α α

u 0 m 0

e :

due vincoli scritti in forma implicita, scritti cioè come = =

1 μ −

³ ´ ³ ´

1 T T T

α α α

Σα u m

+λ 1 +

= γ μ

L − −

2

Ciascuno dei due vincoli è moltiplicato per una variabile: il primo vincolo per (lambda)

λ

e il secondo per (gamma).

γ 5

α

Differenziamo rispetto e otteniamo:

∂L Σα u m 0

= =

γ

−λ −

α

ovvero Σα u m

=λ + γ

Regole di derivazione

Scriviamo per esteso la funzione obiettivo, la varianza del portafoglio divisa per 2 (si noti

che è una forma quadratica perché è un polinomio in cui i termini in hanno tutti un

α

esponente omogeneo — appunto una forma — di secondo grado)

³ ´

1 2 2 2 2

+ 2α +

α σ α ρσ σ α σ

1 2 1 2

1 1 2 2

2 6

Quando deriviamo rispetto al vettore degli otteniamo

α,

2

∂σ 21

= +

α σ α ρσ σ

1 2 1 2

∂α

1

2

∂σ 22

= +

α ρσ σ α σ

1 1 2 2

∂α

1 Σα

Scritte in forma matriciale, queste due equazioni diventano (la regola è che “scom-

12 T α

u

). In modo analogo, quando deriviamo

pare” un tenendo conto della frazione

α,

α u

rispetto ad rimane perché è una costante; per lo stesso motivo, quando deriviamo

,

T α

m m

rimane

, .

Portafoglio ottimale ∗

α

Le quote ottimali di portafoglio sono

∗ −1 −1

α Σ u Σ m

= +

λ γ 7

Per ottenere i valori dei moltiplicatori e utilizziamo i due vincoli sostituendovi le quote

λ γ,

α appena determinate. Poiché la somma delle quote di portafoglio deve essere

ottimali

pari a 1 e il rendimento atteso del portafoglio è otteniamo

m,

T T T

∗ −1 −1

α

u u Σ u u Σ m

= +

1 = λ γ

T T T

∗ −1 −1

μ α m Σ u m Σ m

= = +

m λ γ

Definiamo ora i seguenti scalari:

T T T

−1 −1 −1

u Σ u u Σ m m Σ m

= =

= , B , C .

A

Allora, il precedente sistema si può riscrivere come

+ = 1

λA γB

+ =

λB γC μ

o in forma matriciale come " #" # " #

1

A B λ =

B C γ μ 8

Moltiplicatori

I valori dei moltiplicatori e sono

λ γ

1 1 2

con

= (C = (Aμ

λ μB) , γ B) , D AC B

− − ≡ −

D D

L’equazione della frontiera efficiente

α

Sostituendo gli ottimali e i valori dei moltiplicatori nell’equazione della varianza e

utilizzando le due equazioni dei vincoli, si ha

2 ∗T ∗ ∗T

α α μ

Σα u

= = (λ + )

σ γ

³ ´

1 2

= + = 2Bμ +

λ γμ Aμ C

D

Questa è l’equazione della frontiera quando sono presenti solo titoli rischiosi. 9

Esempio " #

1.3

Supponiamo che e che

=

m 1.1

" # " # " #

1

2 0 1

0

−1 2

. Allora Ponendo otteniamo

Σ = =

Σ = . u ,

1 1

0 0 2

2 T T

−1 −1

u u u Σ m

Σ = 2. 5, = = 2. 85,

= B

A 2

T −1

m m

= Σ = 3. 265, = = 0.04

C D AC B

Perciò, l’equazione della frontiera efficiente è

s s

³ ´ ³ ´

1 1

2 2

2Bμ + = 2.5μ 2 2.85μ + 3. 265

= Aμ C

σ(μ) − − ·

0.04

D

il cui grafico è riportato qui di seguito. 10

atteso

Rendimento Deviazione standard

Figura 1: 11

La frontiera efficiente con un titolo non rischioso

Supponiamo ora che accanto ai titoli rischiosi esista un titolo privo di rischio. Indichiamo

e con il suo rendimento. Poiché la somma delle

la relativa quota di portafoglio con R

α

0 0

T α

u Il rendimento del portafoglio può allora essere

quote è comunque pari a 1, = 1 .

α −

0

espresso come ³ ´

T T T

α α α

m u m

+ = 1 +

= R R

μ α −

0 0 0

Vincolo

Il vincolo per questo problema è perciò T α

m u

= ( )

μ R R

− −

0 0 12

Il lagrangiano diviene allora h i

1 T

T

α α

Σα m u

+ ( )

= γ μ R R

L − − −

0 0

2

e la minimizzazione comporta

∂L Σα m u 0

= ( ) =

γ R

− − 0

α

ovvero Σα m u

= ( )

γ R

− 0

Portafoglio ottimale

Le quote ottimali di portafoglio sono perciò T

∗ −1 ∗ ∗

α α

Σ m u u

= ( ) = 1

γ R , α

− −

0 0 13

Utilizziamo il vincolo per determinare il valore del moltiplicatore

T T

∗ −1

α

m u m u Σ m u

= ( ) = ( ) ( )

μ R R R γ R

− − − −

0 0 0 0

³ ´

2

= 2BR +

γ AR C

− 0

0

da cui μ R

− 0

=

γ 2 2BR +

AR C

− 0

0

Dalla definizione della varianza e dal vincolo otteniamo così

2 ∗T ∗ ∗T

α α

Σα m u

= = ( )

σ R γ

− 0

= (μ )

γ R

− 0

e sostituendo il valore del moltiplicatore prima ricavato, otteniamo infine

μ R

− 0

2 (μ

= )

R

σ − 0

2 2BR +

AR C

− 0

0 14

L’equazione della frontiera efficiente in questo caso è una retta tangente alla frontiera

efficiente quando vi sono solo titoli rischiosi.

q 2

= 2BR +

μ R σ AR C

± −

0 0

0

Esempio

Supponiamo Dati i valori precedenti di e otteniamo l’equazione della

= 1.05.

R A, B C,

0

frontiera q 2

= 2BR +

μ R σ AR C

± −

0 0

0

= 1.05 0.19 σ

± · 15


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul modello media-varianza con titoli rischiosi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la derivazione formale semplificata, la frontiera efficiente, Lagrangiano, le regole di derivazione, il portafoglio ottimale, il portafoglio di tangenza, la determinazione dei coefficienti beta.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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