Economia finanziaria - il modello media-varianza con titoli rischiosi

Il modello media-varianza con titoli rischiosi.

Una derivazione formale semplificata

Enrico Saltari 1

La frontiera efficiente

Dal punto di vista formale è più semplice risolvere il problema della determinazione del

portafoglio ottimale utilizzando l’algebra lineare (o delle matrici). Il problema va allora

formulato nei seguenti termini.

Funzione obiettivo 2

Minimizzare la varianza, :

σ 2 T

α Σα

=

min σ

La minimizzazione è soggetta a due vincoli. 2

Vincolo 1

In primo luogo, la somma delle quote di portafoglio deve essere pari ad 1:

T α

u = 1

Vincolo 2

In secondo luogo, è dato il rendimento atteso del portafoglio, di cui si intende minimiz-

μ,

zare la varianza: T α

m = μ

I simboli hanno il seguente significato. T ) sta ad indicare che

Tutte le lettere in grassetto rappresentano vettori colonna. L’apice (

si tratta di un vettore riga. 3

α è il vettore delle quote di portafoglio.

" #

α

1

Nel caso di 2 titoli esso è .

α

2

m è il vettore dei rendimenti attesi dei titoli.

" # " #

R μ

1s 1 R m

Nel caso di 2 titoli esso è Cioè,

= ( ) =

E . E S

R μ

2s 2

u è il vettore composto soltanto da 1.

" #

1

Nel caso di 2 elementi esso è .

1

h i

T

Σ R m R m è la matrice delle varianze-covarianze.

=E ( ) ( )

− −

S S 4

Nel caso di 2 titoli essa è #

"Ã ! " #

´

³ 21

R μ σ ρσ σ

−

1s 1 2

1 =

E R μ R μ .

− −

1s 2s

1 2 22

R μ

− ρσ σ σ

2s 2 1 2

Lagrangiano 12

Formiamo il lagrangiano che è formato dalla funzione obiettivo (qui scalata di ) e dai

L, T T

α α

u 0 m 0

e :

due vincoli scritti in forma implicita, scritti cioè come = =

1 μ −

−

³ ´ ³ ´

1 T T T

α α α

Σα u m

+λ 1 +

= γ μ

L − −

2

Ciascuno dei due vincoli è moltiplicato per una variabile: il primo vincolo per (lambda)

λ

e il secondo per (gamma).

γ 5

α

Differenziamo rispetto e otteniamo:

∂L Σα u m 0

= =

γ

−λ −

α

∂

ovvero Σα u m

=λ + γ

Regole di derivazione

Scriviamo per esteso la funzione obiettivo, la varianza del portafoglio divisa per 2 (si noti

che è una forma quadratica perché è un polinomio in cui i termini in hanno tutti un

α

esponente omogeneo — appunto una forma — di secondo grado)

³ ´

1 2 2 2 2

+ 2α +

α σ α ρσ σ α σ

1 2 1 2

1 1 2 2

2 6

Quando deriviamo rispetto al vettore degli otteniamo

α,

2

∂σ 21

= +

α σ α ρσ σ

1 2 1 2

∂α

1

2

∂σ 22

= +

α ρσ σ α σ

1 1 2 2

∂α

1 Σα

Scritte in forma matriciale, queste due equazioni diventano (la regola è che “scom-

12 T α

u

). In modo analogo, quando deriviamo

pare” un tenendo conto della frazione

α,

α u

rispetto ad rimane perché è una costante; per lo stesso motivo, quando deriviamo

,

T α

m m

rimane

, .

Portafoglio ottimale ∗

α

Le quote ottimali di portafoglio sono

∗ −1 −1

α Σ u Σ m

= +

λ γ 7

Per ottenere i valori dei moltiplicatori e utilizziamo i due vincoli sostituendovi le quote

λ γ,

∗

α appena determinate. Poiché la somma delle quote di portafoglio deve essere

ottimali

pari a 1 e il rendimento atteso del portafoglio è otteniamo

m,

T T T

∗ −1 −1

α

u u Σ u u Σ m

= +

1 = λ γ

T T T

∗ −1 −1

μ α m Σ u m Σ m

= = +

m λ γ

Definiamo ora i seguenti scalari:

T T T

−1 −1 −1

u Σ u u Σ m m Σ m

= =

= , B , C .

A

Allora, il precedente sistema si può riscrivere come

+ = 1

λA γB

+ =

λB γC μ

o in forma matriciale come " #" # " #

1

A B λ =

B C γ μ 8

Moltiplicatori

I valori dei moltiplicatori e sono

λ γ

1 1 2

con

= (C = (Aμ

λ μB) , γ B) , D AC B

− − ≡ −

D D

L’equazione della frontiera efficiente

∗

α

Sostituendo gli ottimali e i valori dei moltiplicatori nell’equazione della varianza e

utilizzando le due equazioni dei vincoli, si ha

2 ∗T ∗ ∗T

α α μ

Σα u

= = (λ + )

σ γ

³ ´

1