Economia aziendale - Serie di Fourier

Serie di Fourier

ZZ 0 cos mx dxf (x) cos mx dx = 1−π−π+∞ πZX+ (a cos nx cos mx + b sin nx cos mx) dxn n−πn=1

Tenendo conto delle relazioni precedentemente ricordate siha che π1 Za = f (x) cos nx dx, per n = 0, 1, 2, . . .n π −π

Serie di Fourier – p. 9/5

sin mxed in modo analogo moltiplicando perπ π aZ Z 0 sin mx dxf (x) sin mx dx = 1−π −π+∞ πZX+ (a cos nx sin mx + b sin nx sin mx) dxn n−πn=1

e quindi π1 Z f (x) sin nx dx, per n = 1, 2, . . .b =n π −π

Serie di Fourier – p. 10/5

f ∈ R((−π, π)) 2π

Abbiamo che, data una e -periodica, ia bcoefficienti e definiti prima, si chiamano coefficienti din n fFourier associati a e l’espressione+∞a0 X (a cos nx + b sin nx)+ n n1 n=1 fsi chiama serie di Fourier associata ad . Serie di Fourier – p. 11/5

N.B. a1. Per poter scrivere i coefficienti con la stessa formulan∀ n ∈ n = 0(e quindi anche nel caso in

cui ) definiamoN π1 Z f (x) dxa =0 π −πn = m = 0Invece si avrebbe (caso )πZ f (x) dx = 2πa 0−πe quindi facciamo iniziare la serie di Fourier con il terminea0 .

1 Serie di Fourier – p. 12/52. Ricordiamo che una funzione è detta pari se e solo sef (x) = f (−x) dispari se e solo se; mentre è dettaf (x) = −f (−x). f (x)

3. Ogni funzione può essere scritta come somma diuna funzione pari e di una funzione dispari secondo laformula f (x) − f (−x)f (x) + f (−x)f (x) = f (x) + f (x) = +e o 1 1xx −x−x e − ee + ex +e = cosh x + sinh x =

Esempio: 1 Serie di Fourier – p. 13/54. In due casi il calcolo dei coefficienti di Fourier sisemplifica:

• f (x)se è una funzione pari, allora nel suo svilippo in seriedi Fourier devono comparire solo termini pari e quindib = 0, ∀n ≥ 1.
• f (x)se è una funzione dispari, allora nel suo svilippo inserie di Fourier

devono comparire solo termini dispari ea = 0, ∀n ≥ 0quindi .n Serie di Fourier – p. 14/5f (x)5. la serie di Fourier associata ad una funzione si puòesprimere usando una notazione complessa come:+∞ πZX inx −inxγ e , γ = e f (x) dxn n −πn=−∞dove si passa dalla forma reale a quella complessaγ = a /2ponendo e0 0 11 (a − ib ) e γ = (a + ib )γ = n n n nn −n1 1a = γ + γ e b = i(γ − γ )n n n n−n −n Serie di Fourier – p. 15/5e ricordando la formula di Euleroiye = cos y + i sin ysi ottiene la formula finale+∞ πZX inx −inxγ e , γ = e f (x) dxn n −πn=−∞ Serie di Fourier – p. 16/5DefinizioneIl termine generale della seriea cos nt + b sin ntn nn-esima armonica .si chiama la nLa sua frequenza è e si dice che la serie di Fourier è lo2πf (t) armoniche elementari.sviluppo di in serie di

Serie di Fourier – p. 17/5

Problema quando f ∈ R((−π, π)) 2π

Data una e -periodica, è fche la serie di Fourier associata ad (ovvero costruita tramite i coefficienti di Fourier di ) converge e f converge proprio ad ?

Serie di Fourier – p. 18/5

Convergenza della serie di Fourier

Condizione sufficiente affinché una serie di Fourier +∞ a0 X+ (a cos nx + b sin nx)n n1 n=1 converga è che siano convergenti le serie numeriche +∞ +∞ XX |b ||a | nn n=1n=1

Infatti abbiamo |a cos nx + b sin nx| ≤ |a | + |b |n n n n

Serie di Fourier – p. 19/5

e quindi se convergono assolutamente le due serie numeriche dei coefficienti, la serie di Fourier converge assolutamente per il criterio di confronto.

Serie di Fourier – p. 20/5

Notazione.

Indichiamo

• x il limite destro nel punto con 0+ ) = lim f (x)f (x 0 +x→x0

• x il limite di sinistra nel punto con 0− f (x ) = lim f (x)0 x→x−0

Serie di Fourier – p. 21/5

f(x

fx f è discontinua in ed esistono 000 + - Serie di Fourier – p. 29/5

Esempio 2πSviluppare in serie di Fourier la funzione -periodica[−π, π]definita su come f (x) = |x|−π π Serie di Fourier – p. 30/5

f (x) = f (−x) f b = 0, ∀n ∈Siccome ( pari) abbiamo Nnf a = 0f (x) = −f (−x) dispari) avremmo ,Se fosse ( n∀n ∈ N π1 Za = |x| cos nx dx =n π −π π0 Z1 Z x cos nx dx =−x cos nx dx += π 0−π Serie di Fourier – p. 31/5

π0 1 Z Z= − u cos nu du + =x cos nx dxπ π 0π1 Z x cos nx dx == π 0 π π 11 x Z−= sin nx sin nx dx =π n n0 01 1 1π n= [−1 − 1]− cos nx| =02 2π n n π Serie di Fourier – p. 32/5

Pertanto +∞1 cos(2n + 1)xπ X−f (x) = 21 π (2n + 1)n=0 ∀x ∈La serie converge puntualmente , siccome convergeRanche totalmente per il Teorema di Weierstrass convergeuniformemente.x

= 0Per abbiamo +∞ 11π X−0= 21 π (2n + 1)n=0ovvero +∞2 1π X= 28 (2n + 1)n=0 Serie di Fourier – p. 33/5y = f(x)−π π π πy = /2 − 4/ cos(x) π π πy = /2 − 4/ cos(x) −4/ cos(3x)/9π−4/ cos(3x)/9y = Serie di Fourier – p. 34/5Teorema di convergenza uniformefSia una funzione• • 2πregolare a tratti su e -periodica eR• continua su .R fAllora la serie di Fourier converge uniformemente ad su.RPiù in generale la convergenza è uniforme in ogni intervallofdi continuità della . Serie di Fourier – p. 35/5Esempio2πData la funzione -periodica definita da0 −π ≤ t ≤ 0senf (t) := 4 0 < t < πse fdeterminare la serie di Fourier associata a e discuterne laconvergenza puntuale ed uniforme.Si ha π π11 Z Zf (t) dt = 4 dt = 4,a =0 π π 0−πn ≥ 1e, per π π11 Z Zf (t) cos nt dt = 4 cos nt dt =a =n π π 0−π Serie