Che materia stai cercando?

Economia aziendale - Serie di Fourier Appunti scolastici Premium

Appunti di Economia aziendale - Serie di Fourier. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Serie di Fourier motivazioni, costruzione, Ricordo-Premessa serie di Fourier, Coefficienti di Fourier, Convergenza della serie di Fourier, ecc..

Esame di Analisi docente Prof. G. Gandini

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Notazione.

Indichiamo

• x

il limite destro nel punto con

0

+ ) = lim f (x)

f (x 0 +

x→x

0

• x

il limite di sinistra nel punto con

0

f (x ) = lim f (x)

0 x→x

0 Serie di Fourier – p. 21/5

f(x +)

0

f(x −)

0 x 0 Serie di Fourier – p. 22/5

f [a, b]

Definizione: è detta regolare a tratti su

∃ x , . . . , x

un numero finito di punti con

N

0

a = x < x < x < . . . < x = b

N

0 1 2

1

f ∈ C ([x , x ])

tali che .

i−1 i

f si dice che è regolare a tratti su se lo è su ogni

R

compatto in .

R Serie di Fourier – p. 23/5

a= x x x x = b

n

1 2

0 Serie di Fourier – p. 24/5

1

f ∈ C ([x , x ])

N.B. vuol dire

i−1 i

1

• f ∈ C ((x , x ))

i−1 i + −

• f (x ) f (x )

esistono e sono finiti ,

i−1 i

• esistono e sono finiti +

f (x) − f (x )

i−1

′∗ ,

f (x ) = lim

i−1

+ x − x

x→x i−1

i−1 −

f (x) − f (x )

i

′∗

f (x ) = lim

i

− x − x

x→x i

i Serie di Fourier – p. 25/5

f(x +)

0

f(x −)

0

f’*(x −)

0 x 0 f’*(x +)

0 Serie di Fourier – p. 26/5

Teoremi di convergenza

Teorema: (convergenza puntuale delle serie di Fourier) Sia

f una funzione

• 2π -periodica, 1

• C

regolare a tratti in ( ).

R

x ∈

Allora per ogni la serie di Fourier converge a

R 1 + −

[f (x ) + f (x )].

1 f (x) f

In particolare la serie converge a in ogni punto in cui

è continua. Serie di Fourier – p. 27/5

N.B.

• f

NON basta la continuità della per avere la conver-

genza della serie di Fourier (1876 du Bois-Raymond)

• Siccome i coefficienti sono definiti tramite un integrale, tali

f

coefficienti non cambiano cambiando la in punti isolati,

ovvero il comportamento della serie dipende dal

f

comportamento locale della e non da quello puntuale.

Serie di Fourier – p. 28/5

Condizione (D)

Ogni tanto si sente citare per ipotesi sulla convergenza x

delle serie di Fourier di una condizione (D) in un punto 0

che dice semplicemente

• f x

è derivabile in oppure

0 ′

′ (x ) • f

(x ) f

• f x f oppure

e

è continua in ed esistono 0

0

0 + −

′∗

′∗ (x )

(x ) f

x f e

è discontinua in ed esistono 0

0

0 + − Serie di Fourier – p. 29/5

Esempio 2π

Sviluppare in serie di Fourier la funzione -periodica

[−π, π]

definita su come f (x) = |x|

−π π Serie di Fourier – p. 30/5

f (x) = f (−x) f b = 0, ∀n ∈

Siccome ( pari) abbiamo N

n

f a = 0

f (x) = −f (−x) dispari) avremmo ,

Se fosse ( n

∀n ∈ N π

1 Z

a = |x| cos nx dx =

n π −π π

0

Z

1 Z x cos nx dx =

−x cos nx dx +

= π 0

−π Serie di Fourier – p. 31/5

π

0

1 Z Z

= − u cos nu du + =

x cos nx dx

π π 0

π

1 Z x cos nx dx =

= π 0 π

π 1

1 x Z

= sin nx sin nx dx =

π n n

0 0

1 1 1

π n

= [(−1) − 1]

− cos nx| =

0

2 2

π n n π Serie di Fourier – p. 32/5

Pertanto +∞

1 cos(2n + 1)x

π X

f (x) = 2

1 π (2n + 1)

n=0 ∀x ∈

La serie converge puntualmente , siccome converge

R

anche totalmente per il Teorema di Weierstrass converge

uniformemente.

x = 0

Per abbiamo +∞ 1

1

π X

0= 2

1 π (2n + 1)

n=0

ovvero +∞

2 1

π X

= 2

8 (2n + 1)

n=0 Serie di Fourier – p. 33/5

y = f(x)

−π π π π

y = /2 − 4/ cos(x) π π π

y = /2 − 4/ cos(x) −4/ cos(3x)/9

π

−4/ cos(3x)/9

y = Serie di Fourier – p. 34/5

Teorema di convergenza uniforme

f

Sia una funzione

• • 2π

regolare a tratti su e -periodica e

R

• continua su .

R f

Allora la serie di Fourier converge uniformemente ad su

.

R

Più in generale la convergenza è uniforme in ogni intervallo

f

di continuità della . Serie di Fourier – p. 35/5

Esempio

Data la funzione -periodica definita da

0 −π ≤ t ≤ 0

se

n

f (t) := 4 0 < t < π

se f

determinare la serie di Fourier associata a e discuterne la

convergenza puntuale ed uniforme.

Si ha π π

1

1 Z Z

f (t) dt = 4 dt = 4,

a =

0 π π 0

−π

n ≥ 1

e, per π π

1

1 Z Z

f (t) cos nt dt = 4 cos nt dt =

a =

n π π 0

−π Serie di Fourier – p. 36/5

π

1

4 =0

= sin nt

π n 0

π π

1 1

Z Z

b = f (t) sin nt dt = 4 sin nt dt =

n π π 0

−π π

1 4

4 n

− cos nt (1 − (−1) ).

=

= π n πn

0 Serie di Fourier – p. 37/5

b n

Notando che è nullo per pari ed utilizzando la

n

k = 2n + 1

sostituzione si ha 8 ,

b =

n π(2k + 1) f

e quindi la serie di Fourier associata ad si scrive come

+∞ n

4 (1 − (−1) )

X

2+ sin nt =

π n

n=1

+∞ 1

8 X sin(2k + 1)t.

2+ π 2k + 1

k=0 Serie di Fourier – p. 38/5

y = f(t)

y = π

2+8/ sen(t) π

y = π

2 + 8/ sen(t) + 8/ * 1/3 * sen(3t)

π

y = 8/ * 1/3 * sen(3t) Serie di Fourier – p. 39/5

Utilizzando i noti teoremi, la serie converge puntualmente

f t 6 = hπ h

ad per , con intero, e converge uniformemente ad

f su qualunque sottoinsieme chiuso di che non contenga

R

alcun punto del tipo . Serie di Fourier – p. 40/5

Osservazione T

Se avessimo una funzione periodica di periodo allora si

può fare lo sviluppo in serie di Fourier utilizzando le funzioni

2πn

2πn y , e cos y

sin T T

T

che sono funzioni -periodiche. In questo caso i coefficienti

di Fourier saranno T /2

1 2πn

Z y dy,

a = f (y) cos

n T T

/2

−T

per n = 0, 1, 2, . . . Serie di Fourier – p. 41/5

e T /2

1 2πn

Z

b = f (y) sin y dy,

n T T

/2

−T

n = 1, 2, . . .

per

si passa dalle vecchie formule alle nuove ponendo

2π y

x = T Serie di Fourier – p. 42/5

Lemma

f 2π

Sia una funzione regolare a tratti su e -periodica.

R

Allora tra tutti i polinomi trigonometrici

N

α

0 X

+

σ (x) = (α cos nx + β sin nx)

n n

N 1 n=1

i polinomi di Fourier (cioè con i coefficienti eguali ai

coefficienti di Fourier) sono quelli che minimizzano lo scarto

quadratico medio.

Ovvero π

1 Z 2

|f (x) − σ (x)| dx

N

2π −π

σ = s

è minimo se .

N N Serie di Fourier – p. 43/5


PAGINE

53

PESO

145.82 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Analisi
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
Università: Brescia - Unibs
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Brescia - Unibs o del prof Gandini Giuseppina.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Analisi

Analisi - Laplace
Appunto
Storia economica
Appunto
Economia aziendale
Appunto
Storia economica italiana
Appunto