Economia aziendale - Serie di Fourier

Serie di Fourier

motivazioni, costruzione

applicazioni

circa 4 ore lezione Serie di Fourier – p. 1/5

Motivazioni

Problema: Scrivere una funzione come sviluppo in serie

quando

• f non è regolare (per fare lo sviluppo in serie di Taylor

abbiamo bisogno che la funzione sia derivabile infinite

volte).

• f T > 0 x ∈

è periodica (ovvero esiste tale che per ogni R

f (x + T ) = f (x)

si abbia ) Serie di Fourier – p. 2/5

Esempio

Vediamo con un disegno dell’approssimazione della

4

2 x

x = + · · ·

cos x = 1 − in serie di Taylor.

funzione 1 4! cos x = 1 cosx=1−x^2+x^4

cosx = 1−x^2/2 Serie di Fourier – p. 3/5

sin nx, cos nx 2π

Osservazione: Le funzioni sono -periodiche

n ∈ a, b ∈

(per ogni ), pertanto per ogni la funzione

N R

a cos nx + b sin nx

2π

sarà -periodica, quindi anche la funzione

N

a

0 X

+ (a cos nx + b sin nx)

s (x) = n n

N 1 n=1

2π

è -periodica. Serie di Fourier – p. 4/5

y = sen (x) y = sen (2 x)

y = sen (3 x) y = sen (4 x) Serie di Fourier – p. 5/5

Il nostro scopo è dunque quello di cercare di scrivere una

f

funzione generale utilizzando le funzioni periodiche seno

e coseno come elementi di una “base dello spazio di

funzioni" come abbiamo utilizzato i polinomi come elementi

ω

C

di “base" per scrivere una funzione generica attraverso

la serie di Taylor. Serie di Fourier – p. 6/5

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Dovete ricordare che  0 se m 6 = n

π 

Z 

cos mx cos nx dx =

−π  π se m = n



e analogamente  0 se m 6 = n

π 

Z 

sin mx sin nx dx =

−π  π se m = n 6 = 0



Inoltre π

Z sin mx cos nx dx = 0, ∀n, m

−π Serie di Fourier – p. 7/5

Coefficienti di Fourier

Consideriamo dunque N

a

0 X

s (x) = + (a cos nx + b sin nx)

n n

N 1 n=1

Supponiamo che s (x) → f (x)

N

ovvero che la somma della serie sia una funzione

+∞

a

0 X

+ (a cos nx + b sin nx)

f (x) = n n

1 n=1 Serie di Fourier – p. 8/5

f a , b

Legame tra e n n

f cos mx m = 0, 1, . . .

Moltiplicando la per (con ) e

supponendo che si possa integrare termine a termine su di

un periodo (per esempio quest’ è possibile se c’è

[0, 2π]

convergenza uniforme su un periodo) , otteniamo

π

π a

Z

Z 0 cos mx dx

f (x) cos mx dx = 1

−π

−π

+∞ π

Z

X

+ (a cos nx cos mx + b sin nx cos mx) dx

n n

−π

n=1

Tenendo conto delle relazioni precedentemente ricordate si

ha che π

1 Z

a = f (x) cos nx dx, per n = 0, 1, 2, . . .

n π −π Serie di Fourier – p. 9/5

sin mx

ed in modo analogo moltiplicando per

π π a

Z Z 0 sin mx dx

f (x) sin mx dx = 1

−π −π

+∞ π

Z

X

+ (a cos nx sin mx + b sin nx sin mx) dx

n n

−π

n=1

e quindi π

1 Z f (x) sin nx dx, per n = 1, 2, . . .

b =

n π −π Serie di Fourier – p. 10/5

f ∈ R((−π, π)) 2π

Abbiamo che, data una e -periodica, i

a b

coefficienti e definiti prima, si chiamano coefficienti di

n n f

Fourier associati a e l’espressione

+∞

a

0 X (a cos nx + b sin nx)

+ n n

1 n=1 f

si chiama serie di Fourier associata ad . Serie di Fourier – p. 11/5

N.B. a

1. Per poter scrivere i coefficienti con la stessa formula

n

∀ n ∈ n = 0

(e quindi anche nel caso in cui ) definiamo

N π

1 Z f (x) dx

a =

0 π −π

n = m = 0

Invece si avrebbe (caso )

π

Z f (x) dx = 2πa 0

−π

e quindi facciamo iniziare la serie di Fourier con il termine

a

0 .

1 Serie di Fourier – p. 12/5

2. Ricordiamo che una funzione è detta pari se e solo se

f (x) = f (−x) dispari se e solo se

; mentre è detta

f (x) = −f (−x)

. f (x)

3. Ogni funzione può essere scritta come somma di

una funzione pari e di una funzione dispari secondo la

formula f (x) − f (−x)

f (x) + f (−x)

f (x) = f (x) + f (x) = +<