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Ipotesi di invarianza strutturale

In questo paragrafo e nel successivo affrontiamo l'ipotesi di invarianza strutturale, considerandola innanzitutto con riferimento alla semplice equazione del consumo β β(1.3.1) e verifichiamo che i suoi due parametri β rimangano invariati1 2 nell'intero campione, contro l'alternativa che essi cambino passando da una prima parte del campione, di ampiezza , ad una seconda, di ampiezza . Dal punto di vista economico questo cambiamento ha un significato rilevante, soprattutto per β quanto riguarda la propensione marginale al consumo , che raramente rimane2 costante nel medio-lungo periodo.

In presenza di cambiamento strutturale si ha= β + β + = nel primo sottoperiodo (3.4.1) y x u t 1, 2,..., nt 11 12 t t 1= β + β + = + + nel secondo sottoperiodo (3.4.2) y x u t n 1,..., n nt t t21 22 1 1 2 dove il primo indice di ogni coefficiente indica il regime, e il secondo la variabile cui il coefficiente è riferito.

La forma matriciale

(1.4.4) diventa 
<pre>
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ y x u1 0 0 111 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ x uy 1 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ 222 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ &beta; ⎤⎡ ...... ... ... ...... ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ 11 ⎥⎢ &beta;y x u1 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢ +=n n n121 1 1 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢&beta; uy x0 0 1+ + + ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ 111n n n21 ⎥⎢1 1 1&beta; ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ uy x0 0 1 ⎦⎣+ + + 222n n n221 1 1 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ...... ... ... ...... ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ y x u0 0 1 ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ + + +n n n n n n1 2 1 2 1 2cioè, in termini compatti &beta;⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤y X 0 u= +1 1 1 1 (3.4.3)⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦&beta;⎣ ⎦ ⎣y 0 X u2 2 2 2con ovvie definizioni dei vettori e delle matrici indicati. 3-32Modulo II &ndash; Minimi quadratiLa stima dei minimi quadrati ordinari &egrave; facilmente calcolata−′ ′1⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤&beta;ˆ ⎜ ⎟X 0 X 0 X 0 y= =1 1 1 1⎢ ⎥1 ⎢
</pre>
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vincolati dalle restrizioni lineari (3.4.5) sono[α ]′ u0 0 0 0− 1⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤X y[ ] [ ]⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
′−= = + +β (3.4.8)1 1 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ ] [ ]X X X X X X X X X y X y⎜ ⎟0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦X y⎝ ⎠2 2 3-33Modulo II – Minimi quadrati⎡ ⎤⎡ ⎤y X β−= 1 1 (3.4.9)⎢ ⎥⎢ ⎥u 0 0⎣ ⎦⎣ ⎦y X2 2per cui l’applicazione di ciascuna delle (2.5.4) è immediata. In questo caso il= =2 e il numero dei gradi di libertà della devianzanumero dei vincoli è ancora q k′ −2 = −4è ancora poiché questa è calcolata ipotizzando valido ilˆ ˆu u n k ncambiamento di struttura.Osservazione 3.5 - È conveniente, dal punto di vista didattico, rimarcareche l’ipotesi nulla da verificare è relativa all’omogeneità del campione enon al cambiamento strutturale, nel quale consiste, invece, l’ipotesiβalternativa. Inoltre, il vettore delle stime dei minimi quadrati0vincolati, che è necessario per determinare ed utilizzare

Il test dell'F0 di Fisher in una delle due forme (2.5.4), può naturalmente essere calcolato con la formula (1.11.18) che sfrutta la matrice ed il vettore ,R rma più semplicemente è determinabile tramite la (3.4.8) dato che nel caso di validità del vincolo (ipotesi nulla) il campione è omogeneo ( , )y Xe l'equazione (3.4.3) assume la forma semplice (3.4.7).

Test di cambiamento di struttura con le variabili di comodo

Nel paragrafo 3.1 abbiamo visto che le variabili di comodo possono essere utilizzate per rappresentare spostamenti (shift) nei parametri. Non sorprende quindi che esse giocchino un ruolo essenziale anche nella verifica dell'ipotesi di cambiamento di struttura. In sintesi, il test per la (3.4.5) può essere sottoposto a verifica accertando che siano nulle le variabili di comodo che misurano lo spostamento dei parametri fra il primo e il secondo sottoperiodo.

Formalmente, i due modelli (3.4.1) e (3.4.2) vengono fusi nell'unico

Il modello β β γ γ (3.4.10)= + + + ( ) +y x d d x ut 11 12 t 1 t 2 t t t γ è una shift dummy definita come i parametri misurano lodove la = ( > ) ed d I t n jt t 1spostamento dell’intercetta (per e della pendenza (per ). La (3.4.10) in= 1) = 2j jforma matriciale è 3-34Modulo II – Minimi quadrati ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡y x u1 0 01 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ y x u1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 2 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢β⎡ ⎤... ... ... ... ... ... ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11⎢ ⎥βy x u1 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +=n n n121 1 1⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥γy x x u1 1+ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 1 1n n n n 11⎢ ⎥1 1 1 1γ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥y x x u1 1 ⎣ ⎦+ + + +2n n n n2 2 221 1 1 1⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥... ... ... ... ... ...⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥y x x u1 1⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦+ + + +n n n n n n n n1 2 1 2 1 2 1 2Il test di cambiamento strutturale viene quindi condotto

verificando l'ipotesi nulla γ che i due parametri siano contemporaneamente nulli nella (3.4.10). La statistica j con 2 e gradi di libertà che si ottiene è identica a quella ottenuta applicando-4F nle (2.5.4) alle grandezze (3.4.8)-(3.4.9). 124000003500003000002500002000001500001000001970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4 1992Q3 1996Q2 Quarters CF90S Y90S

Figura 3.18 – Le serie storiche dei consumi e del PIL destagionalizzate con le variabili di comodo. Il grafico delle serie grezze è riportato nella I-2.2.

L'equivalenza è dimostrata da Gujarati [1970] al quale rinviamo il lettore desideroso di approfondimenti. Questa procedura è utile nel caso in cui non si disponga di un programma di calcolo che effettui automaticamente il test di cambiamento di struttura. La procedura standard infatti richiederebbe la stima di tre regressioni (quella su tutto il campione – la (1.3.1) e le due sui sottocampioni – le (3.4.1)-(3.4.2)),

mentre la procedura di Gujaratirichiede che se ne stimino due, cioè la (1.3.1) e la (3.4.10). 3-35Modulo II – Minimi quadratiPer esemplificare questi risultati riprendiamo le serie dei consumi e del redditorappresentate nella figura I-2.2 e utilizziamole per verificare l’ipotesi dicambiamento di struttura fra la (3.4.1) e la (3.4.2). Dato che queste seriepresentano stagionalità, la cui presenza, come sappiamo, può comportare unaviolazione delle ipotesi stocastiche deboli, prima di stimare il modello (1.2.1)rimuoviamo queste stagionalità con la regressione (3.3.2) reintegrando le rispettivemedie campionarie con la (3.3.15) per conservare i volumi. Le serie13destagionalizzate sono rappresentate nella figura 3.18, che può essere confrontatacon la I-2.2 per apprezzare l’efficacia della procedura.L’esame della figura 3.18 mostra che soprattutto nel caso del PIL la proceduralascia qualche residuo di ciclicità sta

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valeria0186
A.A. 2012-2013
8 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-P/05 Econometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Bagnai Andrea.