Econometria - il test di cambiamento strutturale

Modulo II – Minimi quadrati

3.4 Un test di cambiamento strutturale per il modello

lineare semplice

In questo paragrafo e nel successivo affrontiamo l’ipotesi di invarianza strutturale,

considerandola innanzitutto con riferimento alla semplice equazione del consumo

β β

(1.3.1) e verifichiamo che i suoi due parametri e rimangano invariati

1 2

nell’intero campione, contro l’alternativa che essi cambino passando da una prima

parte del campione, di ampiezza , ad una seconda, di ampiezza . Dal punto di

n n

1 2

vista economico questo cambiamento ha un significato rilevante, soprattutto per

β

quanto riguarda la propensione marginale al consumo , che raramente rimane

2

costante nel medio-lungo periodo.

In presenza di cambiamento cambiamento strutturale si ha

= β + β + =

nel primo sottoperiodo (3.4.1)

y x u t 1

, 2

,..., n

t 11 12 t t 1

= β + β + = + +

nel secondo sottoperiodo (3.4.2)

y x u t n 1

,..., n n

t t t

21 22 1 1 2

dove il primo indice di ogni coefficiente indica il regime, e il secondo la variabile cui

il coefficiente è riferito.

La forma matriciale (1.4.4) diventa ⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ y x u

1 0 0 1

1

1 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ x u

y 1 0 0 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ 2

2

2 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ β ⎤

⎡ ...

... ... ... ...

... ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ 11 ⎥

⎢ β

y x u

1 0 0 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢ +

=

n n n

12

1 1 1 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

β u

y x

0 0 1

+ + + ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ 1

1

1

n n n

21 ⎥

⎢

1 1 1

β ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ u

y x

0 0 1 ⎦

⎣

+ + + 2

2

2

n n n

22

1 1 1 ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ...

... ... ... ...

... ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ y x u

0 0 1 ⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣ + + +

n n n n n n

1 2 1 2 1 2

cioè, in termini compatti β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

y X 0 u

= +

1 1 1 1 (3.4.3)

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

β

⎣ ⎦ ⎣

y 0 X u

2 2 2 2

con ovvie definizioni dei vettori e delle matrici indicati. 3-32

Modulo II – Minimi quadrati

La stima dei minimi quadrati ordinari è facilmente calcolata

−

′ ′

1

⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

β

ˆ ⎜ ⎟

X 0 X 0 X 0 y

= =

1 1 1 1

⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥

⎜ ⎟

β ⎜ ⎟

ˆ ⎣ ⎣ ⎦

0 X 0 X 0 X y

⎦

⎣ ⎝ ⎠

2 2 2 2

2 (3.4.4)

−

′ ′

1 ⎡ ′ ′ ⎤

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1

X X 0 X y ( X X ) X y

= =

1 1 1 1 1 1 1 1

⎢ ⎥

⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

′ ′ ′ ′

−

1

⎣ ⎣ ⎦

0 X X X y ( X X ) X y

2 2 2 2 2 2 2 2

ed è uguale a quella che si otterrebbe stimando separatamente le due equazioni

(3.4.1) e (3.4.2). Le ipotesi sotto le quali è valida la stima OLS sono le (1.4.9)

adattate al caso presente

n >2 , r(X )=2 ; n >2 , r(X )=2

1 1 2 2

Se invece il cambiamento strutturale non vale, si verifica l’ipotesi nulla

β = β = β β = β = β (3.4.5)

H : ,

0 11 21 01 12 22 02

composta da due relazioni lineari che possono essere scritte nella forma (2.4.1)

β

− ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 1 0 0

=

1

⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

:

H β

−

0 ⎣ 0 1 0 1 0

2

′ ′ ′

β = β β . Supponendo valide le ipotesi forti sui residui in

essendo in questo caso [ ]

1 2 −

ambedue i sottoperiodi si può utilizzare il test della di Fisher con e gradi di

F 2 n 4

β̂

libertà dato dalla (2.4.12), dove ed vengono calcolate ipotizzando valido il

û

cambiamento di struttura, per cui

[ ]

′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

y X 0

′ ′

β β β

= β̂

= −

ˆ ˆ ˆ , 1 1 (3.4.6)

ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

u

1 2 ⎣ ⎦ ⎣

y 0 X

2 2 di Fisher dato in una delle due

Se, invece, si preferisce utilizzare il test della F β = β = β

forme (2.5.4), occorre considerare che se è valida si ha che , la (3.4.3)

H

0 1 2 0

diventa β

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

y X +

= 01

1 1 (3.4.7)

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ u

β 0

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y X

2 2 02

β = β

ed i vettori ed vincolati dalle restrizioni lineari (3.4.5) sono

[α ]′ u

0 0 0 0

− 1

⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

X y

[ ] [ ]

⎜ ⎟

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

−

= = + +

β (3.4.8)

1 1 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ ] [ ]

X X X X X X X X X y X y

⎜ ⎟

0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

X y

⎝ ⎠

2 2 3-33

Modulo II – Minimi quadrati

⎡ ⎤

⎡ ⎤

y X β

−

= 1 1 (3.4.9)

⎢ ⎥

⎢ ⎥

u 0 0

⎣ ⎦

⎣ ⎦

y X

2 2

per cui l’applicazione di ciascuna delle (2.5.4) è immediata. In questo caso il

= =2 e il numero dei gradi di libertà della devianza

numero dei vincoli è ancora q k

′ −2 = −4

è ancora poiché questa è calcolata ipotizzando valido il

ˆ ˆ

u u n k n

cambiamento di struttura.

Osservazione 3.5 - È conveniente, dal punto di vista didattico, rimarcare

che l’ipotesi nulla da verificare è relativa all’omogeneità del campione e

non al cambiamento strutturale, nel quale consiste, invece, l’ipotesi

β

alternativa. Inoltre, il vettore delle stime dei minimi quadrati

0

vincolati, che è necessario per determinare ed utilizzare il test della

u F

0

di Fisher in una delle due forme (2.5.4), può naturalmente essere

calcolato con la formula (1.11.18) che sfrutta la matrice ed il vettore ,

R r

ma più semplicemente è determinabile tramite la (3.4.8) dato che nel

caso di validità del vincolo (ipotesi nulla) il campione è omogeneo

( , )

y X

e l’equazione (3.4.3) assume la forma semplice (3.4.7).

Test di cambiamento di struttura con le variabili di comodo

Nel paragrafo 3.1 abbiamo visto che le variabili di comodo possono essere utilizzate

per rappresentare spostamenti (shift) nei parametri. Non sorprende quindi che esse

giochino un ruolo essenziale anche nella verifica dell’ipotesi di cambiamento di

struttura. In sintesi, il test per la (3.4.5) può essere sottoposto a verifica accertando

che siano nulle le variabili di comodo che misurano lo spostamento dei parametri

fra il primo e il secondo sottoperiodo.

Formalmente, i due modelli (3.4.1) e (3.4.2) vengono fusi nell’unico modello

β β γ γ (3.4.10)

= + + + ( ) +

y x d d x u

t 11 12 t 1 t 2 t t t γ

è una shift dummy definita come i parametri misurano lo

dove la = ( > ) e

d d I t n j

t t 1

spostamento dell’intercetta (per e della pendenza (per ). La (3.4.10) in

= 1) = 2

j j

forma matriciale è 3-34