Econometria - il test di cambiamento strutturale

Modulo II – Minimi quadrati

Un test di cambiamento strutturale per il modello lineare semplice

In questo paragrafo e nel successivo affrontiamo l’ipotesi di invarianza strutturale, considerandola innanzitutto con riferimento alla semplice equazione del consumo β β (1.3.1) e verifichiamo che i suoi due parametri rimangano invariati nell’intero campione, contro l’alternativa che essi cambino passando da una prima parte del campione, di ampiezza n₁, ad una seconda, di ampiezza n₂. Dal punto di vista economico questo cambiamento ha un significato rilevante, soprattutto per quanto riguarda la propensione marginale al consumo, che raramente rimane costante nel medio-lungo periodo.

In presenza di cambiamento strutturale si ha:

Nel primo sottoperiodo:

(3.4.1) y = β₁₁ + β₁₂x + u_t, t = 1, 2, ..., n₁

Nel secondo sottoperiodo:

(3.4.2) y = β₂₁ + β₂₂x + u_t, t = n₁ + 1, ..., n₁ + n₂

Dove il primo indice di ogni coefficiente indica il regime, e il secondo la variabile cui il coefficiente è riferito. La forma matriciale (1.4.4) diventa:

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ y x u₁ 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ x uy₁ 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ β ⎤⎡ ...... ... ... ...... ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢β uy₁ 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢ +=n₁ n₁ n₁ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢β uyx0 0 1+ + + ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ 111n₁ n₁ n₁ ⎥⎢1 1 1β ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ uyx0 0 1 ⎦⎣+ + + 222n₁ n₁ n₁ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ...... ... ... ...... ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢ y x u0 0 1 ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ + + +n₁ n₁ n₁ n₁ n₁ n₁ cioè, in termini compatti:

(3.4.3) y = X¹β₁ + u₁

Con ovvie definizioni dei vettori e delle matrici indicati.

Modulo II – Minimi quadrati

La stima dei minimi quadrati ordinari è facilmente calcolata:

−′ ′1⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤βˆ ⎜ ⎟X 0 X 0 X 0 y= =1 1 1 1⎢ ⎥1 ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎜ ⎟β ⎜ ⎟ˆ ⎣ ⎣ ⎦0 X 0 X 0 X y⎦⎣ ⎝ ⎠2 2 2 22 (3.4.4)

−′ ′1 ⎡ ′ ′ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1X X 0 X y ( X X ) X y= =1 1 1 1 1 1 1 1⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦′ ′ ′ ′−1⎣ ⎣ ⎦0 X X X y ( X X ) X y2 2 2 2 2 2 2 2

Ed è uguale a quella che si otterrebbe stimando separatamente le due equazioni (3.4.1) e (3.4.2). Le ipotesi sotto le quali è valida la stima OLS sono le (1.4.9) adattate al caso presente n₁ > 2, r(X₁) = 2; n₂ > 2, r(X₂) = 2.

Se invece il cambiamento strutturale non vale, si verifica l’ipotesi nulla:

(3.4.5) H₀: β₁₁ = β₂₁ = β₀₁ & β₁₂ = β₂₂ = β₀₂

Composta da due relazioni lineari che possono essere scritte nella forma (2.4.1):

β− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 1 0 0=1⎢⎣ ⎥⎦⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦:H β−0 ⎣ 0 1 0 1 02′ ′ ′β = β β . Supponendo valide le ipotesi forti sui residui in essendo in questo caso [ ]1 2 − ambedue i sottoperiodi si può utilizzare il test della F di Fisher con e gradi di libertà dato dalla (2.4.12), dove ed vengono calcolate ipotizzando valido il cambiamento di struttura, per cui [ ]′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤y X 0′ ′β β β= β̂= −ˆ ˆ ˆ.