Econometria - il test di cambiamento strutturale

Modulo II – Minimi quadrati

Per esemplificare questi risultati riprendiamo le serie dei consumi e del reddito

rappresentate nella figura I-2.2 e utilizziamole per verificare l’ipotesi di

cambiamento di struttura fra la (3.4.1) e la (3.4.2). Dato che queste serie

presentano stagionalità, la cui presenza, come sappiamo, può comportare una

violazione delle ipotesi stocastiche deboli, prima di stimare il modello (1.2.1)

rimuoviamo queste stagionalità con la regressione (3.3.2) reintegrando le rispettive

medie campionarie con la (3.3.15) per conservare i volumi. Le serie

13

destagionalizzate sono rappresentate nella figura 3.18, che può essere confrontata

con la I-2.2 per apprezzare l’efficacia della procedura.

L’esame della figura 3.18 mostra che soprattutto nel caso del PIL la procedura

lascia qualche residuo di ciclicità stagionale. Questo risultato potrebbe dipendere

da cambiamenti di struttura nel ciclo stagionale. In effetti la (3.3.2) presuppone che

questo ciclo abbia struttura costante su tutto il campione, ma se così non è ed

esistono, poniamo, due distinti regimi di stagionalità nel campione (il primo valido

da a , e il secondo da a a ), i fattori di destagionalizzazione stimati

1 +1

n n n

1 1

mediante la (3.3.2) vengono ad essere una mistura di quelli relativi ai due regimi e

quindi sottraendoli alla serie non si ottiene mai una serie perfettamente

destagionalizzata. Ricordiamo dal capitolo I-2 che la teoria economica prevede che

il consumo assorba in qualche misura gli shock reali e abbia quindi un profilo più

livellato nel tempo. Ne consegue che anche le procedure di destagionalizzazione

applicate ad esso avranno maggiore efficacia, come sembra indicare la figura 3.18.

Fatte queste riserve, prendiamo comunque per buone le serie destagionalizzate

della figura 3.18 e le impieghiamo per applicare il test di cambiamento di

F

struttura.

Per verificare l’ipotesi di cambiamento di struttura occorre in primo luogo

determinare la data nella quale ha termine il primo sottoperiodo. In mancanza

n

1

di informazioni a priori, indicazioni in tal senso possono essere ricavate dal grafico

dei residui sotto la nulla (cioè in assenza di cambiamento di struttura), cioè dai

residui dell’equazione stimata sull’intero campione. Nel nostro caso questa stima

produce i seguenti risultati:

Come sappiamo, in generale è indifferente se la stagionalità viene rimossa prima della

13

stima del modello (come nella (3.3.24)) o contestualmente ad essa inserendo le dummy nella

regressione (come nella (3.3.26)). In questo caso però rimuovendo la stagionalità prima di

effettuare il test di cambiamento di struttura stiamo implicitamente ipotizzando che i

fattori di destagionalizzazione non cambino da un sottoperiodo all’altro. Questa ipotesi

viene fatta solo per comodità didattica (cioè per concentrare l’attenzione sui soli parametri

α β),

e ma nei casi concreti potrebbe rivelarsi inappropriata, per cui una corretta prassi

prevede che il test di cambiamento di struttura coinvolga anche i fattori di

destagionalizzazione e detrendizzazione e venga quindi eseguito sulla regressione completa

(3.3.26). 3-36

Modulo II – Minimi quadrati

=

ĉ -27026.0 + 0.697 y

t t (3.4.11)

(-21.0) (150.2)

= = =

2 2

= 107, 0.995, = 0.995, 640,024,057.05, 2468.9, = 3.18

n R R RSS SEE JB

c

e il grafico dei suoi residui è rappresentato nella figura 3.19, dalla quale risultano

distintamente almeno due episodi di cambiamento di struttura, situati

approssimativamente all’inizio degli anni ‘80 (dove i residui, dopo aver toccato un

minimo con un’osservazione anomala negativa, cominciano a manifestare

oscillazione sensibilmente meno pronunciate di quelle verificatesi negli anni ’70), e

all’inizio degli anni ’90 (dove i residui, dopo aver toccato un massimo, si pongono su

un evidente trend decrescente).

Plot of Residuals and Two Standard Error Bands

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

-1000

-2000

-3000

-4000

-5000

-6000 1996Q3

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4 1992Q3 1996Q2

Quarters

Figura 3.19 – Il grafico dei residui dell’equazione del consumo (3.4.11) stimata sull’intero

campione 1970:1-1996:3.

Soffermandoci su questo secondo episodio, nel quale il modello tende

vistosamente a sovrastimare la variabile dipendente (generando così residui

negativi sempre più grandi), prendiamo come la data immediatamente

n 1

precedente al punto di massimo dei residui, ovvero 1991:4 (supponiamo cioè che il

secondo regime abbia inizio nel 1992). Riportiamo di seguito la stima delle (3.4.1)-

(3.4.2), cioè delle equazioni relative ai due sottocampioni

=

ĉ -28274.6 + 0.703 y

t t (3.4.12)

(-20.8) (134.9)

= = =

2 2

= 88, 0.995, = 0.995, 415,181,154.24, 2197.2, = 1.65

n R R RSS SEE JB

c 3-37

Modulo II – Minimi quadrati

=

ĉ 98259.7 + 0.326 y

t t (3.4.13)

(5.3) (5.9)

= = =

2 2

= 19, 0.678, = 0.659, 58,383,954.08, 1853.2, = 0.90

n R R RSS SEE JB

c

Le stime nei due sottocampioni differiscono in modo così marcato da far pensare

che queste differenze non siano effetto della normale variabilità campionaria. Nel

secondo sottoperiodo, di 19 osservazioni, la propensione marginale al consumo si

dimezza, passando da 0.70 a 0.32, e la significatività complessiva del modello

2

diminuisce sensibilmente, con un che scende da 0.99 a 0.65.

R c

di cambiamento di struttura la forma più pratica è in

Per effettuare il test F

questo caso senz’altro quella basata sulle devianze, cioè la prima delle (2.5.4). Nel

nostro caso la devianza vincolata (sotto ) è quella della (3.4.11), pari a

H

0

, mentre la devianza “libera” è data dalla somma delle devianze delle

640,024,057.05

(3.4.12) e (3.4.13), pari a 473,565,108.32. La statistica del test, con 2 e -4 = 103

n

gradi di libertà, è quindi: −

640

,

024

,

057

.

05 473

,

565

,

108

.

32 103 =18.10 (3.4.14)

473

,

565

,

108

.

32 2 α

che al livello è pari a circa

e va confrontata con il valore soglia della = 0.05

F

2,103

3.09. L’ipotesi di assenza di cambiamento di struttura è quindi rifiutata.

Per concludere, mostriamo che con l’approccio delle variabili di comodo espresso

dalla (3.4.10) è possibile effettuare il medesimo test stimando due sole regressioni.

Infatti, oltre alla regressione (3.4.11) sotto la nulla, che va comunque stimata, per

ottenere la devianza “libera” basterà stimare la (3.4.10), che nel nostro caso

fornisce i seguenti risultati

=

ĉ -28274.6 + 0.703 +126534.3 - 0.376

y d d y

t t t t t (3.4.15)

138

(-21.3) ( .2) (5.9) (-5.9)

= = =

2 2 473,565,108.32

= 107, 0.996, = 0.996, , 2144.2, = 1.07

n R R RSS SEE JB

c

dove è la shift dummy costruita come (cioè la variabile che vale

= ( >1991:4 )

d d I t

t t

zero nel primo sottoperiodo e uno nel secondo).

Si noti come nella (3.4.15) l’intercetta e la propensione marginale al consumo

siano quelle della (3.4.12) mentre i parametri delle variabili e misurano lo

d d y

t t t

spostamento rispettivamente dell’intercetta e della propensione marginale fra il

primo e il secondo sottoperiodo (cioè fra la (3.4.12) e la (3.4.13)). Il test sulla

F

significatività congiunta di questi due coefficienti coincide per costruzione con la

(3.4.14) e ha il medesimo significato. Si noti anche che questo approccio fornisce più

informazioni sulla natura del fenomeno. Ad esempio, se nella (3.4.15) fosse

significativa la di Student di uno solo dei due spostamenti, ne concluderemmo che

t 3-38