Econometria - il modello lineare generale

Francesco Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo II – Minimi quadrati

1. Il modello lineare generale

Indice del capitolo

• 1.1 Serie storiche, dati sezionali e longitudinali
• Dati longitudinali
• 1.2 Il criterio dei minimi quadrati
• 1.3 I minimi quadrati nel modello lineare semplice
• Le stime dei minimi quadrati nel modello lineare semplice
• 1.4 I minimi quadrati nel modello lineare multiplo
• La condizione necessaria per i minimi quadrati e le equazioni normali
• L’ortogonalità dei residui rispetto alle variabili esplicative
• Un esempio: il modello lineare semplice in termini matriciali
• La condizione sufficiente per i minimi quadrati
• 1.5 La scomposizione della devianza ed il coefficiente di determinazione
• Il coefficiente di determinazione in termini matriciali
• Il coefficiente di determinazione corretto
• Il coefficiente di determinazione per il modello con le variabili scarto
• 1.6 I residui come enti aleatori: le ipotesi deboli
• Lo stimatore dei minimi quadrati per il modello lineare semplice
• Lo stimatore dei minimi quadrati per il modello lineare multiplo
• 1.7 La stima della varianza dei residui
• La distorsione della varianza campionaria
• 1.8 Il teorema di Gauss-Markov e gli stimatori BLU
• 1.9 La matrice di correlazione degli stimatori dei parametri di regressione
• 1.10 La stima dei minimi quadrati di una funzione delle importazioni
• 1.11 Il criterio dei minimi quadrati vincolati
• La stima dei minimi quadrati vincolati
• Le stime dei minimi quadrati vincolati per una funzione delle importazioni
• Il vincolo di omogeneità di grado zero sui prezzi
• Il doppio vincolo dell’uguaglianza delle elasticità e dell’omogeneità sui prezzi
• 1.12 Riferimenti bibliografici

18/03/03; 18.20 Edizione 2.1

1.1 Serie storiche, dati sezionali e longitudinali

Fin dall’inizio è stata presa in considerazione la semplice funzione del consumo di derivazione keynesiana (I-2.1.1) nella quale consumo e reddito, legati da una relazione lineare, possono essere riferiti ad istanti differenti di tempo, oppure ad unità di consumo e di reddito (ad esempio famiglie), t = 1, 2, ..., n, considerate allo stesso tempo. Si possiede, allora, nel primo caso un i = 1, 2, ..., N_t di osservazioni che formano campione serie storiche = α + β_t (1.1.1) c_t y_t = 1, 2, ..., n_t mentre nel secondo le osservazioni compongono dati sezionali = α + β_i (1.1.2) c_i y_i = 1, 2, ..., N_i.

Un campione temporale di ampiezza n può essere costruito mediante indagini che si protraggono nel tempo, oppure tramite una disaggregazione temporale (ad esempio trimestralizzazione o mensilizzazione di dati annuali), mentre un campione sezionale di ampiezza N può essere estratto da un’inchiesta puntuale nel tempo, ad esempio un’indagine sulla spesa di un gruppo di famiglie oppure un censimento. I modelli (1.1.1) e (1.1.2) sono analoghi e differiscono unicamente nel modo con cui i dati sono stati reperiti. Naturalmente esistono modelli i cui dati sono contemporaneamente sezionali e temporali, come nell’esempio seguente:

= α + β_t ; (1.1.3) c_y t = 1, 2, ..., n_i = 1, 2, ..., N_it rappresentativo di una funzione del consumo nella quale ciascuna famiglia i possiede una propria funzione definita dai parametri α_i β_i, considerati costanti nel campionario, cioè per periodo di osservazione t = 1, 2, ..., n.

Se poniamo:

N_i = N_i = N_i

e nell’ipotesi che tutte le propensioni marginali al consumo siano uguali, β₁ = β₂ = ... = β_N, le equazioni (1.1.3) possono essere sommate membro a membro in modo da dare:

= α + β_t = 1, 2, ..., n_t costituendo questa l’aggregazione sezionale delle (1.1.3). Le serie storiche o temporali vengono dette in lingua inglese time series mentre i dati sezionali sono detti cross-section data.

Dati longitudinali

Se il campione di famiglie considerato nella (1.1.3) rimane costante negli tempi, i dati ad esso relativi, c_it e y_it, sono chiamati longitudinali, alludendo al fatto che un campione di più individui viene seguito lungo il tempo. Per il trattamento dei dati longitudinali si usano procedure econometriche specifiche che non saranno trattate nel presente modulo. In lingua inglese i dati longitudinali vengono chiamati panel data (dal termine panel, che indica un gruppo di individui).

1.2 Il criterio dei minimi quadrati

Generalmente i valori dei parametri di un’equazione non sono conosciuti ed occorre stimarli a partire da un campione di osservazioni. Volendo, ad esempio, determinare i valori di α e β nella funzione del consumo (1.1.1), è necessario disporre di un campione costituito dagli n consumi e dai corrispondenti redditi, che possono essere temporali o sezionali a seconda delle circostanze. In generale, nel prosieguo, supporremo che i dati siano temporali, essendo relativamente facile utilizzare nel caso sezionale le tecniche sviluppate partendo da osservazioni temporali.

Il campione costituito dalle c_t e dalle y_t può essere riportato in un grafico del tipo illustrato nella figura 1.1, detto diagramma di dispersione delle coppie di valori (c_t, y_t), dal quale risulta evidente l’ovvia circostanza che in generale non esiste una retta che passi esattamente per tutti i punti individuati da questi dati, e che pertanto non esistono valori di α e β che soddisfino perfettamente la (1.1.1) per ognuna delle coppie campionarie.

Il diagramma di dispersione di consumi e reddito - Italia 1970-1996

Si può, invece, trovare una retta del tipo (1.1.1), e quindi una coppia di valori α e β, tale che attraversi la “nuvola” di punti nel diagramma di figura 1.1 con una distanza da questi punti, misurata secondo le ordinate, che obbedisca ad un particolare criterio di ottimo, scelto soggettivamente. Se il criterio fa determinare i valori α̂ e β̂, l’equazione della retta è ˆc_t = α̂ + β̂ y_t definente i valori teorici per il consumo, in funzione delle campionarie c_t e di y_t; le differenze tra i valori osservati e quelli teorici costituiscono i residui u_t = c_t - ˆc_t = c_t - α̂ - β̂ y_t per t = 1, 2, ..., n.

Ad ogni coppia α̂, β̂, corrisponde una serie storica di residui diversa, per cui finché ad α e β non si danno valori determinati è possibile considerare una serie di residui non specificata ma che si suppone generata dal modello:

u_t = c_t - α - β y_t per t = 1, 2, ..., n. (1.2.1)

Si è detto che il criterio con il quale si determinano α̂ e β̂ è soggettivo; spesso si usa il criterio dei minimi quadrati, sviluppato indipendentemente dai matematici K. F. Gauss e A. M. Legendre tra la fine del diciottesimo e gli inizi del diciannovesimo secolo, mediante il quale i valori α̂ e β̂ sono calcolati minimizzando la somma dei quadrati dei residui:

S(α, β) = Σ (c_t - α - β y_t)² per t = 1, 2, ..., n. (1.2.2)

detta devianza dei residui. Questo criterio si basa sulla ricerca della retta che attraversa la nuvola di punti in modo tale da minimizzare la somma dei quadrati delle distanze tra se stessa e i punti, con tali distanze prese rispetto all’asse delle ordinate. Al posto di questo criterio se ne possono scegliere altri, ad esempio quello basato sulla minimizzazione della somma dei valori assoluti:

S'(α, β) = Σ |c_t - α - β y_t| per t = 1, 2, ..., n. (1.2.3)

mediante il quale, ovviamente, si ricavano valori diversi per α e β dai precedenti α̂ e β̂. Generalmente, con criteri differenti si ottengono stime diverse per α e β. A prescindere dal criterio utilizzato, i parametri α e β sono supposti valere identici per ogni coppia t, cioè per ogni periodo campionario, ovverosia che il campione sia omogeneo.

Osservazione

In ambedue i criteri sopra indicati i valori negativi e quelli positivi delle u_t sono trattati alla stessa stregua (simmetricamente). Nel criterio definito dalla (1.2.2) i residui intervengono a comporre la devianza in modo non lineare, in quanto il loro contributo ad essa è proporzionale al loro quadrato. In termini geometrici questo equivale a dire che la retta dei minimi quadrati del tipo (1.1.1) è determinata in modo che sia più sensibile ai punti più “esterni” nella nuvola che non a quelli più “interni” (e vicini alla stessa retta).

Osservazione

Le distanze sono prese parallelamente all’asse delle ordinate ma potrebbero essere parimenti considerate parallelamente all’asse delle ascisse, oppure anche ortogonali alla retta che definisce i valori teorici ĉ_t.

1.3 I minimi quadrati nel modello lineare semplice

Il modello (1.2.1) può essere scritto nella forma un poco più generale:

u_t = y_t - β₁ - β₂ x_t per t = 1, 2, ..., n. (1.3.1)

dove y_t è la variabile endogena (il consumo) e x_t un’esplicativa (il reddito). In effetti, x_t non può essere considerata generalmente un’esogena poiché talvolta rappresenta un’endogena in altre equazioni; ad esempio, la x_t che costituisce un’esogena nell’equazione singola (I-2.1.1) corrisponde all’endogena nella seconda equazione del sistema (I-2.3.1); è più conveniente, pertanto, chiamare la x_t nella (1.3.1) variabile esplicativa (di y_t). In questo caso più generale i valori teorici per le y_t sono dati da:

ŷ_t = β₁ + β₂ x_t per t = 1, 2, ..., n. (1.3.2)

mentre le differenze tra i valori osservati e quelli teorici costituiscono i valori dei residui:

û_t = y_t - ŷ_t = y_t - β₁ - β₂ x_t per t = 1, 2, ..., n. (1.3.3)

Se le variabili esplicative sono k, il modello (1.3.1) viene generalizzato nell’altro:

y_t = β₁ x_1t + β₂ x_2t + ... + β_k x_kt + u_t. (1.3.4)

che non necessariamente corrisponde ad una generica equazione della forma ridotta (I-3.4.1); in linea di principio le x_it sono variabili esplicative per y_t, per cui la (1.3.4) può essere sia un’equazione qualsiasi del sistema (I-3.4.1), in forma ridotta, sia una del sistema (I-3.2.1), in forma strutturale, risolta rispetto ad una variabile endogena. Il modello (1.3.4) è detto lineare multiplo. La (1.3.2) è a sua volta un caso particolare della seguente:

u_t = g(y_t, x_1t, x_2t, ..., x_kt; a₁, a₂, ..., a_h) per t = 1, 2, ..., n. (1.3.5)

dove le x_it sono le variabili esplicative, le a_j sono i parametri del modello, variabili nello spazio parametrico A, e g è una funzione che può essere lineare, come nella formulazione (1.3.4), oppure non lineare.

Le stime dei minimi quadrati nel modello lineare semplice

Le stime dei parametri possono essere determinate con il criterio dei minimi quadrati, per mezzo del quale si calcolano i valori per i quali si ottiene il minimo della devianza:

S(a₁, a₂, ..., a_h) = Σ (g(y_t, x_1t, x_2t, ..., x_kt; a₁, a₂, ..., a_h))² per t = 1, 2, ..., n. (1.3.6)

Le condizioni necessarie affinché valga la (1.3.6) impongono che siano soddisfatte le equazioni seguenti:

∂S(a₁, a₂, ..., a_h) / ∂a_i = 0 per i = 1, 2, ..., h, dette equazioni normali. Queste possono essere lineari oppure non lineari, a seconda delle (1.3.5). Nel primo caso si perviene ai minimi quadrati ordinari lineari (OLS: Ordinary Least Squares, in lingua inglese); nel secondo caso ai minimi quadrati non lineari (NLLS: Non Linear Least Squares, in inglese).

Nel caso lineare della (1.3.1) il criterio dei minimi quadrati (1.3.6) comporta la determinazione del minimo seguente:

∑ (y_t - β₁ - β₂ x_t)² per t = 1, 2, ..., n. (1.3.7)

per il quale occorre trovare le derivate prime di S(β₁, β₂) e uguagliarle a zero, ottenendosi le due equazioni normali:

∂S/∂β₁ = Σ (y_t - β₁ - β₂ x_t) = 0 per t = 1, 2, ..., n. (1.3.8)

∂S/∂β₂ = Σ (y_t - β₁ - β₂ x_t) x_t = 0 per t = 1, 2, ..., n.

cioè:

Σ y_t = n β₁ + β₂ Σ x_t (1.3.9)

Σ x_t y_t = β₁ Σ x_t + β₂ Σ x_t² (1.3.10)

Se si pone:

m_x = Σ x_t / n, m_y = Σ y_t / n, m_xx = Σ x_t² / n, m_xy = Σ x_t y_t / n. (1.3.11)

dalla prima delle (1.3.9) si ricava, dividendo per n,

m_y = β₁ + β₂ m_x. (1.3.12)

e dalla seconda, sostituendo il valore di β₁ dato dalla (1.3.12),

Σ x_t y_t - m_y Σ x_t = β₂ (Σ x_t² - Σ x_t² / n).

cioè:

m_xy - m_y m_x = β₂ (m_xx - m_x²).

dalle quali si ottiene la stima dei minimi quadrati:

β₂ = (m_xy - m_y m_x) / (m_xx - m_x²),

e, sostituendo nella (1.3.12), quella di β₁:

β₁ = m_y - β₂ m_x.

Le stime β̂₁ e β̂₂ costituiscono effettivamente un punto di minimo per S(β₁, β₂) in quanto sono soddisfatte anche le condizioni sufficienti, date dalle derivate seconde.