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Modulo II – Minimi quadrati

( ) ( )

~ ~ ~ ~

=

e poiché , essa è simmetrica. Questa proprietà di

E u u E u u

i j j i

simmetria vale per qualsiasi matrice di dispersione (si veda la XXI-

2.3.6). ~ ~

Le prime due ipotesi implicano che sia . In altre parole, le

u u

E(X′ ) = X′E( ) = 0

ipotesi deboli implicano che le colonne della matrice siano ortogonali rispetto ai

20

X

~

residui . Si noti che questa condizione equivale di fatto a imporre sui momenti

u

della popolazione una condizione che abbiamo già visto essere verificata dai

momenti campionari (si veda la (1.4.15)).

In termini stocastici il modello matriciale (1.4.4) è scritto

~ ~

= β + (1.6.13)

y X u

~ ~ ~ ~

=

dove , con valor medio vettoriale

y [ y y ... y ]

1 2 n ~ = β (1.6.14)

E ( y ) X

e matrice di dispersione

~ ~ ~

= − β = = σ (1.6.15)

2

Cov ( y ) Cov ( y X ) Cov (

u ) I n

β̂

La stima dei minimi quadrati può ancora essere calcolata mediante la

(1.4.10) ma se è interpretata in termini aleatori, in funzione della (1.6.13), diventa

~ ~

− −

′ ′ ′ ′

β = = β + =

ˆ 1 1

( X X ) X y ( X X ) X ( X u ) (1.6.16)

′ ′ ′ ′ ′ ′

~ ~

− − −

= β + = β +

1 1 1

(

X X ) X X ( X X

) X u ( X X ) X u β.

e rappresenta quindi uno (quello dei minimi quadrati) di

stimatore

1.16 - Evidenziamo che la validità dello stimatore (1.6.16)

Osservazione

è subordinata all’assunzione congiunta delle ipotesi deboli (1.6.10) e

delle altre (1.4.11).

1.17 - Rimarchiamo la differenza (di interpretazione) tra la

Osservazione

β̂

stima (1.4.10), funzione delle variabili osservate ( , ), e lo stimatore

y X

~

β̂ (1.6.16), funzione del vettore aleatorio oltre che delle .

X

y β̂

Dalla (1.6.16) si ricava il valor medio vettoriale dello stimatore 21 (1.6.17)

~ ~

− −

β = β + ′ ′ = β + ′ ′ = β

ˆ 1 1

E ( ) E [( X X

) X u ] ( X X ) X E

[ u ]

che indica che lo stimatore dei minimi quadrati è (o

non distorto corretto).

Ci riferiamo qui alla nozione di ortogonalità in senso stocastico definita dalla XXI-

20

(2.3.11).

I passaggi seguenti sfruttano la proprietà di linearità dell’operatore discussa nel

E

21

paragrafo XXI-2.3 (si veda la XXI-(2.3.13)). 1-30

Modulo II – Minimi quadrati β̂

Sempre tramite la (1.6.16) si calcola facilmente la matrice di dispersione di

′ ′ ′ ′ ′

~ ~

− −

β = β − β β − β = =

ˆ ˆ ˆ 1 1

Cov ( ) E [( )( ) ] E

[( X X ) X u u X ( X X ) ] (1.6.18)

′ ′ ′ ′

− − −

= σ = σ

1 2 1 2 1

( X X

) X ( I ) X ( X X ) ( X X )

n

dove si è impiegata la terza delle ipotesi (1.6.10).

1.18 - La matrice di dispersione (1.6.18), tenendo anche

Osservazione

conto dell’Osservazione 1.14 è formata nel modo seguente

β = β − β β − β =

ˆ ˆ ˆ

Cov ( ) E [( )( ) ]

 

β β β β β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Var ( ) Cov ( , ) ... Cov ( , )

 

1 1 2 1 k

β β β β β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 

Cov ( , ) Var ( ) ... Cov ( , )

= =

2 1 2 2 k

 

... ... ... ...

 

β β β β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 

 

Cov ( , ) Cov ( , ) ... Var (

b )

k 1 k 2 k

 

β − β β − β β − β β − β β − β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2

E [( ) ] E

[( )( )] ... E [( )( )]

 

1 1 1 1 2 2 1 1 k k

β − β β − β β − β β − β β − β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2

 

E [( )( )] E

[( ) ] ... E [( )( )]

= 2 2 1 1 2 2 2 2 k k

 

... ... ... ...

 

β − β β − β β − β β − β β − β

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 

2

 

E

[( )( )] E [( )( )] ... E [( ) ]

k k 1 1 k k 2 2 k k

dove si è sfruttato il risultato (1.6.17) per la notazione dei valori medi

β

ˆ .

E ( )

i 1-31

Modulo II – Minimi quadrati

1.7 La stima della varianza dei residui

Dalla (1.6.18) si nota che se la varianza dei residui è conosciuta, lo è anche la

β̂ σ

matrice di dispersione di ; altrimenti deve essere stimata tramite uno

2

stimatore che generalmente ha una delle due forme

n

1 ∑ ′

σ = =

2 2 (1.7.1)

ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u / n

t

n =

t 1

n

1 ∑ ′

σ = = −

2 2 (1.7.2)

ˆ ˆ ˆ

u u u /( n k )

− t

n k =

t 1

che discendono in maniera “naturale” dalla definizione di varianza. Il primo di

questi stimatori costituisce la ed è il secondo non lo

varianza campionaria distorto;

è, come si dimostra nel seguente teorema 1.1 che utilizza alcune proprietà della

di una matrice quadrata.

traccia

La radice quadrata della stima della varianza dei residui (1.7.2) è chiamata

’equazione (o .

errore standard dell della regressione)

22

Per la piena comprensione delle (1.7.1) e (1.7.2) considerate come stimatori è

necessario considerare che anche il vettore è aleatorio quando è espresso in

β̂

funzione dello stimatore tramite la (1.4.13). Dunque anche le posseggono la

û t

doppia fisionomia di stime e di stimatori dei residui.

La distorsione della varianza campionaria

Vale, dunque, il seguente

1.1 - (1.7.2)

Teorema Lo stimatore è non distorto.

Infatti, in virtù delle (1.4.13) e (1.4.10) si ha

′ ′ ′ ′

− −

= − β = − = β + − β + =

ˆ 1 1

u

ˆ y X y X ( X X ) X y X u X ( X X ) X ( X u ) (1.7.3)

′ ′ ′ ′

− −

= β + − β − = − =

1 1

X u X X

( X X

) X u [

I X ( X X ) X ]

u Mu

n

dove si è posto = − ′ ′

( ) (1.7.4)

-1

M I X X X X

n

matrice quadrata di ordine . La è simmetrica, come il lettore verifica

n M =

facilmente, e idempotente, cioè tale che ; infatti

MM M

In inglese: (SEE) oppure

Standard Error of the Equation Standard Error of the

22 (SER).

Regression 1-32

Modulo II – Minimi quadrati

=[ − ′ ′][ − ′ ′]=

( ) ( )

- 1 -1

MM I X X X X I X X X X

n n (1.7.5)

= − ′ ′− ′ ′+ ′ ′ ′ ′ =

( ) ( ) ( ) ( )

-1 -1 -1 - 1

I X X X X X X X X X X X X X X X X

n

= − ′ ′=

( ) -1

I X X X X M

n

(si veda anche il paragrafo XIX -1.11)

Allora, adoperando questa proprietà della e la (1.7.3) si ha

M

′ˆ ′ ′ ′ ′

= = = (1.7.6)

ˆ

u u u M Mu u MMu u Mu

per cui, sfruttando i risultati (1.10.1)-(1.10.3) del modulo XIX,

[ ] [ ]

( ) ( )

′ ′ ′ ′

~ ~ ~ ~ ~ ~

= = = = σ =

2

ˆ ˆ

E (

u u ) E (

u M

u ) E tr u M

u E tr M u u tr

M

{ }

′ ′ ′ ′

− −

= σ − = σ − = (1.7.7)

2 1 2 1

tr

[ I X ( X X ) X ] tr

I tr

[ X ( X X ) X ]

n n

{ }

′ ′

= σ − = σ − = σ −

2 1 2 2

n tr

[( X X

) X X

] ( n tr

I ) ( n k )

k

essendo una matrice quadrata di ordine . Dunque

X X k

σ = − = σ

2 2

E ( ) E (

u

ˆ u

ˆ ) /( n k )

e lo stimatore (1.7.2) è non distorto.

Il denominatore nella (1.7.2) definisce il del

numero dei gradi di libertà

23

n k

modello lineare (1.3.4) . 1.19 – È utile studiare la dimostrazione del teorema 1.1 in

Osservazione

primo luogo perché costituisce una semplice esercitazione di calcolo

matriciale; inoltre è un esempio di come in molte dimostrazioni di

statistica matematica si usi la tecnica di eseguire dapprima dei passaggi

matriciali [la (1.7.3)] e di effettuare poi operazioni stocastiche che

utilizzano le espressioni trovate [la (1.7.7)]. Questa stessa tecnica è

β̂

stata usata più sopra per mostrare la correttezza dello stimatore . Nel

teorema 1.1 si definisce inoltre la matrice e si sfrutta l’operatore

M

traccia, la proprietà di simmetria e quella definita dalla (1.7.5),

chiamata sono definizioni e proprietà che ritroveremo di

idempotenza;

frequente nel seguito. Si noti, infine che dato dalla (1.7.3) è una

di , tramite .

trasformazione lineare u M

Per mezzo del teorema 1.1 si calcola facilmente la distorsione della varianza

campionaria (1.7.1); infatti

In lingua inglese: (DF).

number of Degrees of Freedom

23 1-33

Modulo II – Minimi quadrati

 

n k k

σ = σ − σ = σ − σ = σ

 

2 2 2 2 2 2 (1.7.8)

ˆ ˆ

Dist ( ) E ( ) E  

n n

→ ∞

che tende a zero per ; lo stimatore varianza campionaria è detto allora

n e non si differenzia molto da quello non distorto (1.7.2)

asintoticamente non distorto

se è grande rispetto a .

n k β̂

Come già accennato, una stima della matrice di dispersione (1.6.18) di è

σ̂ σ

σ

ottenuta sostituendo al una sua stima, ad esempio o date dalle (1.7.1) e

2 2

2

(1.7.2), dalle quali si nota che le stime delle varianze e delle covarianze dei

parametri di regressione sono, , tanto meno disperse quanto più

ceteris paribus

grandi sono i valori o . Di fondamentale importanza, quindi, per avere stime

-

n n k

precise (con varianze piccole) e poco correlate tra loro (con covarianze piccole) è che

o la differenza siano sufficientemente grandi.

-

n n k

Questa indicazione, tuttavia, è di carattere statistico. Da un punto di vista

economico, invece, l’ingrandimento di , cioè dell’ampiezza del campione, può

n

comportare la violazione del principio di omogeneità della struttura dell’economia

del periodo campionario, necessaria affinché la componente sistematica del modello

(1.6.10) possa rappresentare tale struttura in modo adeguato. Per determinare (o

n

) è allora necessario trovare un compromesso tra un valore abbastanza grande

-

n k β

per avere stime delle varianze e covarianze dei parametri precise, ed uno

i

sufficientemente piccolo in modo tale che la struttura dell’economia non si

modifichi troppo nel periodo campionario. 1-34

Modulo II – Minimi quadrati

1.8 Il teorema di Gauss-Markov e gli stimatori BLU

Si è detto nel paragrafo 1.6 che la non distorsione è una buona proprietà per gli

β̂

stimatori; tra quelli lineari rispetto alle lo stimatore dei minimi quadrati non

y

t

soltanto gode di questa proprietà ma possiede variabilità minima nel senso del

teorema di Gauss-Markov che enunciamo e dimostriamo nel prosieguo, facendo uso

dell’espressione matriciale della varianza di una combinazione lineare con pesi

~ ~ ~ ~

=

= [ … ]′ delle variabili raccolte nel vettore aleatorio

c c c c z [ z z ... z ]

1 2 k 1 2 k

 

n k k

∑ ∑ ∑

′ ′

~ ~ ~ ~

=   = = (1.8.1)

Var (

c z ) Var c z c c Cov ( z z ) c Cov ( z )

c

i i i j i j

 

= = =

i 1 i 1 j 1

La (1.8.1) discende dal teorema sui momenti di una combinazione lineare di

variabili aleatorie enunciato dalla XXI-(2.3.13).

Vale dunque il ~

1.2 (di -

Teorema Gauss-Markov) Nella classe degli stimatori lineari rispetto alle y t

~

β̂ β

e non distorti, se è lo stimatore dei minimi quadrati definito dalla (1.6.16) e è

un qualsiasi altro stimatore, si ha ~

β ≤ ′ β (1.8.2)

ˆ

Var (

c ) Var (

c )

= [c … ]′

dove c c è un qualsiasi vettore di costanti reali non tutte nulle.

c 1 2 k

~ ~

~

β β

Poiché è uno stimatore lineare rispetto alle la sua combinazione lineare

y c′

t

~ =

può essere espressa come funzione lineare delle mediante i pesi [ … ]′

y h h h h

1 2 n

t

~ ~

′β = ′ (1.8.3)

c h y

per cui si ha, sfruttando la (1.6.14), ~

~ ~

′ β = ′ = ′ = ′ β = ′ β (1.8.4)

h X h E ( y ) E (

h y ) E ( c ) c ~

β

dove nell’ultimo passaggio è stata sfruttata la non distorsione di . Segue che

′ ′

= , per cui, in virtù delle (1.8.2), (1.6.18) e (1.8.4)

h X c − −

β = ′ β = σ ′ ′ = σ ′ ′ ′

ˆ ˆ 2 1 2 1

Var (

c ) c Cov ( ) c c ( X X

) c h X ( X X ) X h

D’altro canto dalla (1.6.15), ed ancora considerando la (1.8.2), si ha

~ ~ ~

′ β = ′ = ′ = σ ′

2

Var (

c ) Var ( h y ) h Cov ( y )

h h h

per cui la tesi è dimostrata se si dimostra che

~ (1.8.5)

′ ′ ′ ′ ′ ′

≤ β − β = σ − =

ˆ 2 1

0 Var ( c ) Var (

c ) [

h h h X ( X X ) X h ]

′ ′ ′ ′

= σ − = σ

2 1 2

h [

I X

( X X

) X ]

h h Mh

n 1-35

Modulo II – Minimi quadrati

dove è la matrice quadrata (1.7.4). Ma la matrice , essendo simmetrica e

M M

idempotente, è semidefinita positiva per il teorema XIX-1.12 e quindi vale la

σ

(1.8.5), essendo sempre non negativo.

2

Gli stimatori a varianza minima nel senso del teorema di Gauss-Markov sono

detti sinteticamente essi sono chiamati BLU, dalle iniziali dei termini

ottimi;

inglesi (ottimi), (lineari), (non distorti).

Best Linear Unbiased

L’uso della stima dei minimi quadrati è stato in precedenza giustificato sulla

base dell’interpretazione del relativo criterio, fornita nel paragrafo 1.2. Da un

punto di vista stocastico, l’uso dello stimatore (e quindi della stima) dei minimi

quadrati è motivato proprio dal fatto di essere BLU.

1.20 Il teorema di Gauss-Markov può essere dimostrato

Osservazione -

anche sotto ipotesi meno restrittive di quelle sopra utilizzate, in altre

parole le (1.4.8) e (1.6.10). Ad esempio, se si suppone che il rango di X

sia inferiore a non esiste lo stimatore unico (1.6.16) dei minimi

k

quadrati, ma il teorema di Gauss-Markov può ancora essere dimostrato

in virtù delle sole equazioni normali (1.4.8) che, ovviamente, continuano

a sussistere. 1-36

Modulo II – Minimi quadrati

1.9 La matrice di correlazione degli stimatori dei

parametri di regressione

Nelle applicazioni, piuttosto della matrice di dispersione (1.6.18), è più utile

β̂

considerare la matrice delle correlazioni di , che indica come gli stimatori dei

parametri di regressione siano correlati tra di loro. Questo perché le covarianze,

così come le varianze, risentono dell’unità di misura delle variabili ed è quindi

difficile valutare se una covarianza sia rilevante o trascurabile. I coefficienti di

correlazione sono invece normalizzati fra –1 e 1 per cui l’individuazione di quelli

più elevati (cioè più prossimi in valore assoluto all’unità) è immediata.

Tale matrice è data dalla (1.9.1)

− − − − − − − − − − − −

β = σ β σ = σ σ ′ σ = ′

ˆ ˆ

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

Corr ( ) D Cov ( ) D D [ ( X X

) ]

D D [( X X

) ]

D

dove è la matrice diagonale i cui elementi nonnulli sono le radici quadrate

a

D ii

aritmetiche degli elementi diagonali di ( ) .

-1

X X =2,

1.9 - Supponiamo che sia, con

Esempio k

 

2 2

a a

β = σ = σ

ˆ 2 1 2 11 12

 

Cov ( ) ( X X

) 2 2

 

a a

21 22

per cui  

a 0

σ = σ 11

 

D  0 a 22

Poiché l’inversa di una matrice diagonale è una matrice che ha per

A

elementi diagonali gli inversi degli elementi diagonali di , si ha

A

 

   

2 2

1 / a 0 1 / a 0

a a

− −

β = σ σ σ =

ˆ 11 11

1 2 11 12 1

 

   

Corr ( ) 2 222

 

0 1 / a 0 1 / a

a a

22 22

21 (1.9.2)

   

  2 2

1 / a 0 a a / a 1 a / a a

= =

11 11 12 22 12 11 22

   

  2 2

 0 1 / a   

a / a a a / a a 1

22 21 11 22 21 11 22

matrice che contiene, al di fuori della diagonale principale, i coefficienti

di correlazione tra le coppie di stimatori dei minimi quadrati dei

β.

parametri 1-37

Modulo II – Minimi quadrati

1.21 - Il coefficiente di correlazione lineare tra le due

Osservazione β̂ β̂

variabili aleatorie e è dato da

1 2

β β σ

ˆ ˆ 2 2

Cov ( , ) a

ρ β β = = =

ˆ ˆ 2

1 2 12 (1.9.3)

( , ) a / a a

σ ⋅ σ

1 2 12 11 22

β ⋅ β

ˆ ˆ 2 2 2 2 1 / 2

1 / 2 [ a a ]

[

Var ( ) Var ( )] 11 22

1 2

che si ritrova nei due elementi della (1.9.2) fuori della diagonale

principale, uguali poiché la matrice di dispersione è simmetrica. Si noti,

altresì, come la struttura del coefficiente di correlazione (1.9.3) sia

simile a quella della matrice di correlazione (1.9.1), con la matrice delle

varianze e delle covarianze “divisa” per le radici quadrate aritmetiche

delle varianze degli stimatori dei parametri disposte lungo la diagonale

σ

della matrice .

D

1.22 - Generalizzando il caso definito dalla (1.9.3) si

Osservazione β̂ β̂

ottiene che il coefficiente di correlazione tra due stimatori e è dato

i j

dall’elemento della matrice ( ) diviso per il prodotto dei due

a a

2 -1

a X X ii jj

ij

elementi diagonali di posto e della matrice , come anche indicato

i j D

nella (1.9.1). β̂ β̂

In generale, se la correlazione fra e è elevata ciò significa che a

i j

β

β̂

scostamenti di dalla propria media saranno associati scostamenti (positivi o

i i

ρ( β

β̂ β̂ β̂

negativi, a seconda del segno di di dalla propria media . Dato che,

, ))

i j j j

come abbiamo appena ricordato, le medie delle stime dei parametri coincidono con i

valori veri degli stessi (per la proprietà di non distorsione), correlazioni elevate

implicano che errori nella stima di un parametro tenderanno ad essere associati a

errori nella stima degli altri parametri. In questo senso quindi l’incorrelazione delle

stime contribuisce alla robustezza del modello, poiché garantisce che errori

β

accidentali compiuti nella stima di uno dei non si propaghino alle stime degli

i

altri coefficienti. 1-38

Modulo II – Minimi quadrati

1.10 La stima dei minimi quadrati di una funzione delle

importazioni

Stimiamo con il criterio dei minimi quadrati ordinari la seguente funzione delle

importazioni per l’Italia

= β β β β β

+ + + + + (1.10.1)

lny lnx lnx lnx lnx u

1 2 1 3 2 4 3 5 4

t t t t t t

dove

importazioni di beni e servizi,

y =

t consumi finali interni delle famiglie + consumi collettivi,

x =

1

t investimenti fissi lordi + esportazioni di beni e servizi + variazioni delle scorte,

x =

2

t deflatore implicito delle importazioni,

x =

3

t deflatore implicito del prodotto interno lordo

x =

4

t β β β β

per cui >0, >0, <0, >0.

2 3 4 5

La funzione delle importazioni

Italia 1970-1989

40000 110000

100000

35000 90000

30000 80000

70000

25000 60000

20000 50000

40000

15000 30000

10000 20000

1970:1 1973:1 1976:1 1979:1 1982:1 1985:1 1988:1

y x1 x2

Figura 1.3 – La funzione delle importazioni in Italia, dati trimestrali grezzi a prezzi 1980

sul campione 1970:1-1989:4; y sono le importazioni di beni e servizi (scala di sinistra), x è la

1

somma dei consumi finali interni delle famiglie e collettivi (scala di destra) e x è la somma

2

di investimenti fissi lordi, esportazioni di beni e servizi e variazioni delle scorte (scala di

destra); si veda la (1.10.1).

La (1.10.1) differisce dalle funzioni standard delle importazioni in quanto:

(i) considera separatamente due componenti della domanda aggregata, e

1-39

Modulo II – Minimi quadrati

(ii) considera separatamente i prezzi dei beni importati e di quelli prodotti

internamente, cioè non impone l’ipotesi che la domanda di beni importati

dipenda dal loro prezzo relativo.

La prima caratteristica è motivata dal fatto che si può ipotizzare che la

domanda di beni importati reagisca con diverse elasticità alla domanda per

consumi e a quella per investimenti. La seconda è motivata dal fatto che inserire

nella funzione di domanda i prezzi relativi significa di fatto imporre un vincolo sui

parametri dell’equazione. Vedremo più avanti, nel corso di questo capitolo, come

può essere formulato questo vincolo, mentre nel prossimo capitolo studieremo i

metodi statistici che permettono di verificare se esso sia o meno respinto dai dati

campionari. Valori storici e stimati delle importazioni

Italia 1970-1989

10.6

10.4

10.2

10

9.8

9.6

9.4

1970.1 1973.1 1976.1 1979.1 1982.1 1985.1 1988.1

y stime

Figura 1.4 – I valori storici delle importazioni e quelli stimati con l’equazione (1.10.2).

Per stimare la (1.10.1) utilizziamo dati trimestrali nel periodo campionario che

va dal primo trimestre del 1970 al quarto del 1989 (1970:1 – 1989:4), grezzi (cioè

non depurati delle stagionalità), a prezzi 1980 e di fonte ISTAT (1989).

Le serie , e sono rappresentate nella figura 1.3. Si vede facilmente

24

y x x

1 2

t t t

come la serie dei consumi abbia un andamento più livellato di quelle delle altre

x 1t

componenti del prodotto. È questo un fatto stilizzato che abbiamo già incontrato nel

capitolo I-2 (si vedano ad esempio le figure I-2.1 e I-2.4 e i relativi commenti) e che

Le serie storiche impiegate in questo esempio possono essere scaricate dalla home page

24

della nel sito Internet http://econometria.net.

Traccia 1-40

Modulo II – Minimi quadrati

ha motivato diverse teorie economiche, fra le quali l’ipotesi del reddito relativo di

Duesenberry (esposta nel paragrafo I-2.2) e la teoria del ciclo di vita di Ando-

Modigliani (nota dai testi di macroeconomia). Nel presente contesto ciò comporta

che i consumi da soli possono spiegare in parte la tendenza della variabile

dipendente, ma non le sue oscillazioni cicliche, per tener conto delle quali diventa

determinante il contributo della serie .

25

x 2t

L’equazione stimata è:

= −6.023 −

+ 0.572 + 0.900 0.164 + 0.104 +

lny lnx lnx lnx lnx û

1 2 3 4 (1.10.2)

t

t t t t t

=

= = =

0.984, , RSS 0.0633, SEE 0.029

2

2

R R 0 . 983

c

dove è la serie storica dei residui stimati, definiti dalla (1.4.2) come differenza

û t

fra la serie dei valori storici e di quelli stimati della variabile dipendente (si veda la

figura 1.4) e rappresentati nella figura 1.5; RSS è la devianza (minima) dei residui

β̂

stimati, cioè la SEE è l’errore standard dell’equazione, cioè la radice

ˆ ˆ

u u

S( ) = ;

quadrata della (1.7.2), determinato con un numero di gradi di libertà pari a

− = 75.

n k Residui stimati dell'equazione delle importazioni

Italia 1970-1989

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08

1970.1 1973.1 1976.1 1979.1 1982.1 1985.1 1988.1

^

u

Figura 1.5 – Il grafico dei residui dell’equazione (1.10.2).

La figura 1.4 mostra che l’accostamento fra valori storici e stimati è buono. Di

conseguenza i due coefficienti di determinazione, calcolati mediante le variabili

scarto (cioè centrati e quindi non influenzati dal termine noto), posseggono valori

Un’osservazione più attenta mostra che anche le ciclicità stagionali di importazioni e

25

consumi differiscono, presentando una diversa conformazione di picchi. 1-41

Modulo II – Minimi quadrati

alti. Questo risultato va però considerato con cautela perché potrebbe dipendere

dalla presenza di tendenza nelle variabili dell’equazione.

Un buon accostamento fra valori storici e stimati significa residui “piccoli”. Il

grafico dei residui 1.4 mette però in luce che i residui, pur essendo relativamente

piccoli, potrebbero non rispettare le ipotesi stocastiche deboli (1.6.10). Si vede

infatti distintamente che fino a tutto il 1977 i residui presentano una variabilità

maggiore rispetto a quella mostrata nel periodo successivo (dal 1978 al 1989). Si

noti che il grafico 1.4 rappresenta i residui mentre le ipotesi stocastiche si

stimati

riferiscono ai residui Tuttavia, nella misura in cui i residui stimati possono

teorici.

essere interpretati come una buona approssimazione di quelli teorici, la figura 1.5

suggerisce che nella (1.10.2) viene a cadere l’ipotesi di omoschedasticità implicita

nella terza delle (1.6.10). Un’analisi più accurata mostra che in certi periodi i

residui tendono a seguire un ciclo stagionale (cioè di periodo quattro). Questo fatto

contrasta con l’ipotesi di non autocorrelazione (anch’essa implicata dalla terza delle

(1.6.10)), dato che in presenza di simili cicli ogni valore dei residui stimati è

positivamente correlato con quelli precedenti e seguenti a distanza di multipli

interi di quattro trimestri.

26

L’inversa della matrice dei momenti è data dalla

 

1126 . 194

 

− 89 . 272 8 . 727

  (1.10.3)

′  

− = − −

1

( X X

) 11 . 938 0 . 786 1 . 945

 

− 3 . 425 0 . 189 0 . 129 0 . 442

 

 

− − −

 

27 . 674 2 . 151 0 . 344 0 . 525 1 . 151

nella quale sono omessi gli elementi simmetrici, e dalla quale è semplice

determinare la matrice di correlazione degli stimatori dei parametri di regressione

definita dalla (1.9.1): la matrice diagonale è data da

D

= < >

33.559 2.954. 1.395 0.665 1.073

D

per cui la matrice di correlazione è

Ribadiamo che il grafico 1.4 rappresenta i residui stimati, non quelli teorici (non

26

osservabili). Le condizioni che giustificano l’uso dei residui stimati per analizzare le

proprietà dei residui teorici verranno descritte in modo più puntuale nei capitoli successivi.

1-42

Modulo II – Minimi quadrati

 

1

 

− 0 . 900 1

 

 

= − −

ˆ

Corr (β ) 0 . 255 0 . 191 1 (1.10.4)

 

− 0 . 153 0 . 096 0 . 139 1

 

 

− − −

 

0 . 769 0 . 679 0 . 230 0 . 736 1

nella quale si nota come i coefficienti di correlazione più alti in valore assoluto

β̂ β̂

riguardino la coppia ( , ), con correlazione –0.9, e quelle formate dal

1 2

β̂ β̂ β̂ β̂

parametro con , , e , pari rispettivamente a 0.77, -0.74 e –0.68; gli altri

5 1 4 2

valori della matrice sono bassi. 1-43

Modulo II – Minimi quadrati

1.11 Il criterio dei minimi quadrati vincolati

In molte equazioni econometriche è necessario stimare i parametri

subordinatamente al fatto che essi soddisfino una o più relazioni lineari. La

funzione di produzione del tipo Cobb-Douglas (I-2.4.5), ad esempio, che

logaritmizzata e completata con il residuo stocastico diventa

= γ α β

+ + +

l k (1.11.1)

lnx ln ln ln u

deve essere stimata subordinatamente al vincolo tra i parametri

α + β = 1 (1.11.2)

che corrisponde all’ipotesi di omogeneità di grado uno della rispetto alle variabili

x

esplicative, ipotesi che dal punti di vista economico esprime quella di rendimenti

27

di scala costanti.

Un secondo esempio riguarda la funzione delle importazioni (1.10.1) nella quale

si può imporre il vincolo che le elasticità delle importazioni rispetto ai consumi ed

agli investimenti siano uguali β = β (1.11.3)

2 3

oppure si può imporre la condizione di omogeneità di grado zero di rispetto ai due

y

deflatori, che vale

28 β + β = 0 (1.11.4)

4 5

Dal punto di vista economico quest’ultima ipotesi corrisponde alla nota ipotesi di

teoria della domanda secondo la quale le funzioni di domanda dipendono dai prezzi

relativi dei beni.

Un semplice modo di trattare questi problemi di stime vincolate riposa

nell’inserimento del vincolo nella stessa equazione da stimare: nel caso della

(1.11.1) si ha = γ α

+ + (1−α) +

l k

lnx ln ln ln u

Una funzione = ( , ) di due variabili e è omogenea di grado rispetto a queste

y f x x x x r

27 1 2 1 2

λx λx λ

se accade che ( , ) = ( , ) per ogni punto ( , ) e ogni valore della costante

f f x x x x

r

1 2 1 2 1 2

λ.

reale La generalizzazione al caso di più variabili esplicative è immediata. Per la (1.11.1)

si ha α+β α β

λl, λk γλ

( ) =

f l k α+β

che comporta la condizione di omogeneità di grado uno se = 1.

Infatti in questo caso, ricordando quanto riportato nella nota precedente,

28 λx λx

( , , , ) = (β +β ) lnλ + ( , , , )

f x x f x x x x

1 2 3 4 4 5 1 2 3 4 1-44

Modulo II – Minimi quadrati

che nella stima diventa = β + β + (1.11.5)

z

y u

1 2

= = β = γ, β = α.

con ( / ), (l / ),

z

y ln x k ln k ln

1 2

Nel caso della funzione delle importazioni, d’altro canto, la (1.10.1) subordinata

al vincolo (1.11.3) diventa

= β + β + β β +

( ) + (1.11.6)

ln y ln x x ln x ln x u

1 2 1 2 4 3 5 4

che può essere stimata, ad esempio, con il criterio dei minimi quadrati ordinari

sostituendo alle due variabili esplicative distinte ed l’altra variabile

x x

1 2

consistente nel loro prodotto.

Infine, se nella (1.10.1) si vogliono inserire contemporaneamente i vincoli

(1.11.3) e (1.11.4) si ottiene x

= β + β + β +

( ) u

3 (1.11.7)

ln y ln x x ln

1 2 1 2 5 x

4 = =(

che possiede due variabili esplicative soltanto, la ( ) e la / ), che

z z

x x x x

1 1 2 2 3 4

rappresenta il prezzo relativo delle importazioni, calcolato come rapporto tra il

deflatore implicito delle importazioni di beni e servizi ed il deflatore implicito del

PIL.

La stima dei minimi quadrati vincolati

In generale l’equazione (1.3.4) può essere stimata con il criterio dei minimi

quadrati subordinatamente al soddisfacimento di vincoli lineari sui parametri,

q k

che possono essere scritti nella forma matriciale seguente

 

 

b r

1 1

 

 

 

r r ... r r

b  

 

11 12 1 k 2

2

   

 

r r ... r ...

...

  (1.11.8)

=

21 22 2 k  

 

   

... ... ... ... ...

 

...

   

 

 

r r ... r ...

  ...  

 

q

1 q 2 qk    

  r

 

b q

k

resa più compatta nell’altra β = (1.11.9)

R r

× ≤

dove è una matrice di ordine , con , ed è un vettore di dimensione .

R q k q k r q

Si può inoltre supporre che il rango di sia poiché altrimenti una o più righe

R q

di sarebbero combinazioni lineari delle altre e le equazioni (1.11.8) non sarebbero

R 1-45

Modulo II – Minimi quadrati

linearmente indipendenti (cioè ci sarebbero almeno due vincoli equivalenti), come

si può dimostrare nell’algebra delle matrici.

Il vincolo (1.11.2) per il modello (1.11.1) rappresenta una sola delle equazioni

del sistema (1.11.9) che diventa γ

 

ln

 

[ ] α = (1.11.10)

0 1 1 1

 

 

β

 

con matrice formata dal solo vettore riga [0 1 1] ed vettore costituito dal solo

R r

scalare 1. Anche il vincolo (1.11.3) per il modello (1.10.1) rappresenta una sola delle

equazioni (1.11.8), che è β

 

1

 

β

 

2 (1.11.11)

[ ]  

− β =

0 1 1 0 0 0

3

 

β

 

4

 

β

 

5 −1

con matrice formata dal solo vettore riga [0 1 0 0] ed vettore costituito dal

R r

solo scalare 0.

Se le due condizioni (1.11.3) e (1.11.4) sono imposte simultaneamente sulla

(1.10.1), il sistema (1.11.8) diventa β

 

1

 

β

 

   

2 (1.11.12)

0 1 1 0 0 0

 

β =

   

3

 

   

0 0 0 1 1 0

β

 

4

 

β

 

5

con matrice 2×5 ed vettore bidimensionale.

R r

Nei tre esempi precedenti la stima dei parametri delle equazioni subordinata al

valore dei vincoli è stata trasformata in una stima non vincolata di altre equazioni i

cui parametri tenevano conto dei vincoli stessi. È tuttavia possibile stimare con il

criterio dei minimi quadrati direttamente le equazioni originali, del tipo lineare

(1.3.4), sotto i vincoli lineari rappresentati dal sistema (1.11.8); dal punto di vista

q

matematico si tratta di effettuare la minimizzazione (1.4.3) sotto la condizione

(1.11.8). A questo scopo si costruisce la funzione lagrangiana

− β)′( − β)− ′( β− − β)′( − β)−β′ ′ + ′

(β, )=( )=( (1.11.13)

S m y X y X m R r y X y X R m m r 1-46

Modulo II – Minimi quadrati

ottenuta combinando linearmente la somma dei quadrati (1.4.5) e il primo membro

del vincolo (1.11.9) con il vettore portato a sinistra, tramite il vettore

r

= [ , …, ]′ dei pesi, detti La minimizzazione

moltiplicatori di Lagrange.

m m m m

1 2 , q

vincolata può avvenire ora con la procedura dei minimi liberi applicata alla

(1.11.13). Seguendo quanto esposto nel paragrafo 1.4, notiamo che le condizioni del

primo ordine per minimizzare la (1.11.13) impongono che le derivate parziali prime

siano nulle, per cui, ricordando la (1.4.7)

∂ β

 S ( , m ) ′ ′ ′

= − + β − =

2 X y 2

X X R m 0

 ∂ β

 ∂ β

 S ( , m ) = − β + =

R r 0

 ∂

m

Dalla prima si ottiene (1.11.14)

1 1

′ ′ ′ ′ ′ ′

− − −

β = + = β +

ˆ

1 1 1

( X X ) R m ( X X ) X y ( X X ) R m

2 2

β̂

dove si è fatto uso della stima , e dalla seconda, sostituendovi la (1.11.14),

1 ′ ′

−1

β̂ + =

R R ( X X ) R m r

2

cioè (1.11.15)

1 = − β̂

Um r R

2

dove si è posto ′ ′

−1

= (1.11.16)

U R ( X X

) R

Sfruttando ora il teorema XIX-1.9, se ( ) è una matrice definita positiva - e lo è

-1

X X

-1

perché esiste ( ) - è definita positiva e quindi non singolare anche la matrice

X X U

× ≤

data dalla (1.11.16), con di ordine , , purché ) , per cui si ottiene

r(

R q k q k R = q

dalla (1.11.15) −

= − β (1.11.17)

ˆ

1

m 2 U (

r R )

Sostituendo nella (1.11.14) si ottiene che

la stima dei minimi quadrati vincolati,

m

β

chiamiamo 0 ′ ′

− −

β = β + − β

ˆ ˆ (1.11.18)

1 1

( X X ) R U (

r R )

0

Lo stimatore dei minimi quadrati vincolati è non distorto; infatti,

~ ′ ′ ′ ′

− − − −

β = β + − β = β + − β = β

ˆ ˆ (1.11.19)

1 1 1 1

E ( ) E ( ) E

[( X X ) R U (

r R )] ( X X ) R U (

r R )

0 1-47

Modulo II – Minimi quadrati

β̂

in virtù della non distorsione di e della sussistenza del vincolo (1.11.9). Inoltre la

~

β

matrice di dispersione di è, per la (1.11.19),

0

~ ~ ~ ′

β = β − β β − β =

Cov ( ) E [( )( ) ]

0 0 0

{ }

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

~ ~

− − − − − −

= − − = (1.11.20)

1 1 1 1 1 1

E [ I ( X X ) R U R ]( X X ) X u u X ( X X ) [ I R U R ( X X ) ]

k k

′ ′ ′ ′ ′

− − − − −

= σ − − =

2 1 1 1 1 1

[ I ( X X

) R U R ]( X X

) [

I R U R ( X X

) ]

k k

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− − − − − − −

= σ − = σ −

2 1 1 1 1 2 1 1 1

[( X X

) ( X X ) R U R ( X X ) ] [ I ( X X

) R U R ]( X X

)

k

Le stime dei minimi quadrati vincolati per una funzione delle importazioni

Stimiamo con il criterio dei minimi quadrati l’equazione delle importazioni (1.10.1)

sotto il vincolo (1.11.3) delle elasticità uguali. Volendo utilizzare la stima (1.11.18)

si osserva che la matrice vale

R = −1

[0 1 0 0]

R

come anche indicato nella (1.11.11) per cui

 

6 . 023

 

0 . 572

 

 

β = − = −

ˆ

R [

0 1 1 0 0 ] 0 . 900 0 . 328

 

− 0 . 164

 

 

 

0 . 104

β̂

dove è la stima dei minimi quadrati ordinari riportata nella (1.10.2). Inoltre,

facendo uso della matrice (1.10.3) si ha

′ ′] = =

[ ( ) 0.0817

-1 -1 -1 (1.11.21)

R X X R U

per cui −

′ − β = − ′

ˆ

1

R U ( r R ) [ 0 0 . 0268 0 . 0268 0 0 ]

=

essendo Infine, si calcola, in virtù della (1.11.18),

r 0. − −

     

6 . 023 0.0000 8 . 095

     

0 . 572 0.0268 0 . 827

     

  ′    

β = + − =

1

0 . 900 ( X X ) 0.0268 0 . 827

0      

− −

0 . 164 0.0000 0 . 162

     

     

     

0 . 104 0.0000 0 . 056

che si può ritrovare stimando la (1.10.1) con il vincolo inserito e con i minimi

quadrati ordinari 1-48

Modulo II – Minimi quadrati

= −8.095 −

+ 0.827( + ) 0.162 + 0.056 +

lny lnx lnx lnx lnx û

1 2 3 4 t

t t t t t (1.11.22)

=

= = =

0.982, , 0.0721, SEE 0.030

2

2

R RSS

R 0 . 981

c

La devianza residua (RSS) nell’equazione vincolata è ovviamente maggiore di

quella dell’equazione stimata senza vincoli ma l’errore standard (SEE) nelle due

equazioni è molto simile poiché nell’equazione (1.11.22) esso è calcolato con un

−4 =

numero maggiore di grado di libertà: 76.

n

Per determinare la matrice di correlazione degli stimatori dei parametri

vincolati possiamo far uso della (1.11.20), per calcolare la quale notiamo che è lo

-1

U

scalare dato dalla (1.11.21), che la matrice è quella calcolata nell’esempio (XIX -

R R

1.6) e che −

 

0 6 . 316 6 . 316 0 0

 

0 0 . 777 0 . 777 0 0

 

′ ′  

− − = −

1 1

( X X

) R U R 0 0 . 223 0 . 223 0 0

 

0 0 . 005 0 . 005 0 0

 

 

 

0 0 . 148 0 . 148 0 0

per cui  

637 . 76

 

− 29 . 19 1 . 34

 

′ ′ ′  

− − −

− = −

1 1 1

[ I ( X X

) R U R ]( X X ) 29 . 19 1 . 34 1 . 34

5  

− 3 . 05 0 . 14 0 . 14 0 . 44

 

 

− − −

 

16 . 26 0 . 75 0 . 75 0 . 52 0 . 88

nella quale sono omessi gli elementi simmetrici.

La matrice diagonale vale, in questo caso,

D

= < >

25.254 1.156 1.156 0.665 0.940

D

per cui la matrice di correlazione è

 

1

 

− 1 1

 

~  

β = −

Corr ( ) 1 1 1

0  

− 0 . 182 0 . 182 0 . 182 1

 

 

− − −

 

0 . 685 0 . 690 0 . 690 0 . 832 1

β β

In questa si verifica che, poiché ,

=

02 03 1-49

Modulo II – Minimi quadrati

ρ = ρ ρ = ρ = ρ ρ = ρ

, 1, ,

21 31 32 42 43 52 53

Il vincolo di omogeneità di grado zero sui prezzi

Determiniamo ora le stime dei minimi quadrati dei parametri dell’equazione

(1.10.1) sotto il vincolo (1.11.4) dell’omogeneità di grado zero rispetto ai due

deflatori impliciti delle importazioni e del PIL. L’inversa della matrice dei momenti

è ancora fornita dalla (1.10.3), mentre la matrice del vincolo vale

R

= [0 0 0 1 1]

R

per cui −

 

6 . 023

 

0 . 572

 

 

β = = −

ˆ

R [

0 0 0 1 1

] 0 . 900 0 . 060

 

− 0 . 164

 

 

 

0 . 104

′ ′

− − −

= =

1 1 1

[ R ( X X

) R ] U 1 . 8416

′ − β = ′

ˆ

1

R U ( r R ) [ 0 0 0 0 . 1105 0 . 1105 ]

Infine si calcola − −

     

6 . 023 0.0000 3 . 344

     

0 . 572 0.0000 0 . 355

     

  ′    

β = + =

1

0 . 900 ( X X ) 0.0000 0 . 876

0      

− −

0 . 164 0.1105 0 . 173

     

     

     

0 . 104 0.1105 0 . 173

che può essere ritrovata stimando la (1.10.1) con il vincolo inserito e con i minimi

quadrati ordinari

= −3.344 − −

+ 0.355 + 0.876 0.173( ) +

x x

lny lnx lnx ln ln û

1 2 3 4 (1.11.23)

t

t t t t t

=

= = =

0.982, , RSS 0.0699, SEE 0.030

2

2

R R 0 . 982

c

In questo caso il vincolo produce una devianza residua leggermente inferiore a

quella dell’equazione (1.11.22), ma sempre maggiore di quella dell’equazione non

vincolata (1.10.2).

Il doppio vincolo dell’uguaglianza delle elasticità e dell’omogeneità sui prezzi

Infine, calcoliamo le stime dei minimi quadrati dei parametri della (1.10.1) sotto i

due vincoli delle elasticità uguali (1.11.3) e dell’omogeneità di grado zero rispetto ai

1-50

Modulo II – Minimi quadrati

due deflatori (1.11.4). L’inversa della matrice dei momenti è la stessa (1.10.3),

mentre la matrice dei due vincoli, data dalla (1.11.12), vale

R −

 

0 1 1 0 0

=  

R  

0 0 0 1 1

per cui −

 

6 . 023

 

0 . 572

 

− −

   

0 1 1 0 0 0 . 328

 

β̂ = =

   

R 0 . 900 −

 

   

0 0 0 1 1 0 . 060

− 0 . 164

 

 

 

0 . 104

− 1

   

12 . 244 1 . 747 0.1510 0 . 4857

′ ′

− − = =

1 1    

[ R ( X X ) R ] −

  

1 . 747 0 . 543 0 . 4857 3 . 4044

′ − β = − ′

ˆ

1

R U ( r R ) [ 0 0 . 079 0 . 079 0 . 363 0 . 363 ]

Infine si calcola − −

     

6 . 023 0 .

0000 3 . 292

     

0 . 572 0 .

0787 0 . 607

     

  ′    

β = + − =

1

0 . 900 ( X X ) 0 .

0787 0 . 607

0      

− −

0 . 164 0 .

3636 0 . 189

     

     

     

0 . 104 0 .

3636 0 . 189

i cui elementi possono essere ritrovati stimando la (1.11.7) con il doppio vincolo

inserito e con i minimi quadrati ordinari

= −3.292 ⋅ − ⁄

+ 0.607( ) 0.190( ) +

lny lnx lnx lnx lnx û

1 2 3 4 (1.11.24)

t

t t t t t

=

= = =

0.972, , RSS 0.1109, SEE 0.037

2

2

R R 0 . 972

c

dove si nota che la devianza dei residui è ben più alta di quella calcolata nel

modello senza vincoli: è del 75.2% maggiore.

Per determinare la matrice di correlazione degli stimatori dei parametri

vincolati facciamo ancora una volta uso della (1.11.20), per calcolare la quale

notiamo che −

 

12 . 244 1 . 748

′ ′

= =

1  

U R ( X X ) R −

 1 . 748 0 . 548 1-51

Modulo II – Minimi quadrati

 

0.151 0 . 485

− =

1  

U  

0 . 485 3 . 399

− − −

 

1 0 . 093 0 . 09 3 44 . 898 44 . 898

 

0 0 . 516 0 . 484 2 . 054 2 . 054

 

′ ′  

− −

− =

1 1

I ( X X ) R U R 0 0 . 516 0 . 484 2 . 054 2 . 054

5  

0 0 . 031 0 . 031 1 . 252 0 . 252

 

 

 

0 0 . 031 0 . 031 1 . 252 0 . 252

 

44 . 629

 

− 2 . 044 0 . 094

 

′ ′ ′  

− − −

− = −

1 1 1

[ I ( X X

) R U R ]( X X ) 2 . 044 0 . 094 0 . 094

5  

− −

0 . 276 0 . 009 0 . 009 0 . 423

 

 

− −

 

0 . 276 0 . 009 0 . 009 0 . 423 0 . 423

dalla quale si trae la matrice diagonale D

= < >

6.680 0.307 0.307 0.650 0.650

D

e quindi la matrice di correlazione

 

1

 

− 0 . 997 1

 

~  

β = −

Corr ( ) 0 . 997 1 1

0  

− −

0 . 064 0 . 045 0 . 045 1

 

 

− −

 

0 . 064 0 . 045 0 . 045 1 1

β β

In questa si verifica che, poiché ,

=

02 03

ρ = ρ ρ = ρ = ρ ρ = ρ

, 1, ,

21 31 32 42 43 52 53

β

e che, poiché -β ,

=

04 05 ρ = ρ = −ρ

1,

54 41 51 ~

β

ρ

dove indica l’elemento di posto ( ) nella matrice di correlazione di .

i,j

ij 0 1-52


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Bagnai sul modello lineare generale. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le serie storiche, i dati sezionali e longitudinali, il criterio dei minimi quadrati, i minimi quadrati nel modello lineare semplice, le stime dei minimi quadrati nel modello lineare semplice, i minimi quadrati nel modello lineare multiplo, l'ortogonalità dei residui rispetto alle variabili esplicative, la condizione sufficiente per i minimi quadrati, il coefficiente di determinazione, il teorema di Gauss-Markov.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Bagnai Andrea.

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