Econometria 3

Elementi di Econometria

7 novembre 2014 - prova intermediaTempo a disposizione: 90 minutiSoluzione (traccia)

Esercizio 1

ΔvotiA = β₁Δlog(spesaA), cioè

_ΔvotiA^ΔspesaA = β₁

se spesaA aumenta dell'1% allora la variazione percentuale di votiA è pari a 6.08%.

• Si vedano i lucidi per l'illustrazione del test di Breusch-Pagan.
• Il test F vale 3.95, nella forma asintoticamente equivalente si ha 3F = 11.85, il valore critico della χ₃² ad un livello di significatività del 5% è pari a 7.81. Di conseguenza, rifiuto l'ipotesi nulla.
• Si vedano i lucidi per l'illustrazione del test di White.
• Il test F vale 2.59, nella forma asintoticamente equivalente si ha 9F = 23.31, il valore critico della χ₆² ad un livello di significatività del 5% è pari a 16.99. Di conseguenza, rifiuto l'ipotesi nulla.
• Si, è opportuno utilizzare errori standard robusti all'eteroschedasticità secondo White.
• L'ipotesi nulla è H₀ : β₁ = -β₂ che può essere verificata utilizzando la regressione ausiliaria in colonna (3).

Esercizio 2

E(S) = E(40710 - 430P) = 40710 - 430E(P) = 40710 - 430 * 75 = 8460

Var(S) = Var(40710 - 430P) = 430² ∙ Var(P) = 430² ∙ 25 = 4622500

_{Prob(S > 6300) = Prob}^{{ S - E(S)√Var(S) > 6300 - 84602150 }} = Prob(N(0,1) > -1.004) = 0.84

Esercizio 3

ΔW/ΔE = 2.193 e ΔW/ΔA = 0.199

Dipartimento di Scienze EconomicheUniversità di Verona

Elementi di Econometria

7 novembre 2014 - prova intermediaTempo a disposizione: 90 minutiSoluzione (traccia)

Esercizio 1

\(\Delta votiA = \beta_1 \Delta log(spesaA)\), cioè

\(\frac{\Delta votiA}{\Delta spesaA} = \beta_1\)

se spesaA aumenta dell'1% allora la variazione percentuale di votiA è pari a 6.08%.

Si vedano i lucidi per l'illustrazione del test di Breusch-Pagan. Questa ipotesi nulla di sottopone a verifica utilizzando la regressione ausiliaria presentata nell'ultima colonna della tabella ed il test F di significatività della regressione. L'ipotesi nulla è: "tutti i coefficienti delle variabili esplicative nella regressione ausiliaria sono nulli tranne la costante".

Il test F vale 3.95, nella forma asintoticamente equivalente si ha 3F = 11.85, il valore critico della \(\chi^2_3\) ad un livello di significatività del 5% è pari a 7.81. Di conseguenza, rifiuto l'ipotesi nulla.

Si vedano i lucidi per l'illustrazione del test di White. Questa ipotesi nulla di sot- topone a verifica utilizzando la regressione ausiliaria presentata nell'ultima colonna della tabella ed il test F di significatività della regressione. L'ipotesi nulla è: "tutti i coefficienti delle variabili esplicative della regressione ausiliaria sono nulli tranne la costante".

Il test F vale 2.59, nella forma asintoticamente equivalente si ha 9F = 23.31, il valore critico della \(\chi^2_6\) ad un livello di significatività del 5% è pari a 16.99. Di conseguenza, rifiuto l'ipotesi nulla.

Si, è opportuno utilizzare errori standard robusti all'eteroschedasticità secondo Whit- te.

L'ipotesi nulla è \(H_0 : \beta_1 = -\beta_2\) che può essere verificata utilizzando la regressione ausiliaria in colonna (3). Si tratta di costruire un test t per verificare l'azzeramento del coefficiente della variabile \(\log(spesaA)\): \(t = -0.534/0.603 = -0.88\), non rifiuto l'ipotesi nulla ad un livello del 5%.

Esercizio 2

\(E(S) = E(40710 - 430P) = 40710 - 430E(P) = 40710 - 430 \cdot 75 = 8460\)

\(Var(S) = Var(40710 - 430P) = 430^2 \cdot Var(P) = 430^2 \cdot 25 = 4622500\)

\(Prob(S > 6300) = Prob(\frac{S - E(S)}{\sqrt{Var(S)}} > \frac{6300 - 8460}{2150})\)

\(= Prob(N(0,1) > -1.004)\)

\(= 0.84\)

Esercizio 3

\(\Delta W/\Delta E = 2.193 e \Delta W/\Delta A = 0.199\)

RESET = _{160479.8 - 158451.1 753 - 5}/^158451.1 = 4.78

nella forma gF il test vale 2 · 4.78 = 9.56, il valore critico della χ² ad un livello

di significatività del 5% è pari a 5.99 ⇒ rifiuto l'ipotesi nulla.

Nel modello di cui al punto a), i rendimenti marginali dell'istruzione e dell'età sono

costanti. Ora, sono dati da

ΔW/ΔE = -1.45797 + 2 · 0.151143 · E

di cui si ricava che per E = 6 l'effetto è pari a 0.355 mentre per E = 15 l'effetto è

pari a 3.076.

RESET = _{155429 - 155062.3 753 - 5}/^155062.3 = 0.88

nella forma gF il test vale 2 · 0.88 = 1.76, il valore critico della χ² ad un livello di

significatività del 5% è pari a 5.99 ⇒ non rifiuto l'ipotesi nulla. E' preferibile la

specificazione in c) rispetto alla specificazione in a).

2

Elementi di Econometria11 novembre 2013 - prova intermedia

Il placement office dell’Università di Forks, WA, USA, vi ha inviato un dataset su salario iniziale e voto di laurea per un campione di 108 laureati in discipline economiche.

1. Il salario iniziale medio è pari a 38644.86 US$ con una deviazione standard pari a 7541.4 US$. Costruite un intervallo di confidenza al 95% per il salario iniziale dei laureati in discipline economiche dell’Università di Forks.
2. Vi chiedete ora se “conviene” avere buoni voti confrontando il salario medio degli studenti con media maggiore o uguale a 2.5 con il salario medio degli studenti con media inferiore o uguale a 2.5 (la media dei Voti è decrescente da 4 a 0). Utilizzando i dati riportati nella tabella

• formulate e verificate l’ipotesi nulla che i salari iniziali siano uguali nei due gruppi, ipotizzando un livello di significatività del 5%.

(c) (facoltativa) Per un campione simile di laureati in psicologia ottenete un salario d’ingresso significativamente inferiore al salario dei laureati in economia. Dato che gli studenti hanno gli stessi anni di istruzione, questo risultato fornisce evidenza che il mercato del lavoro discrimina a sfavore dei laureati in psicologia?

3. Supponete di avere estratto un campione (X₁, X₂,...,X_n) di n osservazioni da una popolazione caratterizzata da media μ e varianza σ². Supponete di utilizzare la prima osservazione, X₁ come stimatore di μ, la media della popolazione. Si indichi con μ̂ = X₁ questo stimatore.
• Lo stimatore μ̂ è corretto?
• Qual è la sua varianza?
• È uno stimatore consistente?
4. Indicate se:

• eteroschedasticità
• variabile omessa
• correlazione tra due variabili esplicative pari a 0.95

possono essere causa di distorsione dello stimatore OLS nel modello di regressione multipla.Motivate la vostra risposta (max 10 righe).

Avete stimato il seguente modello di regressione

price = -19.3150 + 0.128436 sqrft + 15.1982 dbrms

(31.047) (0.013824) (9.4835)

T = 88 R² = 0.6233 F(2,85) = 72.96 s = 63.045

(errori standard tra parentesi)

dove price è il prezzo dell’abitazione in migliaia di dollari, sqrft è la dimensione dell’abitazione e dbrms è il numero di camere da letto.

Dopo aver illustrato cosa si intende per test di significatività della regressione, indicate se la regressione è significativa.