Econometria

Econometria

Abbiamo installato R ed R Studio. R è il motore. R studio è la macchina. Possiamo usare R senza R Studio ma non viceversa. Abbiamo visto le componenti di R.

Lezione 1

Introduzione

Cos'è l'econometria? L'econometria viene fuori da una parola greca, metrica + econometria. Econometria significa letteralmente misurazione dell'economia. È una disciplina che economisti e scienziati sociali usano per analizzare dati economici. Può essere utilizzata:

• Per stimare relazioni economiche;
• Per fare dei test su teorie economiche;
• Per valutare l’effetto di politiche (sociali, regionali, comunali ecc.).

Ad esempio, potremmo chiederci se l’università investisse e spendesse di più, come questo potrebbe migliorare la performance degli studenti? La risposta la troviamo con l’Econometria.

Tipi di dati in econometria

Esistono 3 tipi di dati in econometria:

1. Dati cross-sectional: i dati economici si muovono su 2 dimensioni, il tempo (es. inflazione) e lo spazio. Cross-sectional è un insieme di unità di osservazione presa solo in un periodo di tempo (es. tutti i lavoratori dell’impresa in un istante di tempo). In questo corso assumeremo che i dati cross-sectional riguardano una cross-section dati economici osservati su un singolo periodo di tempo.
2. Dati di serie storiche: si riferiscono alla stessa singola unità però osservata sopra vari periodi temporali (es. tasso di interesse, inflazione, disoccupazione → indicatori macroeconomici). Le serie storiche hanno certe caratteristiche e l’ordine in cui i dati sono analizzati è rilevante, perché quello che è successo ieri potrebbe portare delle conseguenze domani.
3. Panel data (osservazioni longitudinali): mettono insieme i cross-sectional e le serie storiche, ci sono osservazioni su più dati economici che sono seguite in vari stati di tempo (es. il livello di crimine, monitorato annualmente o mensilmente e su diversi anni).

Noi lavoreremo principalmente su operazioni cross-sectional.

Lezione 2

Esercitazione 1

Lezione 3

Esercitazione 2

Lezione 4

Esercitazione 3

Lezione 5

Esercitazione 4

Lezione 6

Esercitazione 5

Lezione 7

Modello di regressione semplice

Noi lavoreremo principalmente su dati cross-sectional (dati su una serie di individui in un solo istante temporale) e assumeremo che questi dati vengano fuori da un campione casuale e da una popolazione d’interesse. Per adesso considereremo soltanto due variabili, x e y, e vogliamo vedere come al variare di x varia anche y.

Le tre questioni che affronteremo sono:

• Come facciamo a considerare altri fattori che non siano la x che potrebbero avere conseguenze su y?
• Qual è la relazione funzionale tra x e y?
• Come possiamo essere sicuri che stiamo catturando una relazione di ceteris paribus (nesso di causalità tra due variabili) tra y e x?

Sostanzialmente, in statistica abbiamo visto relazioni in cui tra alcune variabili c’è correlazione, cioè al variare di una l’altra varia; in econometria noi vorremo dire qualcosa di più di una semplice correlazione, provando a dire che c’è un nesso di causalità tra le due variabili, dove per causalità intendiamo che al variare di x devo poter dimostrare che y varia, in questo rientra il concetto di ceteris paribus.

Partiamo da un modello molto semplice, che mette in relazione una y e una x. Questo è un modello che spiega una popolazione d’interesse e l’equazione sotto si riferisce al modello lineare semplice (semplice perché ha una sola variabile x): Noi vogliamo stabilire la relazione tra x e y in questi termini: cosa succede alla y quando varia x e non viceversa. Ad esempio: cosa succede alla performance degli studenti (y) quando la classe è numerosa (x).

Abbiamo diversi modi per chiamare la x e la y, noi utilizzeremo spesso questi termini:

• Y: variabile dipendente;
• X: variabile esplicativa o regressore.

Per quanto riguarda il modello lineare, è chiamato intercetta ed è il coefficiente angolare della retta di regressione ed entrambi sono i parametri della popolazione. L’obiettivo è capire come stimare i parametri della popolazione. Nella ceteris paribus vediamo come la x influisce sulla y e come la y cambia in virtù di un cambio in x tenendo fissi tutti gli altri fattori. Il ruolo di mantenere fissi gli altri fattori è quello che, in questo modello lineare, ha il termine "u" o termine di errore, che permette di affermare che tenendo tutti gli altri fattori presenti in "u", l’effetto di x sopra ad y è una certa cosa che coincide con.

Possiamo inoltre dire che questo modello di regressione assume una forma funzionale che è lineare, infatti y è relazionata linearmente alla x.

Interpretazione del modello

Indichiamo con delta il cambio, se noi diciamo che "u" deve rimanere fisso, avremo: Quando assumiamo che tutti gli altri fattori che influiscono su y, che stanno in "u" sono fissi, dicendo implicitamente che delta0 è = 0, e ritroveremo proprio la definizione del coefficiente angolare ( / = )

Esempio 1

Prendiamo in considerazione i frutti del raccolto e la relazione tra il raccolto e i fertilizzanti in un terreno agricolo. La variabile dipendente è il raccolto e la variabile esplicativa o regressore è la quantità di fertilizzante utilizzata nel raccolto. In "u" ci sono tutte le altre variabili che possono influire sul raccolto che non sono il fertilizzante (ad esempio la qualità del terreno). Dice quanto cambia la quantità del rapporto all’aumentare del fertilizzante (anche se ciò non detto che avrò sempre più raccolto perché se aumento il fertilizzante ad un certo punto il raccolto potrebbe essere stabile o iniziare a decrescere, per questo si dice che la funzione non è proprio lineare).

Esempio 2

Reddito con educazione, in cui la variabile dipendente è il reddito e la variabile esplicativa o regressore è l’educazione. Quali altri variabili influenzano il reddito? L’età, l’esperienza ecc. Il vantaggio dell’educazione, che quando ci dice che per ogni anno di educazione bisogna addizionare di quanto aumenta potenzialmente il reddito di un individuo. Anche in questo caso è difficile assumere che sia una funzione lineare perché non è detto che con più anni di educazione si avrà un reddito maggiore (se fai un anno in più all’università non è detto che aumenti automaticamente il reddito).

Noi siamo partiti elencando i primi problemi da affrontare. Questi tre problemi sono risolvibili con modello di regressione lineare. Assumendo che i fattori che influenzano la y siano inosservabili e inosservati e che tutti stiano dentro "u" stiamo facendo un’affermazione molto semplicistica e in realtà dovremo aggiungere in futuro altre variabili.

Come possiamo restringere la relazione tra "u" e "x" per far sì che l’assunzione fatta sul modello sia maggiormente realistica? La prima assunzione che facciamo è: il valore atteso (o la media) di u, nella popolazione, deve essere uguale a zero: Negli esempi fatti prima praticamente l’abilità della popolazione in media deve essere 0. Fare questa assunzione però non è realistico, perché non può essere proprio 0, però sicuramente in media qualcuno sarà più bravo e qualcuno no. Prendiamo il caso in cui non abbia senso che il livello dell’abilità medio è 0 (E(u)=0) = alpha0). Il modello perché il valore atteso dell’errore = 0, se noi aggiungiamo e sottraiamo alpha 0 dal modello, diventa: A questo punto il valore atteso di u-alpha0 è 0, (aplha0-alpha0=0) abbiamo quindi riscalato il modello cambiando l’intercetta senza cambiare la relazione tra y ed x (perché non è cambiato).

Ma ci potrebbe essere un’altra forma di dipendenza (es. quadratica). Nella seconda assunzione che facciamo, dobbiamo cercare di restringere la dipendenza tra "u" e x. La prima cosa che potremmo fare è assumere che la correlazione tra x e y è 0, quindi sono incorrelati nella popolazione e non c’è dipendenza lineare tra x e "u".

Invece di assumere che la correlazione tra x e "u" è 0, assumiamo che il valore atteso di "u" dato x= al valore atteso di "u": Questa assunzione si chiama indipendenza in media.

Per capire l’indipendenza in media immaginiamo questa situazione con abilità (u) e anni di istruzione (x) (esempio precedente): Noi stiamo dicendo che indipendentemente dal livello di istruzione la media dell’abilità deve essere uguale. Riformuliamolo in altri termini: per ogni porzione della popolazione divisa in base al livello di istruzione, l’abilità media deve essere la stessa. Quando il livello di istruzione è 8 la media dell’abilità è uguale alla media dell’abilità quando il livello di istruzione è uguale a 12, ma è ancora uguale al livello dell’abilità quando il livello di istruzione è uguale a 16. Quindi per differenti livelli di istruzione, l’abilità in media è sempre la stessa. Se combiniamo le due assunzioni sappiamo che il valore atteso u dato x= 0 per tutti i valori di x: Questa è chiamata la zero conditional mean assumption.

Guardiamo cosa succede alla retta di regressione nella popolazione prendendo il valore atteso di y dato x: Questa espressione ci dimostra che la funzione di regressione della popolazione è lineare in x, cioè che per ogni unità di incremento in x cambia il valore atteso di y (valore atteso perché è una relazione in media) di un ammontare pari a beta1.

Grafico con la retta di regressione

Osserviamo ora questo (con una certa intercetta che corrisponde a beta0, coefficiente angolare beta1) e per ogni valore di x1 c’è un corrispettivo valore sulla retta di regressione. Rispetto ad ogni valore la y è una y media perché per ogni valore di x1 c’è una distribuzione della u che in media è 0. Cerchiamo di capire meglio il grafico: Immaginiamoci che il grafico sia tridimensionale e che la curva in corrispondenza di x esca fuori dal foglio. Idea alla base: noi stiamo misurando il cambio di y al variare di x come un cambio medio. Questo perché se immaginiamo che il primo punto x sia uguale a 8, il valore che misureremmo sulla retta di regressione è un valore medio che corrisponde agli individui con 8 anni di educazione, perché ci saranno individui della popolazione che avranno redditi anche più o meno alti di questo. → Quindi non stiamo dicendo che tutti quelli che hanno un livello di educazione pari ad x avranno tutti lo stesso reddito, perché gli individui presi singolarmente non avranno tutti quel reddito ma una media di quel reddito.

Esempio

Prendiamo in considerazione il GPA = è un valore che varia da 0 a 4 e che dice il livello di apprendimento degli studenti americani nei corsi che seguono. Ovviamente il criterio con il quale uno studente viene ammesso ad un college è il GPA e c’è una forte correlazione tra il GPA che uno studente ha alla scuola superiore rispetto a quello che avrà al college. Supponiamo di conoscere questa relazione (valore atteso di GPA, dato il GPA dato in high school = …): In media il GPA che si avrà durante il college è 3.3. Quindi in generale stiamo cercando di spiegare, con la regressione lineare, l’effetto della variabile esplicativa sul risultato medio della y. Fino ad adesso abbiamo fatto diverse assunzioni, ora il focus è stimare i parametri della popolazione, quindi beta0 e beta1. Dobbiamo assumere di avere a disposizione un campione di grandezza "n" di quella popolazione: Domani useremo le due condizioni dette oggi (valore atteso di u=0 e covarianza tra x e u =0) per derivare gli stimatori dei minimi quadrati lineari. Vedremo che in un modello lineare otterremo sempre lo stesso risultato ottenendo 3 metodi, che ci daranno sempre lo stesso risultato in un contesto di modello lineare.

Lezione 8

Nella scorsa lezione siamo partiti da due assunzioni fatte sul modello:

1. , con cui abbiamo definito l’intercetta;
2. , con cui abbiamo definito la dipendenza in media della x da u.

Ne possiamo dedurre che: Ed il il valore atteso di (x, u) = 0. anche Partiremo da queste due relazioni per derivare lo stimatore dei minimi quadrati: Innanzitutto, ricordiamoci il modello, dove invece di u mettiamo quello che u risulta dal modello: Oppure scriviamo un’equazione simile rimpiazzando la u: Il valore atteso è una media e la prima equazione potremo riscriverla così: Il valore atteso nella seconda equazione è: Il nostro obiettivo è stimare beta0 e beta1 e per indicare che sono valori stimati utilizzeremo un cappello su beta0 e beta1: Siamo arrivati ad avere un sistema di due equazioni con 2 incognite.

Prima equazione

Partiamo dalla e distribuiamo la sommatoria con il prodotto di n: Il primo termine è una media: Il secondo termine è Il terzo termine è Avremo quindi: , che si può riscrivere anche come: seconda equazione Passiamo ora alla : Prendiamo in evidenza Bi heat : Cos’è ? È un altro modo di scrivere la varianza di x. Cos’è ? È un altro modo di scrivere la covarianza tra x e y. Una volta trovato beta0, l’abbiamo sostituito dentro l’equazione per beta1 e abbiamo trovato che betai heat è: Possiamo calcolare Betai heat ad una condizione: che la varianza è diversa da 0, perché se così non fosse (quindi se varianza = 0) non ci sarebbe variabilità e quindi i valori sarebbero tutti uguali. Quindi non si può calcolare quando tutti i valori di x del campione sono uguali, ad esempio: stimatori dei minimi quadrati Queste due espressioni sono gli (di beta0 e beta1): Domanda: il metodo dei minimi quadrati cosa c’entra in questo contesto? Per un modello lineare i tre stimatori con i tre differenti metodi coincidono, per questo parliamo di minimi quadrati pur essendo partiti dallo stimatore calcolato attraverso il metodo dei modelli. Come si deriva il metodo dei minimi quadrati? Abbiamo i valori di beta0 e beta1 stimati e otteniamo i valori che stanno sulla retta di regressione. Come possiamo stimare il termine di errore del modello iniziale? La differenza tra i valori reali della y e i valori che stanno sulla retta di regressione che daranno una stima del termine di errore che si chiama residui, quindi ci sarà i residui del modello di regressione lineare. Che equivale a fare: sommatoria dei residui quadrati = 0.→ Questa cosa qua si risolve così: Se i residui sono yi -yi cappello, questo sarà: Come si fa a trovare il minimo di questa espressione? Col fare la derivata parziale di Beta0 rispetto alla derivata parziale di Beta1: derivata parziale di beta0→ derivata parziale di beta1→ Torniamo alle slide. Le ultime due cose che vedremo sono: interpretazione di beta0 e beta1. Beta0 è l’intercetta della retta di regressione, per intercetta intendiamo il valore che y assume quando x è 0: Beta1 è il cambio in y che deriva da una variazione in x: Nella prossima lezione faremo alcuni esempi pratici su r per vedere come si stima un modello di regressione lineare e come calcoleremo manualmente le stime di beta0 e beta1 e le confronteremo con le formule calcolate in questa lezione e poi lavoreremo sull’interpretazione di beta0 e beta1.

Lezione 9

Esercitazione class_2_R → come stimare un modello di regressione lineare utilizzando la funzione lm in R. Abbiamo inoltre provato a verificare che le formule B0 e B1, trovati utilizzando il metodo dei minimi quadrati, davano lo stesso risultato delle formule. Abbiamo poi interpretato B0 e B1 come intercetta e slope (slope=pendenza). Ci sono funzioni di R per estrarre i fitted values e c’è un’altra funzione che estrae i residui del modello lineare, dove i valori osservati sono la somma dei valori “fittati” e i residui.

Lezione 10

Oggi vedremo 3 proprietà algebriche dei residui che valgono in ogni campione di dati:

1. Indipendentemente dal campione, la somma dei residui OLS vale zero. I residui li abbiamo definiti come e se noi prendessimo la media di y: , ma siccome la media dei residui è 0 allora anche l’ultimo addendo è 0. La media delle y = media dei valori fittati delle y.
2. La covarianza campionaria tra i residui e la x = 0: In virtù del fatto che le y fittate sono una funzione lineare delle x, se è vera la prima cosa (covarianza campionaria tra i residui e la x = 0), è vero che la covarianza tra le y fittate e i residui è 0:
3. Se uno moltiplica la media di x per il B1 stimato e li aggiunge la stima di B0, si ottiene la media della y: , quindi il punto (x medio, y medio) è sempre sulla retta di regressione.

R^2

Adesso possiamo parlare dell’R^2, che sta a qualificare la bontà di un modello. Ci dice quanto la retta di regressione si avvicina ai dati reali, quindi quanto è “buono” il fit del modello. Partiamo da una relazione che per ogni osservazione yi, questa è: , allora definiremo 3 quantità:

• SST: devianza della y o x (cioè il numeratore della varianza);
• SSE: parte della varianza di y spiegata dal modello (quando scrive la sommatoria è sempre da i che va da 1 a n);
• SSR: somma dei residui al quadrato.

Quindi possiamo dire che la somma SST = SSE + SSR.