Appunti di tutte le lezioni di Econometria 2020/21

8 settembre 2020

LEZIONE:

• Martedì 11.30-13.30

• Mercoledì 12.30-14.30

• Venerdì 11.30-13.30 à

No lezione 22 settembre anticipata 21 settembre.

Bibliografia: R. DAVIDSON-J. MACKINNON, Econometric Theory and Methods, Oxford

University Press, 2004.

Esame si compone di :

1 parte V-F Insieme di queste 3 parti = 50%

2 parte multiple

3 parte quesito a scelta tra 2

Restante 50% 6 domande/esercizi che riguardano un’analisi empirica.

Il desiderio degli uomini è quello di capire il mondo che li circonda, l’idea è quella di creare delle

realtà artificiali da studiare per capire degli aspetti che interessano l’uomo in una determinata

tipologia di settore.

Un esempio concreto sono i simulatori di volo, questo crea una realtà virtuale in cui il provetto

pilota si allena prima di andare sul vero e proprio aereo.

L’uomo ha da sempre cercato di crearsi delle realtà virtuali, per avere delle conoscenze e poi anche

fare delle previsioni.

Questo mondo di realtà virtuale e modello è quello che noi andiamo ad analizzare nelle scienze

sociali, quando cerchiamo di capire cosa succede se la BCE alza i prezzi ecc… queste sono realtà

virtuali che vengono create per capire le implicazioni, la natura del fenomeno ecc…

I pc sono fondamentali perché creano delle realtà virtuali, ad esempio il bianco dietro al documento

crea l’immagine di un foglio stampato, ma in realtà non lo è.

All’interno di queste realtà virtuali abbiamo dei modelli.

Quando guardiamo i modelli c’è il desiderio di capire il rapporto tra causa ed effetto.

Es funzione del consumo.

Quando studiamo un modello abbiamo dei parametri, quali ad esempio consumo autonomo, o

marginale, sono parametri che devono avere dei valori.

DGP: data generating process, è la creazione della realtà virtuale, cioè creare il modello, dare dei

valori ai parametri. yt = β1 + β2Xt + ut

Y= variabile dipendente, consumo di una famiglia in uno specifico anno

X= variabile indipendente, reddito disponibile

Quando diamo dei valori specifici a gli diamo dei valori specifici

β e β

1 2

Infine, vi è sempre un disturbo e questo è rappresentato da , c’è sempre un elemento

u .

t

imprevedibile. Quindi in econometria si tende ad aggiungere un elemento di imprevedibilità.

È un disturbo casuale, una non conoscenza totale che fa inserire all’interno del modello un elemento

di casualità. Va trattato come variabile casuale. 1

Uno dei modelli di cui si occupa l’econometria è il modello di regressione, questo è una realtà

virtuale che si andrà a simulare.

Il primo modello è: modello lineare semplice, chiamato così perché c’è solo una variabile

indipendente. È un’equazione: y = β + β X + u .

t 1 2 t t

Pedici: t indica che non abbiamo una sola osservazione sul modello, ma una serie di osservazioni

legate all’istante temporale. Quindi abbiamo più osservazioni che sono indicizzate dalla lettera t.

Anche il disturbo è legato a t, ma non è un parametro osservato e non osservabile, è un elemento di

disturbo.

La y viene chiamata variabile dipendente (consumo) la X è la variabile indipendente o variabile

esplicativa (reddito). à

Esempio reddito/consumo ignoriamo la presenza del termine di errore u, è la propensione

β

2

marginale al consumo rappresenta il consumo autonomo. Le variabili guadagno e consumo

β

, 1

variano di anno in anno, in contrapposizione i parametri riflettono aspetti dell’economia che non

variano, ma hanno sempre lo stesso valore.

Per ogni t, il valore di yt è dato da una funzione lineare di Xt + u.

Quando sparisce la parola semplice è perché ci sono più parametri.

β + β sono coefficenti fissi. Noi ci impegneremo a definire se la stima di tali parametri è buona.

1 2

β è una costante, è l’intercetta in questa relazione.

1 è il coefficiente angolare che moltiplica X

β

2

β β sono valori sconosciuti, ma sono costanti, mentre X, Y variano in funzione della u.

1 2

X e Y le osserviamo, β β u no.

1 2

Tipicamente abbiamo N osservazioni, quindi t è un indice che varia tra 1 e N dove N è un numero a

piacere che corrisponde al n di osservazioni che abbiamo.

Solo questa parte di funzione è regression funcition

β + β X

1 2 t

u , questo disturbo è un elemento di imprevedibilità e questa è rappresentata da una variabile casuale,

t

e questo rende il ns modello una deterministica e non stocastica.

Dobbiamo assumere che l’aspettativa del termine u è = 0 . qualunque valore assuma X, solo in questo

modo riusciremo a definire in modo univoco e quindi a identificare β + β .

1 2

CAPM: è un modello che cerca di spiegare l’eccesso di rendimento di un titolo con l’eccesso di

rendimento di un portafoglio di mercato. Rendimento (pt-pt-1 /pt-1) è alla base del modello CAPM,

meglio dire l’eccesso di rendimento.

Il CAPM mette l’eccesso di rendimento di un titolo es Tesla e lo fa dipendere dall’eccesso di

rendimento del portafoglio di mercato, la X facciamo che sia Nasdaq, il del titolo è il b2 in un

β

certo senso andiamo a vedere se il titolo è difensivo, aggressivo, se il >1 il titolo è particolarmente

β

speculativo, ogni volta che c0è un eccesso di rendimento la y cresce in modo maggiore. Difensivo

<1 ha un impatto più piccolo.

Il modello CAPM predice che l’intercetta è 0. 2

Un altro esempio è legato al immaginiamo di voler prevedere con quale probabilità la borsa di

Milano oggi possa fare un -10%, si può creare un campione, una raccolta di dati, andare a definire

una variabile casuale con una distribuzione con la media dei rendimenti

Basta sapere quale sia la distribuzione e si può quantificare questo rischio.

L’utilità delle variabili casuali è quella di quantificare una ignoranza con una distribuzione di

probabilità. 9/09/2020

Username: ec

Password: eco20

Immaginiamo di avere il seguente problema finanziario: yt = β1 + β2Xt + ut il modello CAPM

richiede di mettere particolare attenzione sul β di un titolo, cioè quel coefficiente che ci dice se

il ns titolo è speculativo, difensivo… come si comporti rispetto a un portafoglio di mercato.

Pensiamo di stimare un modello fatto come il CAPM data la relazione del CAPM stimiamo il

à

β2 e vediamo se il titolo che abbiamo di fronte sia o meno un titolo speculativo.

β2= 1 è uguale al mercato

β2< 1 più basso del mercato

β2 > più alto del mercato.

Quando si ha a che fare con il CAPM si ha la necessità di esprimere gli eccessi di rendimento,

quindi, il rendimento del titolo detratto il rendimento che si ha da un titolo privo di rischio e questo

è valido sia per il titolo che vogliamo analizzare che per il portafoglio di mercato.

Una possibilità molto semplice per stimare e verificare il CAPM è utilizzare questo modello di

= + +

regressione di tipo lineare: .

! " # $! !

Caso Tesla. Un elemento essenziale è quello di capire dove reperire i dati, una possibilità è yahoo

finance. Sulle slide c’è il link per andare a reperire le informazioni.

Un altro problema che potrebbe essere chiesto è: studiamo le determinanti dei prezzi delle

abitazioni, quindi che cosa determini il prezzo di

un’abitazione, si può ragionevolmente pensare che

sia la dimensione dell’abitazione stessa, il n di

camere ecc… ci sono una serie di fattori che si

presuppone possano influenzare il prezzo di

un’abitazione. Il concetto di casualità è un concetto

che entra in ballo quando abbiamo dei modelli e

vogliamo cercare una relazione di causa-effetto. A

questo punto abbiamo una serie di variabili

esplicative e una variabile dipendente che è il

prezzo dell’abitazione stessa.

Il concetto di casualità è un concetto che entra in ballo quando abbiamo dei modelli e vogliamo

cercare una relazione di causa ed effetto. 3

yt =β

1+β xt +ut

Introduciamo il modello di regressione lineare: è rappresentato dall’equazione: 2 , un

modello di regressione lineare semplice è fatto da un’equazione in cui compare:

• un indice t che idicizza la singola osservazione per capire quale sia il riferimento specifico.

• abbiamo poi due coefficienti costanti, sconosciuti, ma stimabili β1 e β2

• abbiamo poi Xt che è una variabile che rappresenta la variabile esplicativa del nostro modello,

la variabile indipendente

• y è la variabile dipendente, perché il suo valore dipende dal lato dx dell’equazione

• alla fine abbiamo u, anch’essa indicizzata con t, non osservabile. Esso rappresenta la nostra

conoscenza dei comportamenti umani, le scelte sociali sono caratterizzate dalla imprevedibilità

del comportamento umano e abbiamo quindi la necessità di inserire una vc che rappresenta il

nostro disturbo. Ogni modello econometrico ha un disturbo che è una variabile casuale.

Il termine di errore è non osservato, mentre Y e X sono osservabili.

Una variabile casuale è il modo in cui viene matematicamente rappresentata l’incertezza rispetto a

un determinato evento. È quindi una funzione che può essere di 2 categorie:

1. Variabile casuale discreta: quando la variabile assume solo valori discreti

2. Variabile casuale continua: i valori che può assumere la vc sono valori definiti lungo la

linea dei numeri reali.

Ad ogni possibile valore assunto dalla vc possiamo appiccicare una probabilità e questa definisce la

distribuzione di probabilità della vc.

Nel caso di variabili casuali discrete, come viene rappresentata? X viene rappresentata come una vc

, , …

discreta generica che può assumere un numero finito di valori e via discorrendo. Quindi le

" #

x minuscole sono un particolare valore assunto dalla variabile, mentre X maiuscolo è genericamente

la variabile casuale.

La probabilità appiccicata che viene assegnata ad ogni possibile outcome, la somma

di queste probabilità deve essere = 1.

In econometria, difficilmente troviamo nei modelli di regressione vc discrete, un ambito è quello

dei binary date. Al contrario è molto più frequente vc definite nel continuo.

Il modo di rappresentare la variabile è identico, ma accanto viene rappresentata la cumulative e la

density function in modo differente perché sono definite in un insieme continuo.

La cumulative distribution function (CDF): è la funzione di distribuzione cumulata, rappresenta la

probabilità che la vc assuma un valore = o più piccolo di un determinato valore che diamo noi

Pr(X ≤ x) probabilità che la vc X definita nel continuo assuma un valore minore o uguale a x

à

La variabile dipendente in un modello di regressione è di solito una variabile casuale continua.

Qualsiasi distribuzione di probabilità segue tre regole:

1-tutte le probabilità devono essere comprese tra 0 e 1, non esiste una probabilità negativa e non

esiste una probabilità maggiore di 1

2- la probabilità di osservare l’insieme vuoto = 0, la probabilità invece di osservare tutti i possibili

eventi della variabile casuale è 1. Sono due casi estremi.

3- se noi abbiamo due eventi disgiunti e vogliamo calcolare la probabilità che si verifichino, questa

è data dalla somma delle probabilità che si verifichi il primo evento + la probabilità che si verifichi

il secondo evento 4

La CDF F(x):

• F(x) tende a 0 se x → −∞ perchè stiamo andando verso l’insieme vuoto

• F(x) tends to 1 as x → +∞ tende a 1 se andiamo verso tutti i possibili valori e quindi la

cumulata tenderà a prendere un valore molto prossimo a 1.

• F(x) is a weakly increasing function of x -> è una funzione incrementale con uguale

• Per una funzione continua se andiamo a calcolare la probabilità di un singolo punto troviamo 0

Possiamo passare alla funzione di densità -> la funzione di densità è la derivata della funzione

cumulata, è rappresentata dalla f ed è uguale come definizione alla derivata prima della cumulata

àf(x) = F’(x) , poiché la funzione cumulata = 0 quando la x tende a essere -∞, = 1 quando tende a

+∞, qualsiasi PDF (probability density function) deve essere normalizzata per avere esattamente lo

stesso andamento. Possiamo avere la necessità di calcolare la probabilità

all’interno di un intervallo, se noi adoperiamo la cumulata

abbiamo la probabilità da -∞ fino al punto che vogliamo, se invece abbiamo un intervallo potremmo

à

avere la necessità di utilizzare un intervallo in questo caso prendiamo la densità e integriamo

rispetto all’intervallo che ci interessa, quindi la probabilità che x assuma un valore compreso tra a e

b è l’integrale tra a e b della densità f(x)dx.

qui abbiamo un esempio grafico per vedere la relazione tra la cumulata

(grafico superiore) e la densità (grafico inferiore), c’è una relazione stretta, la

forma per una cumulata della standard normal ha la forma (sopra), in ogni

punto leggiamo quant’è la massa totale di probabilità fino a quel punto e

questo ha una corrispondenza nella densità perché se prendiamo la f di

densità (sotto) abbiamo fino a un certo punto lo stesso valore, un valore più

piccolo di 1, e tutta l’aerea che troviamo a sinistra è = all’area sotto la curva

di sopra.

Possiamo anche avere una variabile casuale di tipo binario che possiamo definire come una vc che

assume solo due valori , 0 e 1, per esempio. La probabilità di avere 0 è p e la probabilità di avere 1 è

1-p, la cumulata è descritta: à

se avessimo p = 0,6

Quello che ci serve quando caratterizziamo una vc sono i momenti della vc stessa.

I momenti di una distribuzione sono: il momento di una distribuzione è il modo di caratterizzare la

vc stessa, abbiamo il primo, il secondo, terzo e momenti di ordine superiore. 5

Se prendiamo un primo caso, che corrisponde al primo momento:

il valore atteso di una vc è un modo per caratterizzare ciò che succede a

quella vc nel caso in cui potessimo osservare molteplici realizzazioni di

quella vc stessa e si chiama anche valore atteso.

E sta per expetection, quindi l’expective value di X è = all’integrale tra -∞ e +∞ di x (quindi il

singolo valore assunto dalla vc) moltiplicato per la densità di quella vc stessa, integrato su x.

Questo valore atteso, è una caratterizzazione che noi diamo a una vc, e rappresenta ciò che ci

possiamo aspettare se potessimo osservare più volte quella vc come valore medio, ha un

corrispondente nel caso discreto.

Nel caso discreto ciò che viene utilizzato è la sommatoria, la sommatoria per

i che va da 1 a m di p(xi) che è la prob di osservare l’outcome xi per xi.

Questi sono definiti come primi momenti, il primo per il caso continuo e l’altro per il caso discreto.

La funzione momento di una vc viene fuori da momento di ordine K, nel

caso dell’aspettativa è momento di ordine 1, cioè quando k=1.

Potremmo essere interessati a non fermarci al primo momento, ma potremmo essere interessati

anche ai momenti di ordine superiore, un momento importante è il secondo momento di una

distribuzione.

Questi momenti sono momenti non centrati, perché noi potremmo avere la necessità di avere

momenti centrati e molto spesso lavoreremo con momenti centrati.

Il momento è centrato quando gli sottraiamo il suo valore

atteso. rappresenta l’aspettativa di x, questo è il k esimo

momento centrale perché potremmo elevarlo alla 3 e

otterremmo la skewness: che nota la simmetria/asimmetria di

una distribuzione e alla 4 avremmo la curtosi che è il quarto

momento centrato di una distribuzione e misura quanta è la

massa di probabilità presente nelle code della distribuzione

stessa. Quindi quanta probabilità c’è di osservare valori

estremi.

Lo stesso calcolo che abbiamo fatto per il caso continuo lo

possiamo fare per il caso discreto, in questo caso la prima

parte della formula rimane identica e nella seconda parte

l’integrale viene rimpiazzato dalla sommatoria. Dove nella sommatoria abbiamo le singole

probabilità di osservare un determinato valore della x

Un momento centrato che calcoliamo spesso è la varianza, la varianza

non è altro che il secondo momento centrato di una distribuzione.

• la media può essere immaginata come l’aspettativa di una variabile casuale o di una

distribuzione

• la varianza è una misura della dispersione della distribuzione stessa, quindi se noi abbiamo

varianza 0, abbiamo una costante, non c’è una distribuzione di valori ma c’è un singolo valore

assunto

• √

la standard deviation è la la varianza assume sempre solo valori positivi

• lo standard error è una stima della dev standard 6

Il valore atteso di una normale standard è 0, e la varianza 1.

La distribuzione è simmetrica e quindi la probabilità di avere un numero positivo è 50% se

estraiamo un numero da una normale standard. La probabilità di avere un numero negativo è 50%.

Non &eg