Appunti di tutte le lezioni di Econometria 2020/21

I

'"

= Φ (1 − ),

à

di sé il 97.5 di probabilità questo è un test a due code, per questo dividiamo

I #

per 2. Immaginiamo di avere il 5% come livello del test, 1 – 2,5% = 0.975 che vado a mettere nella

funzione disegnata e dalla linea rossa mi spingo sull’asse verticale e scopro che il numero è 1.96,

quindi 1.96 è il mio valore critico per un test a due code con livello del 5%, quindi rigetterò tutte le

volte in cui ho un valore della statistica t >1.96 in valore assoluto.

Esiste un approccio analogo, ma più preciso. In quello sopra siamo in grado di dire se siamo sotto o

)

(̃ = 2(1 − Φ|z|).

sopra la soglia, mentre qui abbiamo il p-value che è

Abbiamo un test e immaginiamo sia -0.85 il v critico e ne prendo il v

assoluto e diventa +0.85 perché il test è a due code, quindi diventa

)

(̃ = 2(1 − Φ|−0.85|) = 2(0.15) = 0.30

à

cumulata a -0.85 che è il

p-value che ci dice qual è il valore per cui noi rigettiamo l’ipotesi nulla.

In questo caso il caso per cui noi rigettiamo l’ipotesi nulla è il 30% che

non è vicino a 0.05, perché è molto più alto.

Se noi rigettassimo l’ipotesi nulla sulla base di questa statistica, accetteremmo la possibilità di

effettuare 30 volte su 100 un errore di primo tipo. Noi rigettiamo lo 0,05, quindi essendo il p-value

un valore più alto non possiamo rigettare l’ipotesi nulla.

2

Test esatti: cioè quando noi conosciamo la vera distribuzione degli errori e in

y=Xβ+u, u∼N(0,σ I),

modo particolare questa è gaussiana, con media 0 e varianza sigma quadro, ed è importante che la

varianza sia costante, u e x devono essere indipendenti e quindi deve valere l’ipotesi di esogeneità,

siamo in grado di derivare dei test definiti esatti, esatti nel senso che hanno esattamente quella

distribuzione di probabilità sotto l’ipotesi nulla.

Abbiamo visto per prima cosa il test per una singola restrizione, quindi ad esempio, beta = 1 nel

modello CAPM, vogliamo testare e capire se il beta è uguale a 1, test a una coda.

Se vado a guardare nell’ipotesi alternativa b minore uguale a 1, contro beta maggiore di 1.

I parametri nel modello sono statisticamente significativi o no? Nell’output viene riportato di

default un t test che è esattamente un test a due code in cui il coefficiente stimato viene ipotizzato

essere = 0. Abbiamo visto quindi che il test assume una forma come la 4.23. Segue una t student

= 0

con n-k gdl per quando è vera.

# ( 51

Fare un test a una coda o a due code, basandosi sulla distribuzione t o basandosi sulla distribuzione

standard normal è sostanzialmente, la stessa cosa perché è vero che la distribuzione esatta è una t,

ma quando noi aumentiamo i gdl nella t la distribuzione t converge alla distribuzione std normal e

quindi le due distribuzioni diventano quasi indistinguibili.

Questo vuol dire che 1.96 è un valore che va bene anche per rigettare un test con valore critico con

una distribuzione t, quando i gdl della t sono oltre 10.

Immaginiamo un problema differente, ovvero, anziché avere una sola restrizione immaginiamo di

voler effettuare un test in cui abbiamo più di una restrizione. Non c’è alcun modo per esprimere un

test a più di una restrizione come un test a t. quindi deve essere un test in cui vado ad avere più di

una restrizione. = 0,

Immaginiamo di voler testare l’ipotesi nulla che è un vettore.

# #

≠ 0

L’ipotesi alternativa è che #

• H1: y=X1β1+X2β2+u

• H0: y=X1β1+u # #

Aggiungere un regressore nell’ , fa aumentare il valore dell’ stesso, perché aumenta la varianza

↓

spiegata, questo vuol dire che la parte legata ai residui ↓ ).

(↑

I residui di questa della regressione io ho un regressore in più, quindi i suoi residui sono più

"

à

piccoli dei residui di come calcolo il mio test? confronto la regressione , che chiameremo

( (

regressione ristretta, quindi prendo i residui della ristretta ( ) e gli sottraggo quelli della non

(

ristretta, e divido per i residui della regressione non ristretta ( ). Quindi vado a vedere in che

"

proporzione ho un miglioramento nel passaggio da RSSR (somma residui al quadrato della

regressione ristretta) a USSR (somma residui al quadrato della regressione non ristretta) e trovo il

miglioramento a introdurre nella regressione, quindi se ho un forte miglioramento la differenza

#

sarà ampia e questa ampia differenza la confronto rispetto a USSR mettendola in proporzione,

quindi vado a vedere che miglioramento mi comporta introdurre un regressore in più.

Confronto quindi la somma dei residui al quadrato del modello ristretto, con i residui al quadrato

del modello non ristretto.

Per ottenere una distribuzione devo dividere il numeratore per r, e il denominatore per n-k.

Quindi avrò: ( − )/

≡

/% /( − )

Per risolvere esiste una strada molto più stretta, che è quella di calcolare soltanto:

Questa F è un test esatto, e per essere tale ha la necessità di avere come ipotesi vera, che i disturbi si

distribuiscano come una gaussiana.

C’è una relazione molto stretta, se noi prendiamo un t test e lo mettiamo al quadrato, il t test è per

forza su una sola restrizione, quindi, il t test con una restrizione al quadrato, l’F test con una

restrizione producono esattamente lo stesso risultato. 52

Applicazione dell’F test: cioè il test di Chow che serve per vedere se ci sia una discontinuità nel

coefficiente oppure no. Quindi il test ha come ipotesi nulla che il coefficiente sia costante

1 1

lungo l’intero arco campionario e quella alternativa è che invece ci sia una break, cioè che il al

1

posto che essere unico diventa differente. Confrontando il modello ristretto e non ristretto il

1-

Chow test ci dice se dobbiamo inserire la dummy o qualsiasi altra cosa per conto del che noi

abbiamo stimato non è unico.

Se uno stimasse il per un titolo nel CAPM per il periodo 2007-09, nel mezzo c’è la crisi di LB,

quel punto specifico potrebbe aver determinato una rottura del del ns titolo privo di rischio, in

,

quel caso si applica un test di Chow per vedere se quel sia unico oppure no. L’ipotesi nulla è che

sia costante il valore del ns coefficiente.

Cosa succede quando l’ipotesi di avere errori distribuiti sulla base di una distribuzione gaussiana,

non sia soddisfatta? In questo caso dobbiamo trovare una approssimazione asintotica.

Quando passiamo dalla teoria test esatti a test asintotici, rimuoviamo l’ipotesi di avere disturbi

distribuiti in modo gaussiano.

Per derivare un test per approssimazione ci appoggiamo su un teorema che è la legge dei grandi

numeri e il teorema del limite centrale.

La legge dei grandi numeri ci dice sotto quali ipotesi posso sostituire il v atteso di una distribuzione

con la media campionaria, un’applicazione importante di tale legge è l’empirical distribution

function. Se io ho un campione di tot osservazioni posso considerare come egualmente probabili

ciascuna osservazione che io ho nel mio campione e quindi distribuire un’empirical distribution

function. Questo perché funziona la legge dei grandi numeri.

Questi due teoremi ci permettono di continuare a tenere il test t la statistica F anche

se i disturbi non seguono una distribuzione gaussiana. Tuttavia, dovremmo prendere

degli accorgimenti, cioè, utilizzando la legge dei grandi numeri e il teorema del

limite centrale, la statistica t asintoticamente tenderà a una normale std, quindi dovrò

guardare i valori critici, utilizzando giustificazioni asintotiche la std normale e non

più la t. E per quanto riguarda la F, anziché utilizzare la distribuzione F per la

statistica F dovremo utilizzare la chi-quadro in grandi campioni.

Smontando l’ipotesi di avere disturbi distribuiti in modo gaussiano, posso ancora

tenere in mano le mie statistiche t, per una restrizione, ed F per restrizioni multiple

con l’unico accorgimento di cambiare le distribuzioni che guardo come valori critici.

Perché sotto l’ipotesi nulla per approssimazione, la statistica t va ad essere approssimata come una

normale std, mentre la statistica f diventa una chi-quadro. 14/10/2020

Test di ipotesi resume: prendo una regressione in cui ho una sola costante e degli errori che sono

A

#

IID (0, ), poi vado a stimare il modello in cui è presente solo la costante, quindi il so essere la

media delle y, cioè dei valori che ho nel mio campione per quanto riguarda la y.

In maniera corrispondente la varianza dello stimatore è (vedi sopra).

Faccio due ipotesi forti: la prima è che gli errori siano distribuiti in modo gaussiano, quindi che

vengano da una distribuzione normale, la seconda è che noi conosciamo sigma.

=

Il test che voglio fare è se il vero . Questo test viene fatto calcolando una statistica, o un

( A

rapporto chiamato z, se l’ipotesi nulla è vera vado a togliere il vero valore da e vado a vedere se

questo rapporto viene centrato su una normale standardizzata. 53

Posso utilizzare questa procedura perché conosco la distribuzione del test, quindi la distribuzione di

z, quando l’ipotesi nulla è vera. L’assunzione implicita che noi stiamo facendo è che la stessa z,

sotto l’ipotesi alternativa assuma una distribuzione differente, cioè devo avere due distribuzioni

differenti per il test z sotto l’ipotesi nulla e sotto l’ipotesi alternativa, altrimenti non sarei in grado di

dire se rigetto l’ipotesi nulla o se non posso rigettarla.

Sotto l’ipotesi alternativa io vado a creare una distribuzione per z, che è sempre gaussiana, ma non è

più centrata sullo 0, ma sulla differenza tra il vero valore e il valore che io sottraggo. Quindi se

= ≠

effettivamente vado a cadere nella distribuzione std normal, se viceversa vado a

( " ( "

spostare la distribuzione.

Noi siamo davanti a un problema con variabili aleatorie, cioè non possiamo mai escludere con

certezza che il vero valore sia effettivamente quello per cui stiamo rigettando l’ipotesi nulla, perché

la distribuzione gaussian