Econometria - Appunti

M.R.L. GENERALIZZATO

Se viene abbandonata l’assunzione di sfericità degli errori, il modello diventa:

(1) Con: ,

(con:

lo stimatore: non è più BLUE, e la sua varianza è ora pari a:

Stimatore GLS (Generalized Least Squares)

Lo stimatore GLS può considerarsi come uno stimatore OLS basato su variabili trasformate: supponiamo che esista

una matrice quadrata non singolare tale che:

, da cui: , da cui: , da cui:

per ricavare lo stimatore GLS, moltiplichiamo entrambi i lati per la matrice , ottenendo:

(2)

̃

̃ ̃ (3)

che può essere riscritta come:

̃

si vede subito che: ̃ ̃ ̃ 10

̃ ̃ ̃ ̃

Dalla (3) si ricava quindi:

Con:

e:

Test “F” su restrizioni lineari multiple (GLS)

̂ ̂

NB:

Stimatore FGLS (Feasible Generalized Least Squares) ̂

Se la matrice non è osservata, dobbiamo utilizzare una sua stima , ottenendo così lo stimatore FGLS che è

asintoticamente equivalente a quello GLS ma non è più BLUE (in campioni finiti).

AUTOCORRELAZIONE

Come l’eteroschedasticità, anche l’autocorrelazione è una violazione dell’ipotesi di sfericità degli errori.

In questo caso, però, gli elementi sulla diagonale principale della matrice di varianza-covarianza sono uguali

(omoschedasticità), mentre gli altri sono diversi da zero, per cui:

Assumendo che le osservazioni campionarie siano ordinate rispetto al tempo, le covarianze fra e sono una

funzione della distanza : , con:

√

La matrice di varianza-covarianza dei termini di errore è:

[ ] 11

PROCESSI STOCASTICI

Un processo stocastico è una sequenza di variabili casuali ordinate rispetto al tempo:

, con:

White Noise

Un processo stocastico è definito “white noise” se: ,

Random Walk

Un processo stocastico è definito “random walk” se evolve nel tempo come segue:

∑

Dove è un processo “white noise”.

PROCESSI STOCASTICI AUTOCORRELATI

Processo AR(1)

Un processo stocastico è definito autoregressivo di ordine 1 se evolve nel tempo come segue:

∑ , dove:

imponendo la restrizione , le osservazioni meno recenti sono “pesate” meno di quelle più recenti, e inoltre:

Processo MA(1)

Un processo statistico è definito a media mobile di ordine 1 se evolve nel tempo come segue:

, dove: {

Inoltre: 12

GLS con AR(1)

Con processo AR(1) la matrice di varianza-covarianza è data da:

[ ]

̂

Da cui:

FGLS con AR(1) ̂

Se la matrice non è nota, ma si assume , per stimare è necessario stimare :

1) Stimare il modello originale e ottenere il vettore dei residui stimati “ ”.

2) Calcolare il coefficiente di (auto)correlazione campionario “ ”:

∑ ∑ ̂

3) Calcolare la matrice stimata, sostituendo “ ” con la corrispondente stima “ ”:+

[ ]

̂ ̃

̃ ̃

4) Stimare il modello trasformato: con:

√ √

[ ] [ ]

̂ ̃ ̂ ̃

̃ e

5) Da cui si ottiene: ̃ ̃ ̃ ̃ 13

Test di autocorrelazione

Test di Durbin-Watson

Nel caso AR(1), l’ipotesi nulla è data da: , la statistica di Durbin-Watson “ ” è data da:

∑ ∑ ̂

 è facile vedere che: ̂

  

Se: assenza di autocorrelazione

̂

  

Se: correlazione positiva

̂

  

Se: correlazione negativa

Test “t” per errori AR(1)

Usare il modello: , e testare:

Test “F” per errori AR()

Usare il modello: e testare:

VARIABILI STRUMENTALI

Variabili omesse

Ipotizziamo che il modello sia: (1)

Assumiamo inoltre che: (2)

 introduciamo una variabile strumentale “ ” (esogena) tale che:



(3) esogenità Della variabile strumentale



(4) rilevanza

 per verificare la veridicità della (4) , possiamo regredire la variabile endogena “ ” sulla quella esogena “ ”:

(5) , con: (6)

 l’assunzione (4) sarà vera se saremo in grado di rifiutare l’ipotesi nulla: (7)

 La variabile strumentale “ ” oltre ad essere correlata con la variabile endogena “ ”, occorre che non sia correlata

con la variabile dipendente “ ” e con altre variabili esplicative “omesse” ( ).

Quindi una “proxy variable” di queste variabili omesse, se usata come variabile strumentale, renderà debole il

modello e così anche il relativo stimatore “IV” (Instrumental Variable). 14

 la disponibilità di una variabile strumentale può essere usata per stimare in modo consistente i parametri della (1)

 per scrivere in termini di covarianze della popolazione, usiamo la (1): la covarianza tra “ ” e “ ” è data da:

(8)

 per le assunzioni (3) e (4) si ha che: (9)

 da cui: ∑ ̅

̅

̂ (10)

∑ ̅

̅

 da cui:

̂ ̂

̅ ̅ (11)

Variabile strumentale binaria

Se la variabile “ ” è binaria, lo stimatore della variabile, detto “stimatore di Wald”, diventa:

̅ ̅ ̅

̂ {

̅

(12) ̅

̅ ̅ con: ̅

{

̅ ̅

Inferenza statistica con “IV”

Introduciamo l’assunzione di omoschedasticità rispetto alla variabile strumentale “ ”:

(13) ̂

 da cui, se valgono la (3), la (4) e la (13), la varianza asintotica di è data da:

̂ (14)

 la (14) ci dice quanto sono correlate “ ” e “ ” , essa converge a 0 al tasso “ ” , dove “ ” è la dimensione del

campione. Essa è interessante per due ragioni: ̂ :

1. Ci fornisce un modo per ottenere lo standard error di tutte le quantità della (14) possono essere

stimate in modo consistente dato un campione casuale:

 Varianza campionaria di ( ) per stimare

 Per stimare possiamo regredire su e calcolare ̂

̂

̂

 Per calcolare usiamo i residui “IV”: (15) 15

∑ ̂

̂

da cui otteniamo: (16)

̂

√

̂

 da cui: (15)

̂ ̂

2. Ci permette di comparare e :

̂ ̂

(16) e (17)

 ,

la (16) e la (17) differiscono solo per che poiché è sempre , allora avremo che:

̂ ̂ . Se la correlazione tra e è debole, allora sarà vicino a 0, quindi la

̂ ̂ ̂





sarà molto grande (viceversa: se ).

Conseguenze di uno strumento “debole” ̂

Una debole correlazione tra “ ” e “ ” , oltre a comportare un alto valore di , e quindi scarsa accuratezza

delle stime, esaspera la distorsione asintotica dello stimatore, anche se .

 questo perché:

̂ (18)

distorsioni

̂ (19) , da cui:

̂ (20)

̂

 se la “direzione delle distorsioni è la stessa e la correlazione tra e è piccola, sarà probabile che la distorsione

̂ ̂

di sia maggiore di quella di (cioè che il lato sinistro della (20) sia > 1).

Sarebbe vero il contrario s.s.se il numeratore del lato destro della (20) fosse minore di (il denominatore)

, cosa che è più difficile quanto più basso è quest’ultimo valore

(cioè quanto minore è la correlazione tra e ). 16

VARIABILI STRUTTURALI NEL M.R.L. MULTIPLO

Consideriamo un modello standard con due variabili esplicative:

(21)

 chiamiamo la (21) equazione strutturale, dove la variabile dipendente “ ” è endogena (correlata con le “ ”), la

variabile esplicativa “ ” è anch’essa endogena (cioè ), la variabile esplicativa “ ” è invece esogena

(cioè ) e infine .

 si suppone che “ ” sia correlata ad “ ” a causa di una variabile omessa correlata con la “ ” e presente in “ ”.

 utilizziamo la variabile strumentale “ ”, assumendo che:

, , (22)

 abbiamo ancora bisogno che “ ” sia correlata con “ ”, ma la presenza di “ ” complica la situazione:

dobbiamo fissare questa assunzione (cioè ) in termini di correlazione parziale:

(23)

Con: , ,

la condizione chiave di identificazione, insieme a quelle della (22), è quindi: (24)

 chiamiamo la (23) equazione in forma ridotta, per indicare che abbiamo regredito una variabile endogena ( ) in

termini di variabili esogene ( )

Aggiungendo ulteriori variabili esplicative esogene, l’equazione strutturale diventa:

(25)

Dove: , , con:

 l’equazione in forma ridotta diventa: (26)

E avendo bisogno di una certa correlazione parziale tra “ ” e “ ” , dev’essere che: (27) 17

CASO “JUST IDENTIFIED”

Consideriamo il modello , inoltre assumiamo che regressori siano endogeni ( ) e regressori

siano esogeni ( ) , con e .

Assumiamo di disporre di “ ” variabili esogene ( ) in cui sono comprese le più altre variabili

strumentali ( ) che siano valide rilevanti.

 abbiamo che: .

 una prima condizione è che: (condizione d’ordine).

Se questa condizione è soddisfatta con uguaglianza il modello è detto “just identified”, e in questo caso:

̂ (28)

 occorre quindi imporre un’ulteriore condizione affinché la matrice sia invertibile:

(

condizione di rango).

̂

 lo stimatore può essere riscritto come:

̂

 da cui, visto che stiamo assumendo:

(esogenità) , e

(rilevanza) , si ricava che:

̂

 (consistenza)

̂

NB: in campioni finiti è consistente ma distorto, poiché sarebbe non-distorto solo se, oltre ad ,

assumessimo anche , il che però è troppo forte, perché implica , che se fosse vero

̂

consentirebbe l’uso di direttamente.

 sotto l’assunzione di omoschedasticità. Abbiamo che:

̂

 nel caso di errori non-sferici, la formula può essere modificata in:

̂

Come nel caso bivariato, strumenti deboli provocano una perdita di accuratezza ed aumentano l’eventuale

̂

distorsione asintotica di . 18

TWO STAGE LEAST SQUARES (2SLS)

Caso base:

Consideriamo di nuovo il modello: (21)

Ma stavolta assumiamo di avere due variabili esogene escluse dalla (21), “ ” e “ ”.

Se entrambe sono correlate con “ ”, potremmo usarle entrambe come IV, ma nessuna delle due sarebbe efficiente.

 finché , e non sono correlate con , nemmeno una loro combinazione lineare lo è, quindi possiamo

usarla come IV.

 scriviamo l’equazione in forma ridotta di come: (29)

Dove: , , ,

 allora la migliore I