Econometria - Appunti

ECONOMETRIA 2

REGRESSIONE LINEARE BIVARIATA

 Assunzioni

: [A1] linearità

[A2] assenza di perfetta multicollinearità

[A3] campionamento casuale



[A4] esogenità delle x 

[A5] omoschedasticità



[A6] normalità

 Stima dei parametri: ∑



Minimizziamo la somma dei residui al quadrato:

da cui otteniamo le F.O.C. ̅ ̅

  prima equazione normale (1)

∑ ∑ ∑

  seconda equazione normale (2)

̅ ̅



Da cui si ricava e

 

Proprietà algebriche : - la somma dei residui è pari a zero dalla (1)



- la somma dei prodotti è pari a zero dalla (2)

 Proprietà stimatori : Teo. Gauss-Markov: date le assunzioni classiche, gli stimatori e sono:



(a) Lineari [A1]



(b) Non distorti [A1] – [A4]



(c) BLUE [A1] – [A5]

Teo. di Rao: inoltre assumendo la normalità gli stimatori sono:



(d) BUE [A1] – [A6]

(e) Distribuiti normalmente

(f) è uno stimatore di , inoltre: 3

Coefficiente di determinazione multiplo

Coefficiente di determinazione multiplo “adjusted”

̅̅̅̅ ( ) dove n = numero osservazioni

k = numero parametri β

Ipotesi congiunte su più parametri (caso trivariato)

Volendo testare l’ipotesi nulla vs. , con:

Poiché: e “k” coefficienti meno la costante

E poiché le due statistiche sono IID e il rapporto di due “chi-quadro” dà una “Fischer”, abbiamo che:

 Modo alternativo:

Restrizioni lineari su più parametri (caso trivariato)

Modello “non-ristretto” (unrestricted):



Vogliamo testare vs.

Modello “ristretto” (restricted):

definiamo con: - URSS: l’RSS del modello non ristretto (unrestricted)

- RRSS: l’RSS del modello ristretto (restricted)

intuizione: se la restrizione è “ragionevole”, allora RRSS non dovrebbe essere “troppo maggiore” rispetto a URSS

La statistica F diventa: numero restrizioni

numero parametri modello “non ristretto” 4

REGRESSIONE LINEARE MULTIVARIATA

Modello: = [n x 1] 

con: NB: deve essere di rango “k” con n ≥ k (non singolare)

= [k x 1]

= [n x 1]

 Assunzioni

: [A1] linearità

[A2] assenza di perfetta multicollinearità (rango X = K < N)

[A3] campionamento casuale



[A4] esogenità delle x 

[A5] omoschedasticità



[A6] normalità

 Stima dei parametri : ∑ ∑

Definendo il vettore dei residui: , e quindi:

minimizzando tale quantità otteniamo le F.O.C.

 

da cui: da cui:

[ ]

 da cui:

 

Proprietà algebriche OLS : 1.

2. la somma dei residui è pari a zero



3. Esogenità forte [A3] – [A4]



4. Sfericità degli errori Matr. Var–Cov: [A3] – [A5]

5. [A6]

 Proprietà stimatori : Teo. Gauss-Markov: date le assunzioni classiche, gli stimatori e sono:

(a) Non distorti [A1] – [A4]

(b) BLUE [A1] – [A5]

(c) è uno stimatore di [A1] – [A5] 5

Matrice varianza – covarianza “stimata” e standard error di

√ √ “k-esima” riga e “k-esima” colonna

Test “t” di significatività sui singoli parametri

vs. 

Se: rifiuto

√

Test “F” di significatività della regressione

vs. ”

(“ ” perché stiamo testando “ parametri meno la costante)

 

se rifiuto

Restrizioni lineari su più parametri (caso multivariato)

Stimiamo il modello “non ristretto” (unrestricted) e il modello “ristretto” (restricted) dove cioè vale l’ipotesi nulla

che “ ” parametri sono uguali a zero (con ), la statistica F diventa:

 

se rifiuto

Test “F” su restrizioni lineari multiple

Vogliamo testare “m” restrizioni lineari allo stesso tempo:

vs

 che equivale a: vs , con e = [m x 1]

̂ , avremo che:

Poiché ̂ ̂  

se rifiuto 6

FORME FUNZIONALI UTILI

 

lin – lin sulla

(caso generale): effetto marginale della

̅  elasticità

̅

̅

 

log – log

: effetto marginale della sulla

̅ 

, da cui: elasticità

 ̅ 

log – lin: effetto marginale della sulla

̅ 

, da cui: elasticità

(NB: calcolare nel punto medio per entrambi)

 

lin – log : effetto marginale della sulla

̅  elasticità

̅

NB: se c’è un regressore di secondo grado, il suo effetto marginale sarà prima crescente e poi decrescente (o



viceversa) per trovare il punto in cui l’effetto marginale cambia andamento, porre:

Test RESET sulla corretta specificazione della forma funzionale (di Ramsey)

1. stimare il modello OLS che diventerà il modello ristretto:

̂ ̂ 

2. calcolare i valori fittati . I termini , con e interi, sono funzioni lineari della li aggiungiamo

(fino a ) al modello ristretto e otteniamo il modello completo

̂ ̂ ̂

3. sottoponiamo al test F sulla significatività congiunta l’ipotesi nulla

 

se rifiuto 7

Variabili Dummy

 

Dummy additive: riguardano il parametro della costante es: immaginiamo di avere 3 modalità qualitative:

(Low)

(Medium)

(High) {

possono essere riunite nel seguente modo: con: {

 

Dummy moltiplicative: riguardano i parametri dei regressori es: supponiamo di avere 2 modalità:

(Maschi)

(Femmine)

possono essere riunite nel seguente modo: {

con:

Test di stabilità dei parametri (Chow Test) ̂

̂

Ipotizziamo di avere il seguente modello: GRUPPO A: ̂ ̂

̂

̂

GRUPPO B:

Per testare la “stabilità dei parametri” (tra i due gruppi A e B) possiamo quindi testare l’ipotesi nulla:

̂ ̂

̂

̂  : componente additiva ; : componente moltiplicativa

1. Dividiamo le osservazioni in , da cui:

( ) ( ) ( ) e

2. Notiamo che:

3. Testiamo due restrizioni lineari congiunte della forma :

̂ ̂

̂ ̂

( ) ( ) ( )

̂

̂ 8

̂ ̂

4.

4(bis).

ETEROSCHEDASTICITA’

Si ha quando viene meno l’assunzione di omoschedasticità [A5], e implica che gli stimatori, sebbene ancora corretti e

consistenti, abbiano problemi nel calcolo della varianza (non sono più BLUE), in particolare:

̂ ,

se prima avevamo: ̂

adesso invece abbiamo che: 

cioè stiamo assumendo che , con le varianze sono funzione di un’unica

variabile osservabile “ ” (e non costanti)

Test di Breusch-Pagan

Ipotizziamo che la varianza, anziché costante, sia funzione delle osservazioni del campione, cioè:

(1)

Sapendo che , scriviamo: (2)

Poiché non osserviamo i termini di errore, usiamo i residui per stimarli:

(3)

A questo punto facciamo un test su restrizioni lineari multiple, testando:

(4) dove: è il coefficiente di determinazione multiplo

ottenuto regredendo la (3)

 se rifiuto : c’è un problema di eteroschedasticità

Stimatore Huber-White (“sandwich” estimator)

Una prima soluzione al problema è quella di trovare uno stimatore della varianza per le equazioni (1) e (2) che sia

robusto alla presenza di eteroschedasticità:

∑ ̅

̂

̂ (caso bivariato)

∑ ̅

̂

̂ ∑ (caso multivariato) 9

Minimi quadrati pesati (WLS)

Partendo dal classico modello multivariato:

Si assuma di avere un problema di eteroschedasticità di questo tipo:

 (la varianza è funzione delle )

( ) ( )

Avremo quindi che: e

√ √

è sufficiente quindi che il modello diventi:

√ √ √ √ √

M.R.L. GENERALIZZATO

Se viene abbandonata l’assunzione di sfericità degli errori, il modello diventa:

(1) Con: ,

(con:

lo stimatore: non è più BLUE, e la sua varianza è ora pari a:

Stimatore GLS (Generalized Least Squares)

Lo stimatore GLS può considerarsi come uno stimatore OLS basato su variabili trasformate: supponiamo che esista

una matrice quadrata non singolare tale che:

, da cui: , da cui: , da cui:

per ricavare lo stimatore GLS, moltiplichiamo entrambi i lati per la matrice , ottenendo:

(2)

̃

̃ ̃ (3)

che può essere riscritta come:

̃

si vede subito che: ̃ ̃ ̃ 10

̃ ̃ ̃ ̃

Dalla (3) si ricava quindi:

Con:

e:

Test “F” su restrizioni lineari multiple (GLS)

̂ ̂

NB:

Stimatore FGLS (Feasible Generalized Least Squares) ̂

Se la matrice non è osserv