Probabilità e Statistica
Esercizio 1
Y=valore del danno in dollari
- 95% ➝ Y=0
- 5% ➝ Y=20.000 €
media e deviazione standard del danno?
P{Y=0}=0,95
P{Y=20.000}=0,05
E(Y)=μ=y₁·p₁+y₂·p₂
=0·0,95+20.000·0,05=1.000
Var(Y)=(y₁-μ)²·p₁+(y₂-μ)²·p₂=
=(0-1.000)²·0,95+(20.000-1.000)²·0,05
=950.000+18.050.000=19.000.000
√Var(Y)=√19.000.000=4.358,8989=σ=
P{Ȳ>2.000}=? Ȳ= danno medio avuto da 100 case in un anno; E(Ȳ)=
P{Ȳ>2.000}=1-P{Ȳ<2.000}=
1-P{Ȳ-1.000⟨2.000-1.000}=1-P{N(0,1)⟨2,294}
1-0,9891=0,0109
- E(Ȳ)=1.000
- Var(Ȳ)=19.000.000 = 190.000
- σ Ȳ = √190.000 = 435,88
Esercizio 1
Y = valore del danno in talloni
- 95% → Y = 0
- 5% → Y = 20.000 €
-
media e alterazione standard del danno?
P{Y = 0} = 0,95
P{Y = 20.000} = 0,05
E(Y) = μ = y1 * p1 + y2 * p2
= 0 * 0,95 + 20.000 * 0,05 = 1000
Var(Y) = (y1 - μ)2 p1 + (y2 - μ)2 p2
= (0 - 1000)2 0,95 + (20.000 - 1000)2 0,05
= 950.000 + 1.8050.000 = 19.000.000
√ Var(Y) = √ 19.000.000 = 4.358,8989 = 94
-
P{Y > 2000} = ? // Y = danno medio annette da 100 case in un anno E(Ŷ)=:
P{Y > 2000} = 1 - P{Ŷ < 2000}
1 - P {Ŷ - 1000 < 2000 - 1000}
435,88 435,88 = 1 - P{N(0,1) < 2,294}
1 - 0,9891 = 0,0109
- E(Ŷ) = 1000
- Var(Ŷ) = 19.000.000 = 190.000
- σ Ŷ = √ 190.000 = 435,88
Esercizio 2
a) Pr(x ≤ 3) x ∼ N(1, 4)
Pr(x ≤ 3) = Pr(x-1/2 ≤ 3-1/2) = Pr(N(0, 1) ≤ 1) =
0,8413
b) Pr(x > 0) x ∼ U[3,9]
1 - Pr(x < 0) = 1 - Pr(x-3/3 ≤ 0-3/3) = 1 - Pr(N(0, 1) ≤ -1) =
1 - Pr(U(0, 1) ≤ 1) = 1 - [1 - Pr(N(0, 1) ≤ 1)] = 1 - [1 - 0,8413] =
0,8413
c) Pr(40 ≤ x ≤ 52) x ∼ N(50, 25)
Pr(x ≤ 52) - Pr(x ≤ 40) = Pr(x-50/5 ≤ 52-50/5) -
Pr(x-50/5 ≤ 40-50/5) = Pr(N(0, 1) ≤ 0,4) -
Pr(N(0, 1) ≤ -2) = 0,6554 - [1 - Pr(N(0, 1) ≤ 2)] =
0,6554 - [1 - 0,9772] = 0,6326
d) Pr(x ≤ 6,63) = x ∼ χ24 → χ2 = N(λ, 2∙λ)
0,90
Pr(x-1/√2 ≤ 6,63-1/√2) = Pr(N(0, 1) ≤ (3,98))
0,99
e) Pr(x ≥ 7,78) = 0,90 → x ∼ χ24
↳N(λ, 4∙2) = N(4, 8)
x ∼ N(4, 4∙2)
{ Pr(x-4/√8 ≤ 7,78-4/√8)
Pr(N(0, 1) ≤ 1,3364) =
0,90
Esercizio 1
1€ due investire
az ⟶ x ⟶ μa=0,08 ⟶ σa=0,07 ⟶ w
ob ⟶ y ⟶ μo=0,05 ⟶ σo=0,04 ⟶ (1-w)
R=w.ra+(1-w).ro
a) w=0,5 | MR=? | σR=?
E(R)=wE(ra)+(1-w)E(ro)
=0,5.0,08+(1-0,5).0,05=0,04+0,025=0,065
Var(R)=Var(w.ra)+Var[(1-w).ro]+2cov(ra,ro).w(1-w)
[w^2.Var(ra)+(1-w)^2.Var(ro)]
=0,5^2.0,07^2+(1-0,5)^2.0,04^2+2.0,0001.
=0,25.0,0049+0,25.0,0016+0,00035
=0,001225+0,0004+0,00035
=0,001975 → σR=√0,001975=0,0444
e) w=0,45 | MR=? | σR=?
E(R)=0,45.0,08+(1-0,45).0,05
=0,06+0,0125=0,0725
Var(R)=0,45^2.0,07^2+(0,25)^2.0,04^2
+2cov(ra,ro).0,45[0,5625.0,0049+0,0625.0,0016+
0,0001+0,0002625]
cov(ra,ro)=0,25.0,02.0,04=0,0002
1,025 ⟶ 0,056=σR
0,0009
w = ? → E(R) più grande e ∀(R) = !
w = 1 (0 <= w <= 1)
Var (R) = i² · 0,01² + 0 · 0,04² + 2 · 0,0004
= 0,0049
R = 0,04
iii) MINIMIZZA VAR(R) ; w = ?
d Var(R) / d (W) = 0
Var(R) = w² Var(h₂²) + (1-w)² Var(h) + 2 cov(h₂, h) w (1-w)
2 w · Var(h₂²) + 2 (1-w) · -1 · Var(h) + 2 cov(h₂, h) (1-2 w) = 0
2 w β₂ ² + 2(1-w) · -1β² + 2 cov(h₂, h). (1-2 w)=0
2 w · 0,09² + (2-2 w) · -1 · 0,01² + 2 · 0.0009. (1-2 w) = 0
-0,0032 + 0.0032 w + 0.0014 - 0.0028 w = 0
0.00102 w = 0.0018
w = 0.1264
Var(R) = 0,1264² 0,01² + (1-0,1264)² 0,04² + 2 · 0,0007
0,1264 (1-0,1264) =
0,0311 · 0,0049 + 0,6483 · 0,0016 + 0,0002 =
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