Econometria 1

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

Elementi di Econometria

Esercizi #5

Soluzione (traccia)

Naturalmente, tutte le risposte vanno adeguatamente motivate con riferimento alla teoria

• Titanic

• Congruenza, eteroschedasticità, linearità
• A parità di tutto il resto, il coefficiente della dummy 2^a classe rappresenta la differenza nella probabilità di sopravvivenza tra seconda e prima classe, è pari a -0.60 ed è significativo in quanto il test t vale -4.82 con un p-value quasi nullo. A parità di tutto il resto, il coefficiente della dummy 3^a classe rappresenta la differenza nella probabilità di sopravvivenza tra terza e prima classe, è pari a -1.08 ed è significativo in quanto il test t vale -9.62 con un p-value quasi nullo.

Probabilità sopravvivenza in terza classe: Prob(y_ii = 1|2^aclasse = 0, 3^aclasse = 1, femmina = 0, n.fratelli = 0, n.genitori = 0, bambino = 0) = Φ(-0.168371 - 1.08241) = Φ(-1.250781) = 0.105

Probabilità sopravvivenza in prima classe: Prob(y_ii = 1|2^aclasse = 0, 3^aclasse = 0, femmina = 0, n.fratelli = 0, n.genitori = 0, bambino = 0) = Φ(-0.168371) = 0.433

Variazione nella probabilità: 0.433 - 0.105 = 0.328

Hit-ratio: (526+296)/1046= 78.58%;

• Frazione successi correttamente predetti: 296/427= 0.693
• Frazione fallimenti correttamente predetti: 526/619=0.849

Nel complesso: 0.849-0.693=1.542

Dataset SMOKE

Modello 1: OLS, usando le osservazioni 1-807 Variabile dipendente: smoke Errori standard robusti rispetto all'eteroschedasticità, variante HC1

Media var. dipendente 0.384139 SQM var. dipendente 0.486693 Somma quadr. residui 179.0809 E.S. della regressione 0.473425 R² 0.061996 R² corretto 0.053778 F(7, 799) 10.59397 P-value(F) 8.71e-13 Log-verosimiglianza -537.6197 Criterio di Akaike 1091.239 Criterio di Schwarz 1128.786 Hannan-Quinn 1105.657

1

Modello 2: Probit, usando le osservazioni 1-807

Variable dipendente: smoke

• Coefficiente
• Errore Std.
• z
• p-value

• const 0.471762 2.34327 0.2014 0.8404
• lcigprice -0.280055 0.557502 -0.3732 0.7090
• lincome 0.0302134 0.0708360 0.4265 0.6697
• educ -0.0834483 0.0167997 -4.9672 0.0000
• _age 0.0625819 0.0166550 3.7581 0.0002
• _agesq -0.000281858 0.000168726 -4.0144 0.0001
• restaurn -0.280674 0.111115 -2.5246 0.0100
• white -0.0765844 0.142895 -0.5359 0.5920

Media var. dipendente 0.384139 SGM var. dipendente 0.378946

R² di McFadden 0.051344 R² corretta 0.036460

Log-verosimiglianza -509.9080 Criterio di Akaike 1035.816

Criterio di Schwarz 1073.363 Hannan–Quinn 1050.234

Numero dei casi 'previsti correttamente'= 501 (62.1 percent)

Test del rapporto di verosimiglianza: χ²(7) = 55.195 [0.0000]

Per il _MPL si ha -0.02888^**= -0.11552. Per il modello probit è necessario fissare dei valori per le variabili esplicative, la risposta non si può dare in generale.

Nel caso del _MPL: -0.01989158-2*0.000259787*age-0. = age=38.13; anche per il modello probit: -0.0625019-2*0.000281858*ageo.–age=38.081

quando uno stato introduce il divieto di fumo questo giudice la probabilità di fumare.

Nel tuo circa secondo HTPL) per il modello Probit è necessario fissare dei valori per le variabili esplicative. Tuttavia, siccome il segno dei coefficienti è negative possiamo dire che l'introduzione del divieto fa diminire la probabilità di fumare.

Per il modello di probabilità lineare: 0.656061 -0.0689257* log(67.44) + 0.01211621*log(6500) - 0.0288802*16 + 0.0198158*77 - 0.000259787*77*77=-0,00437031, oops... probabilità negativa!

Dataset MROZ

MPL:

Modello 3: OLS, usando le osservazioni 1-753

Variable dipendente: inlf

Errori standard robusti rispetto all'eteroschedasticità, variante HC1

• Coefficiente
• Errore Std.
• rapporto t
• p-value

• const 0.585519 0.152260 3.8455 0.0001
• nwifeinc -0.00340517 0.00152493 -2.2330 0.0258
• educ 0.0379953 0.00726604 5.2292 0.0000
• exper 0.0394924 0.00581002 6.7793 0.0000
• expersq -0.000596312 0.00019004 -3.1384 0.0018
• age -0.0160908 0.00239901 -6.7073 0.0000
• kidslt6 -0.261810 0.0317832 -8.2374 0.0000
• kidsge6 0.0130122 0.0135329 0.9615 0.3366

2

Sappiamo che

^β̂₁^{T SLS} = ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(x̂_i − x̄)}/_{∑i=1ⁿ(x̂i − x̄)²}

e che, dalla stima OLS della regressione del primo stadio x_i = π₀ + π₁z_i + v_i si ottiene

π̂₀ = x̄ − π̂₁z̄

π̂₁ = ^{∑_i=1n(x_i − x̄)(z_i − z̄)}/_{∑i=1ⁿ(zi − z̄)²}

Dall'algebra OLS si ricava che

x̂_i = π̂₀ + π̂₁z_i

x̄̂ = π̂₀ + π̂₁z̄

(x̂_i − x̄̂) = π̂₁(z_i − z̄)

Sostituendo (x̂_i − x̄̂) nell'espressione per ^β̂₁^{T SLS} si ottiene

^β̂₁^{T SLS} = ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(x̂_i − x̄̂)}/_{∑i=1ⁿ(x̂i − x̄̂)²}

= ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(z_i − z̄)π̂₁}/_{∑i=1ⁿ(zi − z̄)²π̂1²}

= ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(z_i − z̄)}/_{∑i=1ⁿ(zi − z̄)²π̂1}

Sappiamo (vedi sopra) che

π̂₁ = ^{∑_i=1n(x_i − x̄)(z_i − z̄)}/_{∑i=1ⁿ(zi − z̄)²}

per cui, sostituendo al denominatore per π̂₁, possiamo scrivere

^β̂₁^{T SLS} = ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(z_i − z̄)}/_{∑i=1ⁿ(xi − x̄)(zi − z̄)π̂1}

= ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(z_i − z̄)}/_{∑i=1ⁿ(xi − x̄)²·∑i=1ⁿ(zi − z̄)²}

= ^{∑_i=1n(y_i − ȳ)(x_i − x̄)}/_{∑i=1ⁿ(xi − x̄)²(zi − z̄)}

Forse sì, perché la media dei voti potrebbe essere legata al reddito o all'istruzione della famiglia, che a loro volta potrebbero essere legate al possesso del PC. Siccome il modello esclude reddito ed istruzione dalla specificazione, questi confluiscono nell'errore che di conseguenza potrebbe essere correlato con la variabile PC.

Se un reddito maggiore indica maggiori opportunità di apprendimento, dovremmo aspettarci che il reddito sia correlato con la media voto e che quindi dovrebbe comparire come variabile esplicativa più che come variabile strumentale.

Potremmo definire una variabile dummy pari a 1 se si è ricevuto il PC tramite l'università, e 0 altrimenti.